Оптимальный размер ступеней: размеры, ширина ступеней, оптимальная высота, правила расчета, фото

Содержание

оптимальные параметры прямых и винтовых сооружений, пример вычислений

Размеры лестницы в частном доме соответствуют регламентируемым нормам и рассчитываются самостоятельным путем или с использованием программы. Изделия сооружаются в виде габаритных и небольших сооружений с разной конфигурацией. На создание той или иной формы влияет площадь, отведенная для установки.

Углы лестничного сооружения в частном строении

Параметры ступеней и ограждений

  • Размеры ступеней лестницы в частном доме определяются удобством перемещения среднестатистического человека. Горизонтальная часть проступи составляет 30 см. В случае с винтовой установкой минимальный размер узкой стороны составляет 10 см, ширина проступи по линии перемещения соответствует размеру 20 см. Широкая сторона равна 45 см.
  • Размеры винтовой лестницы в частном доме задаются пределами 90 см – 150 см. Подступенок образует вертикальную часть ступени и составляет 15 – 20 см. Его размещение не является обязательным.
  • Опоры. Крепление ступеней обеспечивается к опорам: косоурам, тетиве и столбам. Первые два варианта предусмотрены для маршевых сооружений, а столб применяется для винтового сооружения.

Лестничная установка в жилом помещении

  • Оптимальный размер лестницы в частный дом предусмотрен установкой косоура в виде деревянной балки слоем в 5 см. Его сторона образована треугольными пазами для ступенек. Тетива также имеет толщину в 5 см, но вырезы создаются только для проступей. Установка производится скрытым путем. Столб для поворотной установки создается в виде металлической или деревянной конструкции для крепления ступеней.
  • Оптимальные размеры ступеней лестницы в частном доме определяют правильную установку перил. Размещение опорных стоек проводится на расстоянии 10 – 15 см. Высота перил равна 90 см – 100 см. Поручни имеют сечение 5 см. Если предусмотрена установка перил на марше, необходимо придерживаться отступа от стены в 7 см. Нагрузка на перила 150 кг в одной точке.

Параметры лестничной конструкции

Основные критерии к установке маршей

Высота прохода вдоль марша составляет 200 см. Предусмотрен технологический зазор между маршами в 7-10 см. Площадь, отведенная для установки маршевого сооружения равна более 3 м2. Если планируется занимать меньшую площадь, можно рассмотреть установку винтовой конструкции. Для создания плавного перехода забежных ступеней, следует заготовить не менее 5 элементов.

Внимание! Монтаж прямых маршевых сооружений образует длину в 400 см.

Альтернативой такой установке станет поворотное или двухмаршевое устройство с площадкой. Угол наклона варьирует в пределах 30 – 45°.

Все марши составляют 3 – 15 ступенек. Среднее количество ступеней в марше достигает до 10-11 ступенек. При необходимости увеличить число поступей, оборудуются специальные площадки. Их параметры кратны шагу.

Параметры лестничной установки

Размер проемов:

  • Для прямых маршей проемы сооружаются в соответствии с параметрами 120 370 см.
  • L-образный вариант лестницы имеет проем 310 на 130 см.
  • U-образный тип сооружения оборудуется проемом 200 на 250 см.
  • Винтовое устройство монтируется в проеме 220 на 220 см (d 2000 – 2100 мм). Если требуется установка дополнительной конструкции, необходимо выделить параметры 150 на 150 см (d 1400 мм).

Несущая способность лестницы составляет 400 кг на 1 кв. м ступени, а для жилых зданий этот размер составляет 300 кг на 1 кв. м.

Определение размеров винтовой лестницы

Перед возведением конструкции создается проект, определяющий длину проступи и число ступенек. В качестве примера можно рассмотреть сооружение на 360°. Диаметр 200 см и высота 300 см.

Длину окружности по линии перемещения (по центру) можно вычислить путем подстановки данных: L =2πR, где r =2R/3. Тогда L =4πR/3 = 4×3,14×100/3 = 418,7 см.

Так рассчитывают развертку одномаршевого сооружения. Если высота этажа равна 300 см, можно применить подступенок в 15 или 20 см. Число ступеней будет равно 20 или 15. Для 15 подъемов необходимо 14 ступеней, последняя 15 поступь выступает в качестве площадки. Если высота этажа 3 м, потребуется монтаж площадки шириной в 4 ступеньки.

Размеры лестничного марша

Вычисляется ширина проступи по центральной линии передвижения:

2а+b = 60…64 см или а+b = 45±2 см.

Если подставит высоту ступени, то ширина проступи по первых вычислениях составит 20 –24 см, во второй 23–27 см. Длина развертки 418,7 см делится на 14 ступеней, получается 29,9 см.

Полученный результат обеспечивает большую ширину шага (2×20+29,9=69,9 вместо 62 см). Это свидетельствует о необходимости довести число ступенек до 17 (16 + площадка). Ширина проступи будет равна: 418,7/16=26,2 см, а высота подъема 300/17=17,7 см.

Параметры лестничного устройства

В итоге 16 ступеней образуют 17,7 см, а первый подъем – 16,8 см (16,8+16×17,7=300 см). Забежные ступени в данном случае будут исчисляться количеством – 5 шт.

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Размер ступени для лестниц должен быть удобным и безопасным

Ступени являются одними из основных составляющих любой лестницы. Они изготавливаются из различных материалов, могут представлять собой как отдельный элемент, так и часть монолитного лестничного марша. В соответствующих нормативных документах определяется минимальный и максимальный размер ступени для лестниц, от которого напрямую зависит безопасность всей конструкции. Типовые лестницы и степени давно уже просчитаны проектировщиками, а для помещений с нестандартными габаритами и размерами лестничных проемов расчеты приходится делать каждый раз индивидуально.

Разновидности и особенности ступеней

В зависимости от формы, ступени подразделяются на:

  • прямые, имеющие одинаковые размеры и располагающиеся на маршевых лестницах;
  • забежные, выпускающиеся клинообразной формы. Они устанавливаются на поворотные или винтовые лестничные конструкции.

Ступени состоят из горизонтальной части (проступи) и вертикальной части (подступенка). Нормативы допускают изготовление лестниц с открытыми подступенками, а также с нависанием одной проступи над другой, которое называется подрезкой, или свесом. Размер ступени для лестниц рассчитывается, исходя из наклона марша и количества проступей в нем.

В зависимости от места своего расположения ступени бывают:

  • фризовыми нижними. Они находятся в самом низу лестничного марша на уровне пола или площадки, возвышаясь над ней на высоту подступенка;
  • фризовыми верхними, являющимися последними ступенями в марше. Они располагаются на уровне пола верхнего этажа, или ниже него, на расстоянии, соответствующем размеру подступенка;
  • рядовыми, размещающимися между фризовыми ступенями. В марше их может быть от 1 до 16.

Допустимые размеры ступеней

Габариты ступеней рассчитываются по требованиям и рекомендациям соответствующих нормативных документов, которые четко прописывают их размеры. Прежде всего, в СНиП 2.08.01-89* «Жилые здания» определяется, что ширина внутриквартирного лестничного марша, а значит и ступени, должна быть не менее 0.90 метра с наибольшим его уклоном 1:1.25. А количество подъемов в одном марше разрешается делать от 3 до 18. Данные параметры являются основополагающими при расчетах.

Чтобы подъем по лестнице был удобным и комфортным, при определении габаритов ступеней учитывают величину шага среднестатистического человека. Она составляет 0,60-0,64 метра. Ширина проступи (а) и высота подступенка (b) подбирается в зависимости от следующего соотношения:

a + 2b = 60-64 (см), или

а + b = 43-47 (см).

Данная формула была изобретена еще в 18 веке французским архитектором Блонделем, но до сегодняшнего времени она не потеряла своей актуальности.

Следует отметить, что наиболее оптимальным является соотношение ширины к высоте ступени 300:150 мм. Нормативные размеры ступенек, изготовленных из разных материалов, несколько отличаются друг от друга. Их габариты зависят и от основного предназначения лестниц. Но общие параметры привести можно.

Размер проступи должен позволять становиться на поверхность всей ступней. Ее глубину рекомендуется делать не менее 235-250 мми не более 355 ммдля прямых ступеней. Забежные ступени в узкой их части не должны быть менее 100 мм, по линии хода – 250 мм, а с широкого торца – более 400 мм. Для подсобных лестниц (в подвал, на чердак или мансарду) разрешается уменьшать проступь до200 мм. Уличные ступени можно делать глубиной до 400 мм.

Довольно часто конструкция лестницы предусматривает нависание одной ступени над другой. Оно не должно превышать 50 мм, а для деревянных конструкций – 30 мм. Делается нависание в случае невозможности устройства проступей оптимальной глубины, а подобный прием позволяет их немного увеличить. Но прежде чем выкраивать лишение миллиметры, стоит подумать над конструкцией ступенек под названием «утиный шаг». Для каждой ноги здесь можно заложить полноценный, удобный размер.

Высота ступени должна находиться в пределах 120-200 мм. Более низкие или высокие подступенки слишком неудобны, а подниматься или спускаться по ним будет затруднительно.

В заключение можно отметить следующее. Ступени в одном марше должны быть одинаковой высоты и глубины по линии хода. Плавность подъема или спуска облегчит передвижение и предотвратит возможность получения травм.

Стандартные размеры лестницы и оптимальный размер ступеней

Содержание статьи:

Перед тем как сделать лестницу в квартире или в загородном доме, необходимо правильно рассчитать размеры лестницы. При неправильно выполненных вычислениях она будет не только некрасиво выглядеть, но и служить угрозой для здоровья, а иногда и жизни тех, кто ею пользуется. Обычная лестница размеры может иметь самые разные, форма ее тоже может быть различной. Эта конструкция бывает не только деревянной, но и каменной, металлической, стеклянной или сделанной из керамики. Главное, чтобы пользоваться ею было комфортно и надежно.

Вычисление главных параметров

При проектировании лестничных маршей и выполнении их расчета строители пользуются специальными терминами, применение которых позволяет рассчитать размеры ступеней:

  1. Ширина проступи. Это величина по горизонтали между передними кромками двух соседних ступенек.
  2. Высота подступенка. Это вертикальное расстояние между верхними плоскостями двух соседних ступенек.

Все параметры лестничных маршей тесно взаимосвязаны. С учетом их габаритов и высоты высчитывается нужное количество ступенек, а также различные размеры ступени для лестниц: высота и глубина.

Данные для всех этих элементов определяются по уже разработанным и проверенным на практике алгоритмам и формулам. Не следует игнорировать и некоторые стандартные параметры для вычисления данного элемента конструкции.

Расчет шага лестницы.

Считается, что, когда человек поднимается по лестнице, он тратит вдвое больше энергии, чем если бы он просто двигался по ровному горизонтальному пути. Поэтому, для того чтобы человек затрачивал минимальное количество сил при подъеме по ней, в расчетах используется средняя длина шага человека, находящаяся в диапазоне от 600 мм до 640 мм. Исходя из этой средней шаговой длины была разработана формула для расчета ширины проступи и высоты подступенка, заключающаяся в том, что сумма удвоенной высоты подступенка и ширины проступи должна быть равна стандартной длине шага, то есть 600-640 мм. Существует и более легкая для запоминания формула: сумма ширины проступи и высоты подступенка равна 450 мм плюс-минус 20 мм. В этом случае будут получены оптимальные размеры ступеней лестницы.

Для того чтобы обеспечить максимальное удобство при пользовании лестницей, нужно, чтобы человек мог поставить на ступеньку всю стопу, то есть ширина проступи должна быть в диапазоне от 200 мм до 320 мм. Оптимальные размеры ступени для лестниц в этом случае будут такими:

  • ширина проступи — 300 мм;
  • высота подступенка — 150 мм.

В строительстве и проектировании лестничных маршей существует еще термин «забежные ступени». Это ступени с непараллельными краями, у них наружная ширина больше, чем внутренняя. Такие ступени используются при поворотах этой конструкции. Размер ступеньки в этом случае должен быть таким:

  • минимальная ширина узкой стороны не должна быть меньше 100 мм;
  • проступь над нижней ступенькой не должна нависать больше чем на 50 мм.

Расчет угла наклона конструкции

Виды лестниц по углу наклона.

