На этой странице рассматриваются свойства прямоугольной призмы, например, изображение справа. Прямоугольная призма — это именно то, что звучит как трехмерная форма с шириной, высотой и длиной (или основанием), например 3,2 и 8 на этом рисунке справа.

Прямоугольная призма

Объемная формула

Практика Задачи по объему прямоугольной призмы

Практика 1

Каков объем прямоугольной призмы с размером, указанным ниже?

Практика 2

Если объем прямоугольной призмы составляет 30 « ³ , а ее высота равна 5″, ее длина равна 2 «, какова ее ширина?

$$ объем = длина \ ширина cdot \ высота cdot \\ 30 = 5 \ cdot 2 \ cdot width \\ 30 = 10 \ ширина cdot \\ width = \ frac {30} {10} = 3 \ text {«} $$

Практика 3

Объем прямоугольной призмы 125 « ³ и ее высота 5″.3 = 125 \\ объем = длина \ ширина cdot \ высота cdot \\ 125 = 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 $$

Практика 4

имеет следующие размеры: ширина 2 дюйма, высота 3 дюйма и основание 6 дюймов (то есть длина). С другой стороны, прямоугольная призма B имеет следующие размеры: ширина 1 дюйм, высота 3 дюйма и основание 7 дюймов (или длина).

Какая призма имеет больший объем?

$$ \\ объем = длина \ ширина cdot \ высота cdot \\ V = 2 \ cdot 3 \ cdot 6 = \ color {red} {36 \ text {in} ^ 3} $$

$$ объем = длина \ ширина cdot \ высота cdot \\ V = 1 \ cdot 3 \ cdot 7 = 21 \ text {in} ^ 3 $$

Ответ: Prism A

Расчет объема | SkillsYouNeed

На этой странице объясняется, как рассчитать объем твердых объектов, т. Е. Сколько вы можете вписать в объект, если, например, вы наполнили его жидкостью.

Площадь — это мера того, сколько места есть в двухмерном объекте (подробнее см. На нашей странице: Расчет площади).

Объем — это мера пространства в трехмерном объекте. Наша страница о трехмерных формах объясняет основы таких форм.

В реальном мире вычисление объема, вероятно, не то, что вы будете использовать так часто, как вычисление площади.

Однако это все еще может быть важно. Возможность подсчитать объем позволит вам, например, определить, сколько места у вас есть при переезде, сколько вам нужно офисного пространства или сколько варенья вы можете поместить в банку.

Это также может быть полезно для понимания того, что означают средства массовой информации, когда они говорят о пропускной способности плотины или стока реки.

Примечание к блокам

Площадь выражается в квадратных единицах, потому что это два измерения, умноженные вместе.

Объем выражается в кубических единицах, потому что это сумма трех измерений (длина, ширина и глубина), умноженных вместе. Кубические единицы включают ³ см, ³ м и кубические футы.

ВНИМАНИЕ!

Объем также можно выразить как емкость жидкости.

Метрическая система

В метрической системе объем жидкости измеряется в литрах, что прямо сопоставимо с кубическим измерением, поскольку 1 мл = 1 см ³ .1 литр = 1000 мл = 1000 см ³ .

Imperial / English Система

В имперско-английской системе эквивалентными измерениями являются жидкие унции, пинты, кварты и галлоны, которые нелегко перевести в кубические футы. Поэтому лучше придерживаться жидких или твердых единиц объема.

Для получения дополнительной информации см. Нашу страницу по системам измерения

Основные формулы для расчета объема

Объем твердых веществ на основе прямоугольника

В то время как основная формула для площади прямоугольной формы имеет длину × ширины, основная формула для объема равна длине × ширины × высоты.

То, как вы ссылаетесь на различные измерения, не меняет вычисления: вы можете, например, использовать «глубину» вместо «высоты». Важно то, что эти три измерения умножаются вместе. Вы можете умножать в любом порядке, который вам нравится, поскольку это не изменит ответ (см. Нашу страницу на умножение для получения дополнительной информации).

Коробка с размерами 15 см в ширину, 25 см в длину и 5 см в высоту имеет объем:
15 × 25 × 5 = 1875 см ³

Объем Призм и Цилиндров

Эта базовая формула может быть расширена, чтобы охватить объем цилиндров и призмы тоже.Вместо прямоугольного конца у вас просто есть другая форма: круг для цилиндров, треугольник, шестиугольник или, действительно, любой другой многоугольник для призмы.