Важным параметром для определения габаритов лестницы является не только размер ступеньки, но и угол ее наклона, крутизна. Необходимо так рассчитать этот параметр, чтобы лестница не была опасной для людей, которые ею пользуются. Она должна быть удобной для того, чтобы по ней подниматься, кроме того, ей необходимо красиво выглядеть. Лесенка с маленьким углом наклона будет покатой, громоздкой, а с большим углом наклона — опасной не только для детей и пожилых людей, но и для обычного человека.

Исходя из этих соображений оптимальный угол наклона лестницы находится в диапазоне от 23 до 37°.

Чем круче лестница, тем меньше места в доме она занимает, а чем положе, тем больше места необходимо для ее размещения. Этот факт тоже необходимо учитывать при расчете габаритов этой конструкции. Если все же планировка дома не позволяет сделать угол наклона 23° или больше, лестницу предпочтительнее заменить на пандус. Если же угол наклона будет больше 45°, то в данном случае лучше использовать приставную или раскладную лестницу, при этом спускаться с нее необходимо спиной вперед.

Количество лестничных ступеней зависит не только от расстояния между этажами, но и от угла ее наклона.

Для определения количества ступенек проще всего нарисовать план лестничных маршей и по нему уже выполнять расчет.

Это делается обычно на миллиметровой бумаге. Лестничный марш рисуется в масштабе соразмерно высоте этажа. При определении высоты этажа необходимо учесть один нюанс: в эту высоту обязательно включается и толщина покрытий полов (линолеума, керамической плитки, паркета, клея и так далее).

Таблица расчета угла наклона лестницы.

Когда этаж по высоте имеет стандартные размеры или эта величина кратна 3, высчитать количество ступенек и их габариты по вышеуказанному алгоритму не представляет трудности. В иных случаях высота ступенек рассчитывается с точностью до миллиметра, причем величины всех подступенков необходимо сделать одинаковыми друг с другом. Все погрешности при вычислениях лучше всего скомпенсировать на нижней ступени. Не рекомендуется ни при каких условиях делать размеры ступени для лестниц различными в одной и той же конструкции. При спуске человек подсознательно настраивается на одинаковую высоту ступенек и, если кругом темно или он не смотрит вниз, его ступня, не найдя ступеньку, может подвернуться, и человек упадет.

Обеспечить максимальную безопасность

Таким образом, в общем случае рассчитать, сколько нужно ступенек, следует, разделив высоту между этажами на высоту подступенка и вычтя из этой величины высоту одного элемента, потому что последняя проступь окажется полом верхнего этажа.

Ширина проступи вычисляется, когда длина лестницы делится на найденное число ступеней. Если при этом угол наклона ее не будет совпадать с рекомендуемым диапазоном, можно варьировать размер ступеньки или количество ступеней, не выходя за рекомендуемые нормативы.

В этом видео говорится об изготовлении деревянной лестницы:

Рассчитывая размеры лестниц, следует помнить, что данная конструкция в доме — это зона повышенного риска, поэтому даже если она ведет в подвал дачного домика, надо помнить о проверенных годами формулах и нормативах для вычисления ее параметров:

  • число ступенек не должно быть меньше 3 и больше 18;
  • минимальная ширина лестничного марша — 0,9 м;
  • максимальный уклон 1:1,25.

При вычислении параметров следует учесть, что надлежит обеспечить безопасное функционирование каждого элемента. В частности, наклон лесенки не может меняться на всем протяжении ее, а величины всех ступеней рекомендуется делать одинаковыми. Конструкция, имеющая ограждения, должна быть устойчивой и надежной, если на нее облокотится человек, который весит 100 кг. Если в доме есть дети, ступени обязательно должны быть с подступенками, а перила необходимо оснастить экраном или сделать промежуток между балясинами не более чем 120 мм.

В этом видео показан расчет размеров лестницы:

Длина пространства от потолка до ступенек должна быть больше 2 м. При проектировании лестницы в доме важно не забыть сделать освещение так, чтобы на ней было светло в темное время суток. Для этого необходимо предусмотреть не только оптимальное расположение осветительных приборов, но и удобно расположенные выключатели.

Оптимальные размеры лестницы в частном доме Vlest производство лестниц

Существуют определенные параметры, которые необходимо соблюдать, чтобы получить качественную надежную лестницу, которая будет служить много десятилетий без скрипов.

Конечно многое зависит от возможностей помещения первого этажа и размера проема второго. Порой размеры помещения не позволяют установить удобную лестницу, но сделать ее максимально комфортной можно. В данном случае необходимо грамотно произвести замер помещения. Нельзя просто взять из головы параметры для конструкции, т. к. они взаимосвязаны, зависят друг от друга и непосредственно влияют на удобство и безопасность конструкции.

Соответствие нормам и ГОСТ — залог безопасной и удобной лестницы.

Высота лестницы

Стандартов, касаемо высоты конструкции, быть не может, так как изделие должно соответствовать индивидуальным параметром в Вашем доме. Чтобы определить, какая высота лестницы необходима именно Вам, требуется произвести замер помещения, учесть комфортный угол наклона, кол-во ступеней, геометрию и ширину проступи. Не стоит забывать, что по лестнице Вы должны передвигаться безопасно и комфортно, поэтому необходим грамотный замер с учетом особенностей дома. Обычно высота лестницы в стандартном загородном доме составляет от 2,5 до 3,5 метров.

Ширина ступеней

Ширина ступеней лестницы — важный параметр, от которого зависит комфорт передвижения по ней. Чем шире ступени, тем больше людей сможет перемещаться по лестнице одновременно, соответсвенно будет проще переносить мебель и различные крупногабаритные предметы. Не всегда есть возможность сделать лестницу широкой, но для минимального удобства нужно делать ширину ступеней не менее 700 мм. Комфортная ширина составляет от 800 мм до 1000 мм.

Комфортная высота ступеней

Высота ступени, т. е. шаг подъема определяет удобство и безопасность конструкции. Важный параметр, который также необходимо рассчитывать правильно. Средние параметры для шага подъема от 175 мм до 240 мм.

Для комфортного спуска и подъема также важен такой параметр, как ширина проступи. Проступаю называют часть ступени, на которую встает нога. Оптимальный размер проступи 25-30 см.

Формулы для расчета удобной конструкции

Формула Блонделя (формула среднего шага):
S= a+h*2
600 ≤ a + h*2 ≤ 640
Формула безопасности:
 a + h=460мм
Формула удобства:
 a — h=120мм

  • S в этих формулах — величина среднего шага
  • a-ширина проступи
  • h-высота подъема ступени.

Важно понимать, что минимальные отклонения в расчетах, могут сказаться на качестве и безопасности будущей лестницы. В нашей компании работают специалисты с большим опытом. Обращаясь к нам, Вы можете быть уверены, что получите грамотный расчет в кратчайшие сроки.

Нависание ступени над подступенком. Размер ступени для лестниц должен быть удобным и безопасным. Что значит «оптимальный наклон лестницы»

Почему к размерам ступеней предъявляют особые требования, прописанные в специализированных документах? Потому что они во многом решают, насколько удобно будет пользоваться лестничной конструкцией. Если речь идет о пожарных лестницах, то в данном случае именно параметры данных элементов определяют то, насколько быстро человек сможет покинуть горящее здание.

Существует, как минимум, две разновидности ступеней: прямые и забежные. Они могут быть изготовлены из дерева, бетона или металла, но требования, предъявляемые к их параметрам, не изменятся.

Даже если вы собираетесь соорудить конструкцию для собственного частного дома, необходимо рассчитать оптимальный размер ступени лестницы, который и будет определять удобство и безопасность человека при подъеме. А уж если вам необходимо поставить лестницу в здании общественного пользования, то здесь в обязательном порядке следует руководствоваться требованиями ГОСТ.

Каким параметрам в официальном документе прописан определенный стандарт? Это ширина и высота ступеней, а также угол наклона лестницы. Именно данные размеры следует учитывать при сооружении конструкции.

Требования по СНиП и ГОСТ

Чтобы ориентироваться в правилах определения оптимальных параметров, необходимо разбираться в анатомии ступеней лестницы. Данный элемент конструкции состоит из подступенка, иначе, ее вертикальной плоскости, и проступи – плоскости горизонтальной. Элементы объединяются в ряды, именуемые маршами, и в стандартной лестничной конструкции опираются на косоуры, поддерживаемые тетивами. Самые нижние и верхние элементы подъема носят название фризовых.

Удобство и безопасность ходьбы связаны с таким понятием, как величина человеческого шага, равная 60 – 64 см. Часто, чтобы сделать расчет размера ступени, используют специальную формулу, открытую Блонделем.

2х+y=60, где х – это расстояние в сантиметрах между двумя находящимися рядом ступенями, а у – это расстояние между краем одного и другого элемента.

Для расчета безопасной конструкции часто пользуются формулой х+у=45.

Для расчета параметров удобной лестницы выведена формула х-у=12.

Иными словами, формула удобства выражается в разнице между размером подступенка и горизонтальной плоскости в 12 см. Формула безопасности – это, напротив, сумма размеров ширины и высоты, которая равна 45 см.

Но чтоб не делать лишних вычислений, достаточно заглянуть в регламентирующие документы и просто неукоснительно следовать параметрам, указанным в них.

  • При наличии более двух этажей внутри здания необходимо сделать один пролет. Причем, ширина пролета должна быть в диапазоне 80 – 120 см;
  • Марш включает в себя от трех до 18 подъемных элементов. Для общественных зданий количество ступеней снижено до 16;
  • Идеально, если количество элементов нечетное, что позволяет начинать и завершать процесс подъема с одной и той же ноги;
  • Угол наклона лестницы при подъеме должен составлять более 6 градусов, но менее 45;
  • Высота ступеней лестниц – это важный параметр. Нормы и правила, указанные в документах, позволяют этому размеру варьироваться в пределах 15 – 20 см. В пределах марша допускается различие между высотой подъемных элементов в 0,5 см;
  • Ширина элемента должна быть не менее 25 см. Если лестницы обустраиваются в подвалах или чердаке, то нормы и правила позволяют уменьшить данный размер на 5 см;
  • Максимальный выступ подъемного элемента – 3 см;
  • Исходя их требований СНиП, площадка конструкции должна находиться в строгом соответствии с шириной ступени. Расстояние от нее до двери должно быть порядка метра;
  • Ограждающие конструкции должны иметь высоту в 90 см. Расстояние между балясинами должно быть 10 – 15 см;
  • При конструировании или выборе поручней и перил нужно рассчитывать нагрузку с запасом. Регламентирующие документы указывают, что перила должны выдерживать вес в 100 кг и более. Это позволяет взрослому человеку полностью облокотиться на ограждающую конструкцию;
  • Между ступенями и потолочной плоскостью должно быть расстояние в 200 см. Минимум – 195 см для лестничного пролета.

Угол наклона лестницы и параметры подъемных элементов часто бывают связаны.

Так, если угол от 5 до 20 градусов, высота ступени должна иметь размер в 13 см, а ширина быть равной 37 см. Данный угол наклона характерен для уличных конструкций.

Общественные лестницы часто имеют угол от 20 до 30 градусов.
В таком случае ширина ступени приближается к значению в 29 см, а высота – к 17 см. Угол в 30 – 45 градусов характерен для жилых зданий. Именно в данном случае размеры ступеней довольно удобны для частого подъема: ширина равна 23 см, а высота – 20 см.

Впрочем, удобство применения лестницы зависит и от высоты этажей здания. Опытным путем доказано, что при высоте в 3,3 метра при количестве ступеней в 20 штук, высота подступенка должна быть 16, 5 см. При высоте этажа в три метра – 15 см, в 2,7 – 13.5, в 1,4 – 12 см. Высота подступенка увеличивается обратно пропорционально количеству ступеней. То есть, если подступенка при высоте этажа в 2,7 м составляет 16,8 см, то лестница должна иметь 16 ступеней. Если увеличить их количество хотя бы на одну ступень, то высота подступенка должна составлять уже 15, 8 см. Наиболее удобной и безопасной лестницей считается конструкция с шириной ступеней в 30 см и высотой в 15 см.

Если речь касается забежных ступеней, то здесь требования к размерам немного иные. Стоит начать с того, что сама конструкция забежной ступени отличается от маршевой и представляет собой трапециевидный элемент, внутренняя сторона которого меньше наружной. У забежной ступени минимальная ширина проступи по линии хода должна иметь размер в 25,4 см. С узкой стороны она должна составлять 10 – 5,2 см, а расстояние линии хода от лестничного края – 30,5 см.

ГОСТ на размер ступеней эвакуационных лестниц

Особенное внимание стоит уделить стандартам лестничных элементов эвакуационных лестниц, которые требуются по регламентирующим документам.

Для специальных конструкций ширина проступи должна составлять 25 см, но не меньше при ширине марша в 90 см. Ограждающие конструкции по правилам должны быть более 120 см.

Нормы и правила пожарных лестниц с маршами предусматривают ширину и высоту ступеней в 20 см, если угол наклона составляет 45 градусов. При большем уклоне, высота подступенка может быть 30 см.

Вертикальная конструкция также имеет стандартные размеры ступеней, хотя ее внешний вид разительно отличается от типичных лестниц.

Ширина конструкции при наличии маршей должна быть 80 см. Если маршей нет, то вертикальная конструкция по ширине должны быть 60 см. Расстояние между ступенями, иначе, поручнями – максимум 35 см. Расстояние нижнего фризового элемента от земли должно быть не менее 25 см.

Размеры лестницы в частном доме

Если вы собираетесь самостоятельно изготовить и смонтировать лестницу для своего дома, вы, конечно, можете обойти нормы ГОСТ и СНиП, но в ваших интересах придерживаться средних показателей, которые давно оправдали себя на практике.

Для начала необходимо определить количество ступеней, которое будет в вашей конструкции. Оптимальная высота ступени лестницы – 20 см. Чтобы узнать, какое количество ступеней должно быть у вашей домашней установки, нужно высчитать высоту лестницы и разделить на 20 см.

Ширина проступи должна быть удобной для подъема, поэтому оптимальный размер ее будет 25 – 30 см.
Например, если высота лестницы – три метра, то количество ступеней будет 15.

К поверхностям подъемных элементов обычно не предъявляют жестких требований. Однако если речь не касается лестниц пожарной безопасности, не допустимо, чтобы поверхность была гладкой. Поэтому для устройства площадок и ступеней применяют рифленую, штампованную или со стальными полосами поверхность.

В условиях собственного дома для обеспечения безопасности можно постелить на лестницу ковер.

Рассчитать оптимальные параметры ступеней несложно, но чтобы сделать это грамотно, нужно для начала вычислить размеры всей конструкции. При расчете устройства следует обращать внимание на эргономические особенности, в частности, величину шага, размер ноги и вес человека.

Удобство лестницы во многом зависит от правильного расчета ступеней.

Все мы, ежедневно поднимаясь по лестнице, не задумываясь ставим ногу на нужную высоту, а в том случае, если какая-то из ступеней будет чуть выше или, наоборот, ниже, мы непременно получим пару ссадин и синяков. Почему же в большинстве случаев подъем по лестнице удобен? Дело в том, что существуют оптимальные размеры ступеней лестницы, проверенные временем.
Например, существуют .
Также, не должна быть меньше 12, но и не больше 20 см. Безусловно, выше уже некуда, но как решить какая высота ступеньки будет оптимальной для восхождения по конструкции? Это зависит от .

Основные параметры лестниц

Маршевые лестницы

Для обеспечения комфортных условий для подъема, необходимо устанавливать ступеньки глубиной в 30 см и высотой в 15 см. Эти расчеты производились, исходя из средней длины человеческого шага.



Оптимальные размеры ступеней маршевой лестницы.

В частных домах эти параметры можно уменьшить, например, вместо 30 сделать 20-25, но в таком случае лучше сделать ступени без подступенка.



Отсутствие подступенка не сказывается на удобстве пользования лестницей.

Винтовые лестницы

Винтовая лестница существенно экономит место в помещении. Ее ступени отличаются по виду и форме от обычных маршевых лестниц, что делает спуск по ним менее удобным. Для того, чтобы нога устойчиво стояла на проступи, винтовую лестницу следует делать без подступенков. Что касается ширины самой конструкции, то будет достаточно и 200 см.



Существуют, правда, и куда более широкие конструкции, но в частных домах они устанавливаются крайне редко.

Расчет оптимальных размеров

Высота подступенка влияет на удобство всей лестничной конструкции и каждой ступени в отдельности. Оптимальная его высота в жилом доме не должна быть меньше 14 см, но и не должна превышать 17 см. Эти размеры зависят от высоты самого помещения и находятся в прямой зависимости от величины шага человека.



Низкие ступени с глубокой проступью иногда устанавливаются на лестницах, ведущих к крыльцу.

Узнать ширину шага лестницы достаточно легко, если вспомнить простейшие знания по математике. Для этого нужно взять значение глубины проступи и высоты подступенка вашей будущей лестницы и подставить в формулу для расчета:

Где а – глубина проступи, а в – высота подступенка. При необходимости данные можно подкорректировать и выявить идеальный размер.

Альтернативный метод расчета размера ступеней

Рассчитать количество ступеней проще всего. Для этого берется высота помещения (т.е. расстояние от пола первого этажа до пола второго) и . Делим высоту помещения на высоту подступенка и получаем количество ступеней. В идеале, количество ступеней должно быть нечетным, поскольку удобнее начинать подъем и заканчивать с одной ноги.

Совет!

Если количество не получается нечетным, то следует подумать над тем, чтобы верхнюю или нижнюю фризовую ступень сделать чуть ниже или чуть выше, чем все остальные.



При помощи данной таблицы вы сможете определиться с размером и количеством ступеней.

Соотношение высоты подступенка к глубине проступи влияет на удобство и безопасность всей лестницы. Любая лестница должна не только подходить по размерам, но и отвечать правилам безопасности. Здесь опять же нужно знать глубину проступи и высоту подступенка. Если сложить эти размеры, должно получиться около 46 см.

Чтобы понять насколько удобна ваша лестничная конструкция, необходимо обратиться к формуле комфорта: а -в = 12 см.

Где “а” – глубина проступи, а “в” – это значение высоты подступенка. Если при расчете по этой формуле выходит значение 12 см, значит ваша лестница будет комфортной и удобной.

Совет!

Существуют специальные программы, которые помогут вам высчитать необходимые размеры для проектирования конструкции. При этом некоторыми из них пользоваться очень просто.

Бесплатный сервис для расчета размера ступеней и других элементов лестниц

Ширина марша

Этот параметр установлен действующими нормами и правилами. В небольших домах конструкция может иметь ширину 70-80 см, не считая перил и ограждений. Этой ширины будет достаточно для того, чтобы взрослый человек спокойно, не цепляя углов, поднялся и спустился по лестнице. Два человека вряд ли смогут разминуться на такой площади. Стандартная ширина должна варьироваться между 90 см и 100 см. Для большей безопасности понадобятся перила, но это займет еще некоторую площадь помещения (примерно 30-40 см.), так что при планировании ширины марша это необходимо учитывать.


Подъем по столь узкой лестнице может стать настоящим испытанием, особенно для человека, страдающего клаустрофобией.

Глубина ступеней

Глубина проступи является важным фактором на пути к комфортному перемещению с этажа на этаж, поэтому нужно тщательно продумать этот момент и определить оптимальную глубину проступи. По ГОСТу она может варьироваться в диапазоне от 23 см до 30 см, но можно отойти от нормы и прибавить по паре-тройке сантиметров. Главное не забывать о формуле комфорта. Если глубину ступени увеличить до 35-40 сантиметров, то, во-первых, конструкция будет выглядеть громоздко и вольется не в каждый интерьер, а, во-вторых, высота подступенка в этом случае должна быть тоже изменена.

Безусловно, можно совсем отказаться от установки подступенка, оставить лишь проступь. Это допустимо лишь в случае криволинейных лестниц или, если вы преследуете цель облегчить саму конструкцию.

В криволинейных лестницах размер забежных ступеней будет зависеть от других факторов. Их применяют вместо поворотных площадок для обустройства плавного перехода на второй этаж и экономии места в доме.



Именно неравномерная глубина забежных ступеней делает их неудобными.

Забежные ступени

В криволинейных и поворотных конструкциях используются забежные ступени. Они по своему виду отличаются от обычных ступеней в прямом марше. Напоминают усеченный треугольник или трапецию. в них будет стандартной. Однако, глубина ступени отличается. Так, глубина проступи в самой узкой ее части (у центральной опоры) не должна быть меньше, чем 10 см. Тогда как глубина ее внешней стороны не должна превышать 40 см. Это и будет самый оптимальный размер для забежных ступеней, чтобы лестница была максимально удобной и комфортной.

Совет!

Проверяйте все данные по несколько раз с помощью инструментов и на калькуляторе. Нередко бывает, что из-за одной досадной ошибки приходится все переделывать.

Для того, чтобы сделать чертеж будущей конструкции, нужно узнать ее размеры, самые важные из них описаны в этой статье. В процессе создания лестничной конструкции нужно помнить одно простое правило: «Семь раз отмерь и один раз отрежь». Торопиться никуда не нужно, лучше действовать с чувством, с толком, с расстановкой.

Ксения Скворцова. Главный редактор. Автор.
Планирование и распределение обязанностей в команде контент-производства, работа с текстами.
Образование: Харьковская Государственная Академия Культуры, специальность «Культуролог. Преподаватель истории и теории культуры». Опыт работы в копирайтинге: С 2010 года по настоящий момент. Редактор: с 2016 года.

Проектирование лестницы осуществляется по определенным стандартам, которые регламентированы такими документами, как СНиП и ГОСТ. Установленные стандарты обеспечивают удобство и безопасность сооружения для комнаты или для крыльца.

Среди прочего, ГОСТ определяет их конструктивные особенности, параметры и технические условия изготовления. СНиП окажет помощь тем, кто самостоятельно обустраивает лестничный марш. Там содержатся подробности, касающиеся расчетов (высота подступенка, ширина марша и прочее) и проектирования.

Параметры ступеней внутренних лестничных маршей

Для того, чтобы подниматься и спускаться было комфортно, должны выдерживаться оптимальные размеры. Ниже представлены ключевые параметры лестничных ступеней (в миллиметрах):

  • ширина ступени — от 200 до 320;
  • высота ступени — от 150 до 200;
  • максимальный выступ ступени – 30;
  • предельно допустимая разница между подступенками одного пролета – 5.

Важно правильно определить ширину проступи. Соотношение габаритов ступени выражается разными формулами. Первая называется «формулой удобства»: между размерами проступи и подступенка разница составляет 120. Вторую обозначают как «формулу безопасности»: сумма размеров проступи и подступенка равна 450. Эти вспомогательные уравнения помогут найти оптимальный баланс параметров ступени.

Требования ГОСТ, в которых оговаривается ширина деревянных и других ступеней, рассчитаны для удобного спуска и подъема. Считается, что наиболее комфортной является высота подступенка 150 мм при вдвое большей (то есть равной 300) ширине проступи. Увеличение последнего показателя приведет к тому, что для подъема на один уровень придется делать несколько шагов. Если ширина ступени будет уменьшена, спуск будет неудобным.

Требования ГОСТ, касающиеся безопасности, нужно соблюдать как при строительстве, так и при эксплуатации лестничного марша.

Строительные нормативы затрагивают все лестничные конструкции. Есть и правила, регламентирующие параметры забежных ступеней. С узкого конца их минимальная ширина должна составлять 100 мм, тогда как нависание проступи – не более 50.

Параметры площадок и ограждений

Чтобы лестничные площадки были удобными, они также должны быть спроектированы в соответствии со стандартами. Их полезная ширина не должна быть меньше ширины марша, прилегающего к ней. Для комфортного перемещения оптимальная длина площадки должна быть не менее 1300 мм. Если поблизости расположена дверь, при проектировании необходимо сделать размер площадки с учетом размера дверного полотна.

Для безопасности лестницы предусмотрены ограждения. Высота перил не должна быть меньше 900 мм, для ограждений крыльца (при количестве ступеней более трех) минимальный показатель – 800. В целях безопасности детей высота ограждения может быть увеличена до 1500.