Эффективно для цилиндров и призм объем — это площадь одной стороны, умноженная на глубину или высоту фигуры.

Таким образом, основная формула для объема призм и цилиндров:

Площадь концевой формы × высота / глубина призмы / цилиндра.

Объем Конусов и Пирамид

Тот же принцип, что и выше (ширина × длина × высота), применяется для вычисления объема конуса или пирамиды, за исключением того, что, поскольку они достигают точки, объем является лишь частью общего объема, который был бы, если бы они продолжались в той же форме, насквозь.

Объем конуса или пирамиды составляет ровно одну треть от того, что было бы для коробки или цилиндра с таким же основанием.

Таким образом, формула:

Площадь основания или концевой формы × высота конуса / пирамиды × ¹ / ₃

Обратитесь к нашей странице Расчет площади , если вы не помните, как рассчитать площадь круга или треугольника.

Например, чтобы вычислить объем конуса с радиусом 5 см и высотой 10 см:

Площадь внутри круга = πr2 (где π (pi) — приблизительно 3.14 и r — радиус окружности).

В этом примере площадь основания (окружности) = πr ² = 3.14 × 5 × 5 = 78,5 см ² .

78,5 × 10 = 785

785 × 1/3 = 261,6667 см ³

Объем шара

Как и в случае с кругом, вам нужно π (pi), чтобы вычислить объем сферы.

Формула 4/3 × π × радиус ³ .

Вам может быть интересно, как вы могли бы определить радиус шара.Если не вставлять в нее вязальную спицу (это эффективно, но очень важно для мяча!), Есть более простой способ.

Вы можете измерить расстояние вокруг самой широкой точки сферы, например, с помощью рулетки. Этот круг является окружностью и имеет такой же радиус, как и сама сфера.

Окружность круга рассчитывается как 2 x π x радиуса.

Чтобы рассчитать радиус от окружности вы:

Разделите окружность на (2 x π) .

проработанных примеров: расчет объема

Пример 1

Рассчитайте объем цилиндра длиной 20 см, круговой конец которого имеет радиус 2,5 см.

Сначала отработайте площадь одного из круглых концов цилиндра.

Площадь круга составляет πr ² (π × , радиус × , радиус). π (pi) составляет приблизительно 3,14.

Таким образом, площадь конца:

3.14 х 2,5 х 2,5 = 19,63 см ²

Объем — это площадь конца, умноженная на длину, и поэтому:

19,63 см ² x 20 см = 392,70 см ³

Пример 2

Что больше по объему: сфера с радиусом 2 см или пирамида с квадратным основанием 2,5 см и высотой 10 см?

Сначала определите объем сферы .

Объем сферы 4/3 × π × радиус ³ .

Объем сферы, следовательно:

4 ÷ 3 x 3,14 × 2 × 2 × 2 = 33,51 см ³

Затем отработать объем пирамиды .

Объем пирамиды составляет 1/3 × площадь основания × высота.

Площадь основания = длина × ширина = 2,5 см × 2,5 см = 6,25 см ²

Объем, следовательно, 1/3 x 6,25 × 10 = 20.83см ³

Сфера, следовательно, больше по объему, чем пирамида.

Расчет объема нерегулярных твердых веществ

Так же, как вы можете рассчитать площадь неправильных двумерных фигур, разбив их на обычные, вы можете сделать то же самое, чтобы рассчитать объем неправильных твердых тел. Просто разбейте твердое вещество на более мелкие части, пока не получите только твердые частицы, с которыми вы можете легко работать.

Работал пример

Рассчитайте объем водяного цилиндра общей высотой 1 м, диаметром 40 см, верхняя часть которого полусферическая.

Сначала вы делите фигуру на две части: цилиндр и полусферу (полусферы).

Объем сферы 4/3 × π × радиус ³ . В этом примере радиус составляет 20 см (половина диаметра). Поскольку вершина полусферическая, ее объем будет вдвое меньше, чем у полной сферы. Объем этого раздела формы, следовательно:

0,5 × 4/3 × π × 203 = 16,755.16 см ³

Объем цилиндра — это площадь основания × высота.Здесь высота цилиндра — это общая высота за вычетом радиуса сферы, которая составляет 1–20 см = 80 см. Площадь базы № ² .