Параметры ступени на путях эвакуации

Что касается пунктов о путях эвакуации, глубина проступи и высота подступенка четко регламентированы – 250 и 220 мм соответственно. На путях эвакуации требуется наличие выхода на прилегающую территорию – либо прямого, либо через вестибюль. Для последнего обязательно наличие светового проема площадью минимум 1,2 м2.

Важно:

На путях эвакуации все лестницы (в том числе и пожарные лестницы для работы бригад спасателей) производятся из негорючих материалов. Запрещено наличие деревянных элементов.

Конструирование лестницы для крыльца

Для деревянных ступеней для крыльца применимы те же параметры, что и для внутренних ступеней. Однако есть некоторые нюансы. Угол наклона лестницы для крыльца не должен превышать 30º, чтобы по ней было удобно подниматься. Габариты ступени крыльца находятся в тех же пределах – высота в среднем 140-170 мм, глубина – не менее 250.

Широко распространено обустройство для крыльца деревянных ступеней. Однако чтобы продлить срок их службы, дерево пропитывают защитными составами. Предпочтительно использование для крыльца твердых пород древесины.

Проектирование и возведение лестницы требует немалых затрат. Но при соблюдении строительных нормативов вполне возможно качественно выполнить эту работу. Оставьте комментарий и поделитесь полезными советами по проектированию лестницы.

Лестничная конструкция, ее внешний вид, удобство и безопасность имеют важнейшее значение для любого дома. Удачный дизайн лестницы повышает общий уровень комфорта людей, которые будут ею пользоваться в будущем, а также влияет на уровень эргономичности помещения. Учитывая важность и значимость конструкции, регулированию на законодательном уровне подвергаются практически все ее элементы: ширина и протяженность пролета, размер ограждений, количество и высота ступеней лестниц (ГОСТ и СНиП).

Значение своевременного расчета параметров

Базовые конструкции рассчитывают еще на этапе разработки проекта дома. Ширина и высота позволяет строителям вычислить важнейшие параметры будущего здания.

Зачастую при разработке проекта лестниц руководствуются действующими нормами и пожеланиями владельца здания. Соответствие административным документам, регулирующим строительно-ремонтные работы, обязательно. Ведь чертеж красивой, поражающей воображение лестницы, — это полдела. Конструкция должна быть функциональной, надежной, удобной и безопасной.

Особенно пристального внимания требуют лестницы в назначения или в учебных заведениях.

Как именно регулируется строительство лестниц

Документы, которые содержат стандарты, нормы и правила, в согласии с которыми должны быть возведены все лестницы, — ГОСТ и СНиП.

Для лестниц из бетона и железобетона существуют ГОСТ 8717.1-84 и 8717.0-84. Последний документ распространяется и на лестницы, выполненные из металлоконструкций.

Отдельные их пункты описывают то, какой высоты должны быть марши, сколько ступеней в них следует разместить и какой высоты их нужно делать. Также оговаривается угол, под которым размещают лестничный пролет, ширина площадки и тип ограждений.

Некоторые размеры приведены с указанием конкретных значений, другие представляют собой диапазон, в пределах которого мастера-строители могут выбирать подходящие для них цифры.

Что значит «оптимальный наклон лестницы»?

Угол, под которым будет расположена лестничная конструкция в частном доме, многоэтажной квартире или здании общественного назначения — это рекомендуемые значения. Минимальный угол составляет 20 градусов, максимальный — 50 градусов.

Меньший угол указывает на то, что лестница располагается низко, то есть она пологая. Конечно, по таким ступеням довольно легко подниматься и снижается риск падения, но подобная конструкция получается в разы длиннее и занимает гораздо больше места. Зачастую дизайнеры призывают владельцев к экономии жилого пространства путем сокращения длины лестницы. ГОСТ устанавливает максимально допустимый угол наклона на уровне 50 градусов, так как более крутые ступени небезопасны для поднимающегося человека.

Правда, существуют исключения, такие как монтаж лестниц на чердаки и в подвалы. Здесь могут быть разрешены крутые лестницы из-за их нечастого использования и ограниченности пространства.

Оптимальным (для частного дома) считается лестничный пролет, наклоненный под углом 30-35 градусов. Этот диапазон показателей соответствует естественным ритмам движения человека.

Какие данные принимают в расчет в процессе разработки проекта

Наиболее важными параметрами, влияющими на лестничную конструкцию, являются:

  1. Высота каждого этажа.
  2. Общие площади внутренних помещений.
  3. План расположения окон, дверей и открытых проемов.
  4. Форма и особенности стен комнат (ниши, выступы).

Эти данные, которые определяют по строительным чертежам, влияют на то, какой будет высота ступеней лестниц, ГОСТ также обязательно учитывается. Кроме того, полученные цифры позволяют увидеть, какой будет общая высота лестницы, длина маршей, количество и размер поворотных площадок.

Существование установленных параметров вовсе не означает, что лестничную конструкцию не нужно рассчитывать. Индивидуальные проекты необходимы, так как на конечные размеры влияют многие факторы (материал изготовления лестницы и ограждения, тип их отделки, материалы, использованные при оформлении интерьера).

Как вычисляется лестниц (ГОСТ)?

Угол наклона конструкции зависит от того, сколько будет ступеней, от их высоты, а также от расстояния между ними.

Стандарты определяют административные документы — ГОСТ и СНиП. Высота ступеней лестницы может быть от 12 см до 22 см. На выбор конкретного размера влияет место размещения конструкции и ее назначение. Для тех лестниц, которыми интенсивно и часто пользуются, рекомендуют выбирать значение около 14,5-17,5 см.

Говоря о глубине проступи (горизонтальной плоскости, на которую ступает человек), следует указать ее оптимальный показатель: разрешенный диапазон составляет от 25 см до 40 см. Однако самыми удобными признаны ступени, ширина которых 30-37 см.

Обоснованием этих значений становится размер стопы среднего человека, а также ширина его шага. Если по каким-либо причинам не могут быть применены оптимальные параметры или запланированный уклон лестницы препятствует размещению ступеней таких размеров, разработчики проекта уменьшают глубину до 14,5 см. При этом они предусматривают выступ, увеличивающий глубину на два или три сантиметра (свес ступени).

Что такое подступенок и какой должна быть его высота

Высота степеней любой лестницы напрямую зависит от размера подступенка и толщины самой ступени. Подступенком называется вертикальный элемент, расположенный между двумя проступями.

Как уже было отмечено, стандартная высота ступени лестницы составляет 14,5-17,5 см. При этом процесс расчета параметров предусматривает обязательную проверку на удобство и безопасность. Для этого складывают ширину проступи и высоту подступенка (по чертежу). Если сумма находится в диапазоне от 44 см до 48 см, то лестница может считаться безопасной.

Количество ступеней

Стандартный лестничный марш в среднем содержит 12-15 ступеней. Это количество позволяет большинству людей спокойно подняться от начала до конца конструкции или до лестничной площадки.

Чтобы определить, сколько ступеней будет иметь возводимая лестница, мастера используют следующий метод:

  1. Вычисляют или измеряют общую длину лестницы (расстояние от первой ступени до пола второго этажа).
  2. Делят полученную длину на примерную высоту подступенка.
  3. Округляют полученный размер до целого числа и выполняют пересчет с учетом новых данных.

Этот алгоритм довольно упрощен, так как в процессе реальных расчетов принимаются во внимание многие другие факторы (толщина напольного покрытия на первом и втором этажах, тип самой лестницы, отделка ступеней).

Особенности лестниц из бетона

Сегодня выбор лестничной конструкции для многих владельцев домов облегчен существованием готовых модулей из высококачественного бетона (марка не ниже В15).

Их изготовлением занимаются сертифицированные производители, поэтому соблюдены все требования ГОСТ и СНиП (высота ступеней лестницы, их глубина и ширина, а также угол наклона).

Использование таких конструкций значительно облегчает, ускоряет и удешевляет возведение лестниц. ЖБ-лестницы очень прочны и поддаются декорированию различными материалами и техниками, поэтому их устанавливают как в жилых домах, так и в общественных зданиях.

Отдельные аспекты проектирования лестниц

Высота ступеней лестниц (ГОСТ это предусматривает) должна быть одинаковой для всех элементов лестницы. Это обязательное требование, которое призвано обеспечить равновесие человека, перемещающегося между этажами.

Кроме того, специалисты утверждают, что людям более комфортно завершать подъем или спуск той ногой, которой они начали движение по лестнице. Поэтому многие конструкции содержат нечетное количество степеней.

Если площадка между маршами состоит из нескольких уровней, разница в их высоте должна быть равна высоте ступени.

Винтовые лестницы и их ступени

При проектировании винтовых или спиральных лестниц дизайнерам приходится иметь дело с забежными ступенями. Требования, касающиеся их высоты, остаются такими же, как и для прямых, поворотных или комбинированных конструкций.

Однако, в силу специфичной формы ступеней, строгому регулированию подвергается глубина проступи и ширина самой лестницы.

Это связано с тем, что передвигаться по винтовым конструкциям не настолько удобно и безопасно, как по традиционным. По этой причине дизайнеры не советуют возводить такую лестницу в качестве основной.

Зачастую винтовые лестницы служат для подъема на чердак или как вспомогательное средство передвижения. Правда, многие современные конструкции винтового типа имеют очень красивый дизайн и становятся главным украшением комнаты. Для повышения комфорта будущих жильцов их ширина и высота между ступенями лестницы должны быть максимально приближенными к оптимальным параметрам.

Винтовые лестницы совершенно не подходят для установки в общественных зданиях и учебных учреждениях. Также их следует избегать, если в доме будет жить человек с ограниченной подвижностью. Правда, если владелец все же очень хочет видеть в своем доме именно такую лестничную конструкцию, ему следует разместить все значимые объекты и помещения (спальню, кухню, гостиную) на первом этаже.

В старинных классических англоязычных детективах сюжет очень часто закручивается вокруг падения с лестницы. Подобная причина несчастных случаев — обычное дело и сегодня. Так как второй уровень становится привычным делом не только для загородного дома, но и для городского жилья, вопрос грамотного проектирования лестниц — надёжных и безопасных — становится всё актуальней. Важный этап конструирования лестницы — грамотный расчёт её основных параметров.

На стадии проектирования дома

Чем выше качество проектных работ, тем меньше проблем возникнет во время выполнения работ, тем проще рассчитать предполагаемые затраты и тем лучше конечный результат. Это считается аксиомой, но почему-то в строительной практике бывает иначе. Для устройства удобного и безопасного сообщения между разными жилыми уровнями это особенно актуально.

Тщательно проработать будущую лестницу лучше на самых ранних стадиях проектирования. Втиснуть необходимую лестничную конструкцию в уже существующий, но очень узкий проём в перекрытии, — дело очень проблематичное. Поэтому лучше заранее определить на плане этажей оптимальное место для проёма, рассчитать его необходимый размер. Тем более что для такого важного элемента здания необходимо предусматривать достаточное освещение (лучше естественное) и возможность надёжной фиксации несущих элементов лестницы к строительным конструкциям. Всё это лучше сделать на этапе разработки внутренней планировки и выбора технологии возведения будущего жилья.

Исходные данные

Для того чтобы подобрать оптимальные размеры лестницы на второй этаж, необходимо определиться с исходными данными:

Для детальной проработки будут необходимы и другие данные. В частности, на выбор лестничной конструкции влияет материал стен и перекрытий, не говоря уже об учёте общей концепции дизайна помещения. Но вначале следует рассчитать линию хода, высоту ступени и длину проступи.

Главное — безопасность

Популярность сюжетного хода у Агаты Кристи и её последователей в виде падения персонажей с лестницы объясняется во многом традицией использования в Англии и в Америке (а также в Японии) угла наклона лестниц в 45 градусов , т. е. длина проступи равна высоте ступени. Этим достигается наибольшая экономия площади, занимаемой лестницей в плане. Отечественные рекомендации специалистов призывают рассматривать этот случай как крайний из возможных, потому что подъём, а особенно спуск с этажа на этаж по такому маршу, безопасен только для человека в хорошей физической форме и в удобной обуви.

Более низкая ступень и проступь длиной больше 250 mm — это не только более безопасно, но и более комфортно. Доказано, что так при подъёме на второй этаж тратится меньше усилий, а это особенно важно для пожилого человека.

Основы теории

Опытом и наукой выработаны некоторые оптимальные параметры для проступи и подступенка (в mm): 150х300 и 170х290. Первый рекомендуется для наружных (ландшафтных) лестниц, второй — для внутридомовых. Оптимальный уклон лестницы — от 30 до 40 градусов .

Если же делается расчёт лестницы для существующего здания, следует применять специальные формулы, где используются следующие данные:

Расчёт параметров ступеней делается с помощью 3-х основных пропорций:

  1. «Формула удобства»: a — h = 120 mm
  2. «Формула безопасности»: a + h = 450 mm
  3. Формула Блонделя: 600 mm

Третье уравнение считается наиболее универсальным, т. е. подходящим для большинства случаев.

Пропорция Франсуа Блонделя

Французский архитектор и инженер XVII века Франсуа Блондель (1618–1686) одним из первых стал искать математическую зависимость между параметрами человеческого тела и архитектурными элементами здания. Его исследования лежат в основе многих современных эргономических теорий архитектуры и дизайна.

Расчёт ступеней по Блонделю удобнее начинать с вычисления высоты ступени. Высота межэтажного подъёма делится на предполагаемое число ступеней, ищется результат, наиболее близкий к оптимальной величине — 170 mm для внутренней и 150 mm — для наружной лестницы. Затем по формуле находится длина проступи и вычисляется общая длина хода лестницы. Если ограничения имеют габаритные размеры места под лестницу, следует из этого показателя выводить максимальную длину проступи, т. к. это основной показатель удобства и безопасности.

Конструкции с забежными ступенями (это те, у которых один край, расположенный у меньшего радиуса поворота лестницы уже, чем другой) и тем более винтовые лестницы, целиком состоящие из таких ступеней, — одни из самых интересных и эффектных по дизайну и конструктивному решению. Но прямолинейные марши с площадками для разворота намного комфортнее и безопаснее, а прямолинейные по форме ступени ещё и намного дешевле криволинейных.

Но если размер проёма и места под лестницу позволяет возвести только поворотную конструкцию, расчёт забежных ступеней производят по центральной линии марша, откладывая по ней рассчитанную длину проступи, причём средняя линия не может иметь радиус кривизны больше 30 градусов . Нормами предусмотрена минимальная ширина проступи по средней линии — 260 mm, а ширина самой узкой части ступени не может быть меньше 100 mm.

Следует помнить ещё об одной особенности человеческого организма, которую должен предусматривать грамотный расчёт лестницы. Длина шага, сделанного правой ногой, в среднем на 2 см длиннее, чем сделанного левой, а безопасность лестницы следует оценивать по спуску — в этом случае площадь под опору ногой на величину свеса («носа») меньше. Вывод — левый заход на поворотный участок лестницы удобнее.

В одном марше не следует делать больше 10 подъёмов, далее следует разместить площадку, шириной не меньше 1000 mm . Ширину прохода нерационально делать меньше 1000 mm, а высоту прохода в свету (до балок и верха проёмов) меньше 2200mm. Размер марша следует рассчитать с учетом того, что по лестнице предстоит поднимать и крупногабаритные грузы.

Количество подъёмов принято делать не больше 18-ти и нечётным: человек начинает подъём и входит на этаж с одной и той же ноги.

Категорически не допускаются различия в высоте ступеней более 5 mm на протяжении одного марша. Вместе с МЧС, которое борется за уменьшение количества несчастных случаев, за это жёсткое требование выступают медики: такая неравномерность в движении приводит к резким точечным нагрузкам на внутренние органы, в частности, на почки.

Высота поручней — около 900 mm, если ширина прохода позволяет, для марша, расположенного у стены, следует делать поручень с обеих сторон, чтобы повысить безопасность при спуске.

К детям отношение особое: предусматривают калитку для предотвращения выхода на лестницу совсем маленьких, а расстояние между балясинами ограждения делают не более 100 mm. Иногда предусматривают детский поручень на высоте 450 mm .

Если по расчету лестничный марш располагается около оконного проёма, недопустимо оставлять его без надёжного ограждения.

При выборе конструктивного решения для лестницы следует рассчитать максимальную нагрузку, которую она способна выдержать.

 

гост и способы вычисления. Что такое подступенки

Каждый из нас регулярно имеет дело с лестницей – подниматься или спускаться по ним приходится даже тем, кто живет в высотном доме и предпочитает пользоваться лифтом. Мы чисто автоматически переставляем ноги, поднимая их на требующуюся высоту. И если какая-то ступень выпадает из общего ряда, человек как минимум спотыкается. А то и легкую травму может получить. Но это случается редко: размер ступеней лестницы регламентирован требованием ГОСТа, который при проектировании соблюдается строго. Впрочем, это в интересах как проектировщика (претензий от заказчика не будет), так и пользователя, которому предстоит эксплуатировать лестницу.

Все размеры лестниц четко определены нормами ГОСТа и СНиП. Они дают возможность выбора, поскольку сооружать конструкции приходится в разных исходных условиях. Однако выходить за рамки минимальных и максимальных значений при проектировании разработчики не будут. Так, уклон лестницы не должен превышать 45 градусов, поскольку более крутая конструкция не безопасна для подъема и спуска. Да и пользоваться ею человеку будет тяжело. Идеальным наклоном считается 30 градусов, который и проектируется для общественных зданий. Проблема в том, что лестница, сооруженная под таким углом, занимает слишком много места. Поэтому в частных домах обычно отдается предпочтение более крутым уклонам.

Особое внимание уделяется ступеням. Стандартный их вариант состоит из двух фрагментов.

  • Проступь . Так называется горизонтальная поверхность ступени, предназначенная для установки ноги.
  • Подступенок . Вертикальная часть ступени, предназначенная для поддержания проступи. Высота подступенка, собственно, и является высотой ступени.

При проектировании лестницы нормами ГОСТ рекомендуется закладывать высоту подступенка в пределах 12-20 см. Конкретное значение выбирается в зависимости от типа конструкций и их предназначения.

Тонкости маршевых конструкций

Для лестниц в один или несколько маршей идеальной считается ширина проступи (ее еще называют глубиной) в 30 см и высотой ступени в 15 см. Параметры для маршей выведены, исходя из длины шага среднестатистического человека.

В частном доме, ради экономии пространства, нередко ширину проступи уменьшают до 25, а то и до 20 см. Однако в этом случае рекомендуется проектировать лестницу со сквозными ступенями, то есть не закрывать подступенки материалами. Иначе лестничной конструкцией пользоваться станет крайне неудобно: ширины ступенек на марше для уверенной опоры на проступь будет хватать разве что детям.

Отметим, что правильно сооруженная лестница без подступенков не теряет ни в безопасности, ни в удобстве эксплуатации.

Винтовые конструкции

Когда в доме монтируется винтовая лестница, к ее ступенькам предъявляются несколько другие требования, хотя основные стандарты по-прежнему остаются в силе. Такая лестница значительно экономит пространство, однако ступени на ней по форме и расположению сильно отличаются от тех, что ставятся на маршах конструкций маршевого типа. Обычно при проектировании винтовой конструкции соблюдается два правила.

  • Ширина ступени выбирается в пределах 20-22 см. В противном случае придется делать слишком широкий изгиб, что в условиях ограниченности пространства чаще всего неприемлемо.
  • Из-за недостаточной глубины ступеней подступенок по правилам не оборудуется.

Исключением в плане указанных параметров могут быть лестницы, выполненные в винтовом варианте исключительно из дизайнерских соображений. Тогда и ширина самой конструкции, и глубина ступеней выбираются в более комфортных для эксплуатации параметрах.

Расчет размеров ступенек лестницы

Высота подступенка, глубина самой ступени – все эти параметры напрямую влияют на удобство пользования конструкцией. Наиболее удобной высотой ступени считается диапазон между 14 и 17 см, максимальной допустимой – показатель в 20 см. Оптимум высчитывается в зависимости от высоты помещения, где монтируется лестница, но всегда зависит от размера шага человека.

Если речь идет о лестничной конструкции, ведущей к входной двери, разработчик может отклониться от рекомендуемых размеров: очень часто такие лестницы оборудуются с повышенной глубиной ступеней и малой их высотой. Такой ход повышает безопасность пользования лестницей при плохих погодных условиях.

Для расчета ширины шага лестничной конструкции, расположенной внутри дома, имеется простая формула: 2а + в = 60. В ней а – ширина ступени, в – ее высота. При проведении расчетов иногда приходится перебирать несколько вариантов параметров, чтобы определиться с идеальным размером ступеней лестницы.

Что касается количества ступеней, то его рассчитать, пожалуй, проще всех остальных параметров.

  • Замеряется высота помещения. За нее принимается дистанция от чистового покрытия нижнего этажа до такого же уровня верхнего.
  • Выбирается оптимальная высота ступени.
  • Первый параметр делится на второй – получаем количество ступеней.

По поводу числа этих элементов ГОСТ ничего не говорит. Однако чисто практически и психологически более комфортным считается нечетное их количество – начинать и заканчивать подъем удобнее с одной и той же ноги. Поэтому если в результате расчетов вы получили четную цифру, следует подумать об ее изменении. Можно нижнюю или верхнюю ступеньку сделать не стандартной высоты (чуть более низкой или высокой), чтобы увеличить или уменьшить количество ступеней на единицу.

Безопасность и комфорт эксплуатации лестничной конструкции зависит также от соотношения глубины проступи и высоты проступенка. При сложении этих параметров проектировщик должен получить 46 см (плюс-минус сантиметр).

А чтобы проверить, насколько удобно будет безопасно подниматься и спускаться по лестнице, можно из ширины лестницы отнять ее высоту. Если на выходе получается 12 см, значит, вы разработали идеальную конструкцию.

Особенно важно скрупулезно просчитать шаг ступенек конструкции. С него, собственно, и стартуют прочие расчеты. Неверно рассчитанный шаг при эксплуатации лестницы может даже повлечь за собой плохое самочувствие пользователей, особенно находящихся в пожилом возрасте: избыточное перенапряжение, необходимое для сбережения равновесия, ведет к болезненным ощущениям в ногах.

Чтобы не затруднять себя возней с калькулятором, можете воспользоваться бесплатным онлайн сервисом, который рассчитает вам все необходимые параметры лестницы, в том числе и размеры ступеней:

Споры между сторонниками и противников подступенков в лестничном деле не утихают ни на минуту. Вопрос вкуса – делать лестницу открытой или закрытой, и у каждого на этот счет свое мнение. Мы все же постараемся разобраться, в каких случаях подступенки действительно нужны и зачем, а в каких без них лучше обойтись.

Что такое подступенки и зачем они нужны?

В первую очередь, стоит сказать о том, что же такое подступенки. Это небольшие деревянные дощечки, которые устанавливаются под ступень, отсюда и проистекает их название. Подступенки являются классическим элементом лестницы. Их использовали, начиная с древнейших времен в качестве возможного способа скрыть пространство под лестницей. Чаще всего там располагалась еще одна комната или кладовая.

Если ваша цель – создать кладовку, личный кабинет, библиотеку или любое другое подобное пространство, то вариант с подступенками подойдет вам лучше всего. Лестница получится монолитной, цельной, изолированной от любопытных взглядов. Изнутри можно провести освещение и наслаждаться книгами в тишине. Главное, чтобы ступени при этом не скрипели под шагами, иначе спать в этой комнате будет невозможно.


Когда еще применяются подступенки?

Когда в дело вступают художники и просто творческие люди. Подступенки превращают в настоящее произведение искусства, ведь никакой нагрузки на них не идет, они практически не изнашиваются, а краска на них не стирается. При взгляде на лестницу снизу вверх создается впечатление, что читаешь книгу или просматриваешь иллюстрированный журнал.

Подступенки могут служить дополнительным декоративным элементом при формировании необычного помещения. Например, стеклянные лестницы часто делают с подступенками, чтобы дополнительно их обезопасить, не потеряв, при этом, в эстетичности.

Когда подступенки будут лишними?