Объем цилиндрической секции этой формы, следовательно, составляет:

80 × π × 20 × 20 = 100 530,96 см ³

Таким образом, общий объем этого контейнера для воды составляет:
100 530,96 + 16,755,16 = 117 286,12 см ³ .

Это довольно большое число, поэтому вы можете преобразовать его в 117.19 литров путем деления на 1000 (так как в литре 1000 см ³ ). Тем не менее, было бы совершенно правильно выразить это как cm ³ , поскольку проблема не требует, чтобы ответ был выражен в какой-либо конкретной форме.

В заключение…

Используя эти принципы, при необходимости вы теперь сможете рассчитать объем практически всего в вашей жизни, будь то упаковочный ящик, комната или водяной цилиндр.

квадратная форма пирамиды

h = высота
с = наклонная высота
а = длина стороны
e = длина бокового края
р = а / 2
V = объем
L = площадь боковой поверхности
B = площадь поверхности основания
S = общая площадь поверхности

Рассчитайте больше с
Пирамидальный калькулятор

Использование

Онлайн калькулятор для расчета объема геометрических тел, включая капсулу, конус, усечку, куб, цилиндр, полусферу, пирамиду, прямоугольную призму, сферу и сферическую крышку.

Единицы: Обратите внимание, что единицы показаны для удобства, но не влияют на расчеты. Единицы измерения установлены для указания порядка результатов, таких как футы, футы ^{, 2} или футы ^{, 3} . Например, если вы начинаете с мм и знаете a и h в мм, ваши вычисления приведут к V в мм ³ .

Ниже приведены стандартные формулы для объема.

Объемные формулы:

Объем капсулы

• Объем = № ² ((4/3) r + a)
• Площадь поверхности = 2πr (2r + a)

Объем круглого конуса и площадь поверхности

• Объем = (1/3) πr ² ч
• Площадь боковой поверхности = πrs = πr√ (r ² + h ² )
• Площадь поверхности основания = № ²
• Общая площадь поверхности
  = L + B = πrs + πr ² = πr (s + r) = πr (r + √ (r ² + h ² ))

Объем Круглого Цилиндра

• Объем = № ² ч
• Площадь верхней поверхности = № ²
• Площадь поверхности дна = № ²
• Общая площадь поверхности
  = L + T + B = 2πrh + 2 (πr ² ) = 2πr (h + r)

Конический объем усеченного конуса

• Объем = (1/3) πh (r ₁ ² + r ₂ ² + (r ₁ * r ₂ ))
• Площадь боковой поверхности
  = π (r ₁ + r ₂ ) s = π (r ₁ + r ₂ ) √ ((r ₁ — r ₂ ) ² + h ² )
• Площадь верхней поверхности = № ₁ ²
• Площадь поверхности основания = № ₂ ²
• Общая площадь поверхности
  = π (r ₁ ² + r ₂ ² + (r ₁ * r ₂ ) * с)
  = π [r ₁ ² + r ₂ ² + (r ₁ * r ₂ ) * √ ((r ₁ — r ₂ ) ² + h ² )]

Объем куба

• Объем = ³
• Площадь поверхности = 6a ²

Объем полушария

• Объем = (2/3) № ³
• Площадь криволинейной поверхности = 2πr ²
• Площадь поверхности основания = № ²
• Общая площадь поверхности = (2πr ² ) + (πr ² ) = 3πr ²

Объем пирамиды

• Объем = (1/3) a ² ч
• Площадь боковой поверхности = a√ ( ² + 4 ч ² )
• Площадь базовой поверхности = ²
• Общая площадь поверхности
  = L + B = ² + a√ ( ² + 4 ч ² ))
  = a (a + √ ( ² + 4 ч ² ))

Объем прямоугольной призмы

• Объем = lwh
• Площадь поверхности = 2 (lw + lh + wh)

Сфера Объем

• Объем = (4/3) № ³
• Площадь поверхности = 4π ²

Сферическая крышка

Объем

• Объем = (1/3) πh ² (3R — h)
• Площадь поверхности = 2πRh

Объем треугольной призмы

\ [V = \ dfrac {1} {4} h \ sqrt {(a + b + c) (b + c-a) (c + a-b) (a + b-c)} \]