Совершенно точно, если вы хотите сделать винтовую лестницу из кованого металла, подступенки будут лишь отвлекать от основной идеи проекта. Они не применяются в больцевых системах или в лестницах на одном центральном косоуре. В этом случае подступенки ограничивают легкость конструкции, которая должна просматриваться в каждом ее элементе.

Не нашли применения подступенки и во многих авангардных проектах лестниц, в лестницах на тетивах, выполненных с забежными ступенями и в нескольких других видах необычных лестниц.


Выводы и итоги

Если вы придерживаетесь идеи лестничной классики и хотите видеть в своем доме красивую маршевую лестницу, то подступенки хорошо вам подойдут.

Если вы ищите новых, авангардных и нестандартных решений, подступенки будут только мешать вам.

В результате, выбор того или иного варианта зависит от того, что вы хотите увидеть в своей домашней лестнице.

Какого бы типа не была лестница и из какие бы материалы не применялись для ее изготовления, одно остается неизменным – конструкция должна быть удобной и безопасной в эксплуатации. В том случае, когда вы приобретаете уже готовое изделие в строительном маркете, все необходимые требования и ГОСТы, предъявляемые к системе, уже соблюдены инженерами-проектировщиками и изготовителями. Но как быть, есть вы сооружаете лестницу собственными силами? Все очень просто – внимательно изучите инструкцию по расчету оптимальных комфортных размеров конструкции и без ошибок рассчитайте такие нужные параметры системы, как высота ступени и подступенка. А поможет вам в проведении расчетно-проектировочных работ подробная инструкция, приведенная в этой статье, проиллюстрированная качественными фото и полезным видео.

Комфорт и безопасность вашей лестницы напрямую зависят от того, на сколько оптимально правильно произведен расчет таких параметров, как высота и ширина ступеней и подступеньков

Основные конструкторские требования к лестнице

Лестничная конструкция, которую вы планируете соорудить в своем доме, должна отвечать существующим ГОСТам по таким параметрам:

  • высоте;
  • ширине;
  • углу наклона;
  • размерам ступенек и подступеньков.

Оптимальная высота проступи, согласно ГОСТу, должна быть в пределах от 16 до 19 сантиметров

Ранее в предыдущих публикациях мы уже рассматривали, как правильно рассчитать основные параметры лестничных маршей. Сегодня же поговорим о том, как без ошибок вычислить размеры ступеней и подступенек для сооружаемой лестницы в доме.


На рисунке представлены оптимальные размеры конструкции для удобного перемещения по ней человека

Но для начала ознакомимся с наиболее популярными ошибками, которые допускают начинающие строители при монтаже лестничной системы своими руками.


Все ступени изделия должны быть строго одинакового размера, что обеспечит безопасность и удобство передвижения по лестнице

Ошибки при расчете высоты ступеней

В соответствии с общепринятыми нормами, высота ступи не должна быть более 19 см. В противном случае передвижение по лестнице с высоким подъемом будет достаточно некомфортным, в особенности для детей и людей пожилого возраста.


При проведении необходимых расчетов для определения размеров ступеней, для наглядности воспользуйтесь приведенной на фото схемой

Высота ступени согласно ГОСТ

Согласно с требованиями ГОСТ, допустимый показатель высоты ступеней должен быть:

  • для лестниц, расположенных в частных домах, на дачах, в многоуровневых квартирах – 19 см;
  • для нежилых помещений – 17 см.

Однако, если ваша планировка не позволяет выполнить установленный норматив, тогда в редких случаях допускается коррекция высоты до 20 см, но не более.

На фото продемонстрирован принцип проведения расчетных действий при проектировании лестницы

Ступени разного размера

Неодинаковая вышина ступеней лестницы может стать причиной даже несчастного случая. Поэтому при строительстве очень важно не экспериментировать в этом направлении, а делать ступени в соответствии с требованиями комфортными и одинаковыми по размеру.


При возведении конструкции старайтесь придерживаться установленных стандартных величин

Стандарты

Строительство, независимо от предназначения возводимого объекта, должно осуществляться при строгом соблюдении установленных норм и ГОСТов. Это правило в первую очередь касается и начинающих застройщиков, которые любят поэкспериментировать. Поэтому каждый строитель, принимаясь за работу, должен четко усвоить – при сооружении любого объекта необходимо строго придерживаться уже существующих норм и стандартов.


Стандартный шаг взрослого человека составляет около 55 — 60 сантиметров при передвижении по ровной поверхности, при подъеме по лестнице этот показатель практически вдвое меньше

При расчете высоты проступи не забывайте учитывать толщину материала изготовления

Определяем высоту ступени и подступенка – инструкция по расчету

Профессиональные строители советуют новичкам не экспериментировать при проведении расчетных работ, а лучше воспользоваться уже проверенными готовыми формулами для вычисления оптимальных и комфортных размеров конструкции. Одной из таких формул является математическое выражение для определения оптимальных комфортных значений высоты и ширины ступеней. Данная формула имеет вид:

А+Б = 450 ± 20 мм, где:

Б — ширина проступи,

Лестница является важным элементом любого дома. Она бывает различных типов, может быть расположена внутри либо снаружи здания. Главными требованиями к подобной конструкции предстают надежность и комфортное использование. Чтобы человек, перемещающийся по данной лестнице, не чувствовал дискомфорта, необходимо уделить особое внимание размерам проступи и подступенка.

Что такое проступь и подступенок?

Под данными терминами понимаются вертикальные и горизонтальные элементы ступени. Подступенком называется её высота. Чтобы лестница была максимально комфортной и безопасной, высота подступенка должна находиться в интервале 15-18 сантиметров, при этом двойная высота данного параметра, которая сложена с размером проступи (горизонтальной частью ступени), должна быть равна среднему шагу человека. По статистике данный параметр должен находиться в пределах 60-64 сантиметров.

СНиП предусматривает следующие оптимальные размеры:

  • когда речь касается жилых и общественных помещений, подступенок должен быть равен 14,8 сантиметра, а для подвалов и чердаков – 17,1 см;
  • проступь должна иметь ширину 30 и 26 сантиметров соответственно.

Основные требования

Изготавливаемая лестница должна отвечать установленным параметрам ГОСТа касательно:

  • высоты;
  • ширины;
  • угла наклона;
  • размера ступеней и подступенков конструкции.

Рассмотрим оптимальные размеры элементов лестницы.

  1. Маршевая площадка должна иметь минимальную ширину 80 сантиметров. Измеряется она от поверхности стены, учитывая толщину отделки, до внутренней стороны поручней.
  2. Ширина марша, который будет удобен для человека, находится в пределах от 90 до 100 сантиметров. Необходимо учесть то, что один марш не должен включать в себя более 17-ти и не менее 3-х ступеней.
  3. В качестве оптимальной высоты ступеней приняты параметры в 17 см, но не менее 12 см.
  4. Оптимальная ширина ступеней находится в интервале 25-32 см.

Подступенок может быть готовым или сделанным самостоятельно. Сегодня часто применяются керамические изделия или варианты из МДФ, светлые с темными или белыми полосами.

Часто встречаемые ошибки

Прежде чем начать непосредственное выполнение строительства лестницы, вы обязательно должны ознакомиться с наиболее встречаемыми ошибками, которые часто возникают при установке лестниц самостоятельно. В данном случае стоит выделить некоторые.

  1. Неправильная высота ступеней. Существующие на сегодня стандарты предусматривают, что она не должна превышать 19 сантиметров, иначе конструкция будет неудобной для использования. Такие ступени доставят дискомфорт маленьким детям и пожилым людям. Когда речь касается жилых помещений, максимальная высота ступени равна 19 см, а для нежилых зданий 17 см. Необходимо обратить внимание на то, что если особенность планировки не допускает соблюдение данных параметров, допускается скорректировать высоту ступени до 20 см.
  2. Неодинаковый размер ступеней. Разница в высоте и ширине может привести к несчастным случаям.

Если они будут разными, то будет нарушен оптимальный ритм ходьбы человека.

Инструкция

Специалисты в области строительства лестничных конструкций не советуют новичкам экспериментировать при расчетных работах. Рекомендуется использовать проверенные формулы, благодаря которым вы сможете определить оптимальные и комфортные размеры конструкции. Считается, что высота и ширина ступеней в сумме должны составлять 43-47 см.

Определяем ширину ступеней и их количество. Этот параметр лучше всего рассматривать на конкретном примере.

Этапы выполнения расчёта следующие. В первую очередь необходимо измерить расстояние от пола до потолка. В нашем примере мы возьмём за основу 2,5 метра. Межэтажное перекрытие составляет в нашем случае 35 см.

В результате высота нашей конструкции будет составлять сумму двух предыдущих параметров, а именно 2,85 метра. Высота подступенков, предусмотренная стандартом, равна 17 сантиметрам. Мы будем придерживаться данного параметра. Необходимо определить количество требуемых ступеней посредством деления высоты лестницы на 17 см. В нашем случае число ступеней будет при округлении равно 17 штукам.

Определять высоту проступи необходимо, базируясь на том, в какой сфере будет использоваться наша конструкция. Существует несколько вариантов.

  1. Лестничная конструкция для частных домов, дач и квартир. В данном случае высота подступенка должна равняться 15,5-22 см, а проступь находиться в интервале 24,5-26 см.
  2. Для общественных зданий лестничные подступенки должны быть немного ниже. Они должны равняться 13,5-18 см. При этом проступь шире, чем в жилых зданиях, то есть 28-34 см.
  3. В иных помещениях стандартной высотой подступенка является 15-19 сантиметров, а ширина проступи должна находиться в интервале от 25 до 32 см.

Особое внимание также требуется уделить оптимальному наклону лестницы. К сожалению, строительных стандартов в данном вопросе нет. Уклон лестницы базируется на том, какое соотношение будет у подступенка и проступи. Делается упор на максимальную и минимальную высоту и глубину ступени. Исходя из данных параметров, базируясь на размерах проступи и подступенка, можно отметить, что угол наклона колеблется в интервале от 33 до 45 градусов. Когда дело касается внутренних лестниц, то данное значение должно быть до 38 градусов. Когда речь идет о подсобных либо чердачных лестницах, которые характеризуются более крутым спуском, оптимальный угол наклона равен до 45 градусов.

Вы должны учитывать, что, чем шире угол наклона, тем больше пространства будет занимать лестничная конструкция.

Для чего нужны точные расчеты?

Важно, чтобы параметры каждой ступени в лестничной конструкции были максимально точными и одинаковыми. Это позволит человеку подниматься и спускаться по лестнице без особой осторожности, базируясь на мышечной памяти ног. Если установленные правила не будут соблюдены, человек будет испытывать дискомфорт при пользовании лестницей. Особо остро это ощущается, когда ступени имеют разную высоту.

В подобной ситуации часто встречаются травмы. Если вы будете осуществлять правильный расчёт подступенков, то сможете избежать различных повреждений.

Соблюдение существующих норм и правил касательно строительства лестничных конструкции позволят сделать ее максимально безопасной и удобной.

Крепление подступенков

Данный процесс может быть осуществлён различными способами. Это зависит от того, из какого материала изготавливается ваша лестница, при этом учитывается, будет ли он снизу подшиваться. На параметр крепления оказывает влияние и устройство косоуров.

Существует три основных способа выполнения крепления. Рассмотрим каждый из них.

  1. Классическая установка, где крепление осуществляется в паз.
  2. Крепление, выполняемое к торцу, с помощью использования саморезов. Этот же способ предусматривает установку фурнитуры с применением клея.
  3. Монтаж подступенков с задействованием уголка.

Останавливать свой выбор на том или ином способе вы должны, базируясь на собственных предпочтениях и сфере использования лестничной конструкции.

При строительстве лестницы обязательно учитывайте наиболее действенные советы специалистов.

  • Для того чтобы осуществить замену проступи , рекомендуется снять старые плоские элементы ступеней, расположенные сверху. Следите, чтобы клин не сместился при использовании.
  • Если клин был потерян, элемент можно будет опереть на брусок. Плоские элементы лестницы нужно располагать внахлёст. Таким образом, они частично будут друг друга перекрывать, если посмотреть на них сверху. Их ширина может быть неодинаковой в местах, которые служат для опоры правой и левой ноги. Для того чтобы установить ограждение, требуется высверлить отверстия по краям ступеней.

Лестница, отделанная ламинатом, хорошо смотрится в любом интерьере вне зависимости от его стиля Далеко не каждый лестничный стройматериал подойдет для создания ступенек. Обшивка лестничной конструкции ламинатной доской сегодня достаточно актуальна, так как этот отделочный материал имеет все качества, которые нужны для создания высококачественного покрытия поверхностей. В материале представлен разбор того, как обшить лестничную конструкцию своими руками, а также рассмотрены достоинства материала и нюансы работы.

Практичная отделка ламинатом бетонной лестницы

Ламинатная доска – это напольное покрытие на основе ДВП (из фанеры). Жёсткие ламинатные плиты достаточно надежны, способны выдержать сильные нагрузки, что возможно из-за слоистой структуры. Ламинат состоит из 4 слоев.

Главная задача самого нижнего слоя – обеспечение защиты материала от разного рода деформаций. Это слой-стабилизатор, который повышает жёсткость. В некоторых разновидностях стройматериала к нижнему слою приклеивается звукоизолирующий слой, это дает возможность напольному покрытию отлично устранять лишний звук. Несущий слой – это основа доски. Его создают из древесноволокнистой плиты, которая имеет очень высокую плотность. Именно этот слой наиболее значимый в конструкции, так как выполняет важнейшие функции.

Если помещение небольшое, то лестницу лучше обивать ламинатом светлого цвета

Именно в этом слое присутствует замок, который и дает возможность ламинату скрепляться между собой.

Также несущий слой является основным шумоизолятором. И наконец, влагоустойчивость ламината в прямой зависимости от этого слоя. Он пропитан специальными веществами, которые обеспечивают защиту от влаги. Декоративный слой обеспечивает внешнюю привлекательность материала, которым выполняется облицовка.

Слой представлен бумажным листом, на который нанесен рисунок, имитирующий поверхность:

  • Паркетной доски;
  • Дерева;
  • Кафеля;
  • Натурального камня.

На самом верху доски расположен слой-защита. Это спецпокрытие акрилом или меламиновой смолой, которая дает защиту от механических воздействий. Класс износоустойчивости зависит от этого слоя, но в наше время у него появилась и функция декора. На его поверхность накладывается фактура, и это лучше имитирует дерево, линолеум, структуру паркета.

Специалисты дают несколько рекомендаций по монтажу ламината своими руками. Первая ступенька обычно отличается от других ступеней, так как значительно выступает за тетиву лестницы сбоку, поэтому правильно будет сделать шаблон из картона, по которому будут вырезаться пластинки. Так получится сэкономить стройматериал.

Если, выкраивая ступени маршевой лестничной конструкции, сложностей не будет, то можно резать элементы для винтовой лестницы.

Среди достоинств лестниц из ламината стоит отметить отличный внешний вид и хорошие эксплуатационные качества

В обязательном порядке надо сделать шаблоны. При этом, замерять надо отдельно каждую ступеньку, и переносить форму на картон. Если этого не сделать, то будет много брака. Прочное покрытие возможно получить, только если отделать конструкцию полностью, так как укладка делается не только для декора, но и носит декоративную функцию. Обшитая по правилам конструкция прослужит долго. Такой лесенкой можно будет наслаждаться многие годы.

Ламинат имеет неоспоримые достоинства:

  1. Большой выбор цветов и фактур, поэтому обшитая ламинатом лестница, способна украсить интерьер любого стиля.
  2. Легкий монтаж и ремонт.
  3. Приемлемые расценки.

Ламинатная доска для лестничной конструкции на второй этаж должна соответствовать требованиям – износостойкость для поддержания эстетичности лестницы на протяжении многих лет, надежность, так как с годами при эксплуатировании лестница будет подвергаться ежедневным нагрузкам и антискользящая поверхность, которая гарантирует безопасность при спуске и подъеме. Ламинат для лестницы – идеальный и долговечный вариант. Дольше прослужит, если устроить уголок и плинтус.

Подготовительный этап сборки ступеней из ламината

Если есть желание покрыть лестницу ламинатом, то важно понимать, плиты не способны укрепить расшатанные ступени. Им самим нужна надежная основа. Лестница может быть металлической, бетонной или деревянной.

И даже, если ступени крепкие и надежные, но имеется люфт, ламинатные доски будут:

  • Расползаться;
  • Деформироваться;
  • Разъезжаться.

При этом, на клей плиты «садить» запрещено, так как они могут растрескаться. Толщина плит должна быть 6-12 мм, поэтому такой стройматериал может стать надежным покрытием, но не основанием. Предусматривая ступеньки, обшитые ламинатом, мастер обязательно должен хорошо укрепить подступенки и проступи на крепежи, исключая любой люфт.

До того как обшивать ламинатом, все сомнительные элементы конструкции надо укрепить.

Если перед облицовкой были сделаны какие-то лакокрасочные работы, то основа должна высохнуть и только потом можно делать монтаж. Как только крепежи вкручивается в древесную поверхность, над шляпкой самореза остается небольшое углубление. Для того чтобы крепеж не покрылся ржавчиной, её надо укрыть чопиками (деревянный элемент) или же зашпаклевать.

Проведение монтажа плинтуса для лестницы

Теперь необходимо подробно рассмотреть, как обшить лестничную конструкцию ламинатом квик степ (quick step). Прежде чем обшивать, нужно понять, что лучшее качество возможно получить только тогда, когда каждая ступень будет обшита одной плитой, не имеющей стыков. То есть, одна доска идет на проступь и одна на подступенок. Сегодня возможно запросто купить ламинат по ширине проступи.

Если лестница имеет много маршей, то на площадках нужно устраивать плиты замок в замок.

Любая упаковка ламинатной доски содержит инструкцию, где подробно описано, что перед монтажом, под плиты следует уложить подложку. Такая мера даст возможность не только утеплить пол, но и устранить лишний звук. В качестве шумоизолятора возможно применять 2-х миллиметровую подложку из ПЭ. У данного изолятора есть неоспоримые достоинства, стоимость и хорошее устранение шумов.

Чтобы подогнать панели под ступеньки, хорошо работать электрическим лобзиком, который имеет пилку по древесине. Но, если элементы полукруглые, фигурные, например, под балясину, то нужно использовать узкую и надежную пилку по металлу.

Также панели можно порезать, используя:

  • Ножовку;
  • Ручную циркулярную пилу;
  • Или болгарку.

Благодаря плинтусу можно существенно улучшить эстетические качества лестницы из ламината

После того как шумоизолятор уложен, можно монтировать к ступенькам ламинат. Собственно облицовка лестничной конструкции ламинатом представляет собой простую работу. Для этого могут быть применены крепежи, которые должны быть из цветных металлов, чтобы не заржаветь. Вполне достаточным будет закрутить по каждому краю проступи по 1 крепежу, так как доски будут крепиться на уголки из металла.

Подступенки устраиваются также. То есть, с обоих краев ламинат крепится к основе на крепежные элементы. Так как основная нагрузка на покрытие приходится на край ламинатной доски, то для его защиты, применяется лестничный профиль для ламината. Если такой профиль не смонтировать, то в скором времени покрытие придет в негодность. Металлический уголок тоже выступит в качестве защиты от повреждений, сохранит эстетичность.

Возможные проблемы с уголком для ламината

При отделке лестницы плитами, многие встречаются с некоторыми проблемами. Первая ступень обычно отличается от других, так как сбоку, как уже отмечалось, она серьезно выступает за тетиву. В этом случае применяют шаблон, размеры которого позволяют правильно разрезать доски ламината, чтобы не допустить перерасход стройматериала.

При обшивке прямого марша, определение формы ступеней не проблематично. В случае, если есть желание обшить винтовую лестницу, тогда для каждой ступеньки надо сделать отдельный картонный шаблон. Работа кропотливая, но результат будет великолепный. Все ступеньки должны быть полностью укрыты плитами, только так можно сделать надежное покрытие.

Отделка лестницы ламинатом своими руками (видео)

Прислушавшись к советам опытных мастеров, можно самостоятельно выполнить облицовку и ходить по надежной, красивой лестнице.

Примеры отделки лестницы ламинатом (фото идей)

Круглая лестница из бетона

Круглые лестницы на второй этаж часто являются логичным решением для обустройства двухъярусных квартир и частных домов. У них есть несколько серьезных достоинств, и всего один недостаток. Такие лестницы идут вокруг оси, однако при изготовлении из железобетона установка опорного столба не обязательна. Их главное отличие от винтовых аналогов – лестничный марш не заходит на спираль, а заканчивается в пределах одного круга.

Характеристика лестниц

Купить круглую лестницу стоит потому, что она имеет следующие достоинства:

  • вся конструкция занимает минимум жилой площади;
  • стоит несколько дешевле за счет экономии материалов;
  • отлично вписывается в интерьер любого стиля.

Именно круглая лестница за счет своей конфигурации умещается на небольшой площади. Поэтому её устанавливают в зданиях, где каждый квадратный метр имеет значение.

Укладка ламината на пол, от выбора до монтажа.

Решение оптимально и для второстепенных подъемов, редко использующихся (на чердак, спуск в подвальное помещение). Расходы на установку ниже, ведь в большинстве случаев и материалов на изготовление конструкции требуется меньше.

Экономичными и качественными, долговечными считаются круглые лестницы из бетона. Такое изделие можно спроектировать с учетом всех особенностей объекта, идеально встроить в жилое пространство и сделать не только удобным, демократичным по стоимости, но и красивым. Поверх железобетонной конструкции можно пустить любые отделочные материалы, общий вид интерьера будет смотреться стильно и дорого.

Выбирая декор и вид отделки, легко адаптировать решение под любой стиль интерьера. Больше фото круглых бетонных лестниц можно увидеть в каталоге наших работ.

На что следует обратить внимание

Так как вся конструкция состоит из забежных ступеней, усеченных у оси, такую формы не сделать узкой. Длина каждой ступени должна быть не меньше метра, и все же передвигаться по ней быстро не получится, поэтому категорически не рекомендуется оборудовать такой лестницей подъем в детскую комнату. В быту такая лестница подходит только для помещений, куда нужно подниматься не слишком часто.

Техника безопасности в подобных конструкциях приобретает особое значение: перила должны быть удобными, функциональными для людей разного роста. Сами ступени обязаны быть нескользкими, удобными по ширине, к внешнему краю они должны вмещать стопу взрослого человека. Чтобы спуск и подъем были комфортными и безопасными. Поэтому заказывая круглую бетонную лестницу, обсудите с инженером в деталях, как именно и кем она будет использоваться.

Цена круглой лестницы будет зависеть, прежде всего, от выбора материалов. Однако грамотно спланированная конструкция визуально кажется легкой, изящной, она украсит любое жилище.

Изготовленная нашей командой круглая лестница будет удобной и безопасной в эксплуатации для всех членов вашей семьи. Позвоните нам по указанным телефонам или оставьте заявку на обратный звонок, и мы сможем дать подробную консультацию о цене и особенностях установки круглой лестницы на второй этаж.

Как мы работаем

Что такое подступенки и для чего они нужны

Многие владельцы частных домов с лестницами задаются резонным вопросом: «для чего все-таки нужны эти подступенки?». С одной стороны – это эстетичное и практичное решение, нос делать лестницу с ними довольно сложно.

Особенности отделки лестницы ламинатом

В этом плане подступенки вызывают много споров. Постараемся ответить на вопросы о том, что это такое, для чего они нужны и нужны ли вообще.

Что такое подступенки?

Подступенки – это небольшие доски, которые устанавливаются с торца каждой ступени и располагаются как бы под ними. От этого своего местоположения они и получили основное название. В большинстве случаев подступенки выполняются из того же материала, что и основная лестница, но, если декоративное решение требует иного, например, контрастного сочетания, они могут выполняться из другого дерева.

Подступенки – очень важный элемент лестницы, как таковой. Они не позволяют ноге проваливаться внутрь, застревать. Это очень важно для пожилых людей и маленьких детей, которые постоянно норовят везде засунуть свои ножки, ручки и даже голову, чтобы посмотреть, что же там под лестницей.

То есть подступенки выполняют и декоративную и практическую функцию.

Для чего нужны подступенки

Некоторые владельцы собственного жилья не представляют себе лестницу без подступенков. Это классический элемент любой большой и красивой лестницы на второй этаж. Если вы цените добротность и основательность, то подступенки – это ваш выбор. С другой стороны, особой практической функции они не несут. В некоторых открытых по виду конструкциях, они лишь портят общее впечатление от лестницы.

Нужны ли подступенки?

Если вы придерживаетесь классической, глухой модели лестницы, то, безусловно, нужны. Если же у вас установлена красивая, воздушная и очень современная лестница, то подступенки будут лишним декоративным элементом, который очень сильно испортит впечатления от лестницы. Подступенки обычно устанавливают в классических деревянных решениях из дорогого дерева. В то же время, металлические лестницы в большинстве своем идет без подступенков.

Стоит отметить, что лестницы с забежными ступенями могут быть, как с подступенками, так и без них, а вот винтовые конструкции практически всегда выполняются открытыми.

Делать ли подступенки или нет – личное дело каждого владельца своего жилья. Самое главное – определить для себя, нужны ли вам подступенки или нет, насколько внешний вид вашей лестницы приближен к классике и не будут ли они мешать вам при передвижении.

Размеры лестниц

Размеры лестниц должны выбираться таким образом, чтобы размеры ступеней соответствовали бы движению человека при ходьбе.

Размеры лестниц складываются из размеров ступеней. В случае спиральных лестниц требуется смещение ступеней.

Размеры ступеней

  • Высота подъема ступени — это вертикальный размер s между проступями следующих друг за другом ступеней (рис. 1).
  • Ширина проступи — это горизонтальный размер а, измеренный между передними гранями двух, следующих друг за другом ступеней.
  • Отношение подъема — называют отношение высоты подъема к ширине проступи s/a. Эта величина определяет уклон лестницы.
  • Подрезка — это горизонтальный размер и, на который передняя грань ступени выступает над шириной проступи нижележащей ступени.

Рис. 1. Размеры ступеней

В зависимости от высоты подъема ступени (высоты подступенка ) ходьба по лестнице напрягает человека в большей или меньшей степени. Кроме того, имеет значение, как часто ходят по данной лестнице. Высота подъема ступени — это важный размер для проектирования лестницы. При этом следует придерживаться указаний, приведенных в табл. 1.

Ширина проступи должна составлять от 25 до 32 см. При ширине проступей менее 26 см для увеличения площади, куда можно поставить ногу, возможно устройство подрезки до 3 см. В случае массивных каменных ступеней это возможно с помощью устройства выкружек или скосов плит ступеней, которые соответствующим образом увеличиваются по ширине.

Отношение подъема задается как отношение величин подъема ступени к ширине проступи в см или мм (рис. 2). В соответствии с этим отношение подъема лестницы 17,8/27,4 означает, что ее ступени имеют высоту подъема 17,8 см и ширину проступи 27,4 см. Для расчета этих величин исходят из средней величины шага человека в 63 см.

Рис. 2. Размеры высот подъема в см, которых следует придерживаться при устройстве лестниц

Размеры ступеней рассчитывают по правилу размера шага :

Лестницы с отношением подъема 17/29 являются наиболее надежными, безопасными и удобными.

Размеры лестниц

Размеры лестниц определяются с помощью расчета.

Кроме того, необходимо определить ширину лестничного марша и высоту прохода по лестнице.

Расчет лестницы производится в три этапа. Сначала получают высоту подъема ступени s, затем ширину проступи а и затем длину марша лестницы. При этом необходимо иметь в виду, что размеры ступеней внутри одного марша на линии подъема должны быть одинаковыми.

Для расчета отдельных размеров лестницы необходимо учитывать конструкцию пола нижнего и верхнего перекрытий (рис. 3). Расчетные размеры являются готовыми размерами лестницы . Однако для изготовления в первую очередь важны размеры несущей конструкции. Последние можно рассчитать из готовых размеров, вычитая толщину одежды пола.

Рис. 3. План и разрез прямой лестницы

Для определения ширины марша лестниц предписаны минимальные размеры используемой ширины марша (см. рис. 3). Они составляют согласно DIN 18065 для лестниц жилых зданий с не более чем двумя квартирами, не менее 80 см, а свыше двух квартир — 1,00 м. Для ширины лестниц в общественных зданиях, как, например в школах, действуют специальные предписания.

В качестве высоты прохода по лестнице в свету необходимо принимать высоту не менее 2,00 м, для того чтобы проход по лестнице был безопасным. Все лежащие над лестницей строительные конструкции, такие, как перекрытия, балки или лестничные марши, не должны уменьшать высоту прохода по лестнице (см. рис. 3).

Смещение ступеней

У винтовых лестниц в местах закругления образуются клинообразные ступени (рис. 4 и рис. 5). Получение клинообразной формы этих ступеней называют смещением ступеней. Это может быть сделано расчетным или графическим способом.

Рис. 4. Закругленная на четверть лестница


Рис. 5. Наполовину закругленная лестница

Сначала, как и для всех лестниц, определяется количество подъемов п для предусмотренной высоты этажа, а также получающуюся при этом высоту подъема ступени и ширину проступи а. Длина лестницы получается из ширины проступи, умноженной на количество подъемов минус один подъем.

Как производится отделка лестницы ламинатом + обшивка ступенек своими руками

Это необходимо потому, что верхняя проступь совмещается с перекрытием.

На линии подъема длина марша разбивается на соответствующее количество проступей. При этом снова следует учитывать, что верхняя проступь лежит в плоскости перекрытия. При криволинейных лестницах линия подъема в области закругления имеет форму дуги окружности. Средняя точка этой дуги лежит в большинстве случаев в угловой точке внутренних сторон лестницы или совпадает со средней точкой закругления внутренних сторон лестницы. При разбивке линии подъема на проступи следует следить за тем, чтобы угловая ступень по возможности лежала центрально, т.е. чтобы линия, связывающая углы внутренней стороны лестницы и наружные углы лестница примерно делила бы плоскость проступи пополам.

Общие правила по смещению ступеней

  • Количество смещаемых ступеней должно быть установлено, потому что его нельзя определить ни расчетным, ни графическим путем.
  • Как правило, смещается нечетное количество ступеней, так как угловая ступень должна лежать по центру, совпадая с линией, соединяющей внутренний и внешний углы лестницы (рис. 6).
  • Ширина ступеней на внутренней стороне лестницы становится меньше по сравнению с несмещенными ступенями.
  • Передняя грань угловой ступени не должна совпадать с линией, соединяющей наружный и внутренний углы.
  • Наименьшая ширина проступи не должна быть меньше 10 см.
  • С помощью закругления лестницы на внутренней ее стороне размеры проступей можно увеличить.

Рис. 6. Длина угловой ступени и положение центра закругления линии подъема

Смещение у закругленной на четверть лестницы

Процесс при проектировании показан на примере закругленной на четверть лестницы у начала подъема, т.е. при входе на лестницу. Длина линии подъема составляет 3,78 м; отношение подъема лестницы составляет 18/27.

Необходимо сместить ступени со второй по десятую. Решение конструкции производится в три ступени (рис. 7).

Рис. 7. Смещение ступеней закругленной на четверть лестницы

  • В центре лестничного марша вычерчивается линия подъема, на которую наносится полученное количество проступей (1 шаг).
  • Ширина ступеней на внутренней стороне лестницы определяется графически.

Это производится с помошью вспомогательного построения:

  • Конструируется треугольник ABC с прямым углом в вершине А и катетами s.
  • s = половине отрезка на внутренней стороне лестницы между смещаемыми ступенями (2 шаг).
  • Окружность вокруг А радиусом I разрезает прямую СВ на D.
  • I = половине отрезка на линии подъема между смещаемыми ступенями.
  • На AD = l наносится ширина проступей смещаемых ступеней.
  • Соединительные линии между С и точками деления на / делят АВ = s на искомые ширины ступеней на внутренней стороне лестницы.
  • Искомые точки деления переносятся на плане на внутреннюю сторону лестницы. Если соединить эти точки деления с соответствующими точками деления на линии подъема, то мы получим соответствующие передние грани ступеней (3 шаг).

Смещение ступеней в закругленной наполовину лестнице

Процесс при проектировании показан на примере закругленной наполовину лестницы. Длина линии подъема составляет 4,05 м; отношение подъема лестницы составляет 18/27.

Должны быть смещены ступени с 3 по 13. Решение конструкции проводится в три ступени (рис. 8).

Рис. 8. Смещение ступеней у наполовину закругленной лестницы

нормы высоты и ширины ступеней в частном доме, стандартная и оптимальная высота на лестнице

В любом частном доме есть лестница, которая может находиться как снаружи, так и внутри, соединяя этажи. Ступеньки для крыльца могут быть разной высоты, ширины, быть изготовлены из различных материалов и при правильном расчете параметров прослужить долгие годы хозяевам.

Особым параметром любой лестницы считается высота ступеней, ведь именно от нее зависят комфорт и безопасность конструкции.

Как устроены ступени?

Основными элементами ступенек являются проступь и подступенок, но при строительстве крыльца можно обойтись и без последнего.

Проступь – это та пологая часть, куда ставится нога при шаге, а подступенок – вертикальный элемент между двумя соседними ступенями. Правда, если говорить о высоте, то нужно учитывать еще и толщину плиты.

Нормы высоты по ГОСТу и СНиП

Для того чтобы максимально обезопасить себя, при закладке ступеней необходимо ориентироваться на выверенные годами нормы параметров будущей лестницы по стандартам ГОСТ и СНИП. Лучше всего обратиться за помощью к профессионалам, но для экономии времени и средств можно уточнить размеры самостоятельно.

Также важно всегда учитывать при строительстве, изменится ли высота ступеней при дальнейшей облицовке камнем, плиткой или деревом. Это необходимо будет при расчетах размеров будущей лестницы.

Есть определенные нормативы, которые позволяют без труда определиться, какими должны быть параметры трапа. Так, минимальная ширина – 70 см, стандартная высота подъема – от 120 до 200 мм. Оптимальные размеры ступеней по ГОСТу следующие: проступь – 30 см, длина ступени – от 100 до 125 см, подступенок – от 15 до 18 см.

Для того чтобы определиться с количеством ступеней, следует знать высоту этажа, до которого они будут прокладываться. Если определить высоту ступени как 15 см, то высоту этажа необходимо поделить на высоту ступеней и отнять 1.

Если лестница деревянная, то стоит учесть, что следующая ступенька может нависать над предыдущей. Это надо учитывать и спроектировать так, чтобы выступ не превышал 2 см.

Важно при проектировании макета кропотливо делать все расчеты, не бояться дробей в числах, ведь от этого зависит качество будущего изделия.

Как определить комфортную высоту?

Необходимо знать, что нормальная высота ступеней находится в пределах от 13 до 20 см.

Важно помнить, что для крыльца ступени должны быть более пологие, следовательно, их высота будет несколько ниже – 14–18 см.

Человек будет подниматься и спускаться по лестнице много раз, значит, это не должно вызывать дискомфорта. Если сделать ступеньки повыше, это может быть опасно или неудобно.

Для расчета размера ступеней можно воспользоваться формулой 2 ВС + ПР = Д, где Д – это приблизительная длина шага человека в мм, ВС – высота ступени, ПР – проступь.

Оптимальный угол подъема ступени (Y) – 30 градусов (больше делать не стоит), а значит, ВС и ПР можно рассчитать по формулам:

  • ВС = Д sin Y;
  • ПР = Д cos Y.

Важно помнить, что угол наклона всегда будет влиять на соотношение параметров.

Помните о габаритах отделочного материала, чтобы избежать дополнительной резки, а также учитывайте размеры монтажных швов.

Такие несложные расчеты позволят спроектировать макет будущей лестницы, но важно помнить, что лучше доверить все измерения профессионалам, ведь от этого зависит безопасность жителей строящегося дома.

Новый дом – это новые возможности, а значит, все его детали (лестницы, окна, ступеньки) должны приносить только пользу.

НОВАЯ СТУПЕНЬ ДЛЯ САМОЙ КРУТОЙ СПУСКИ на JSTOR

Абстрактный

Метод наискорейшего спуска — это самый простой метод градиента для оптимизации. Хорошо известно, что поиск точных линий вдоль каждого направления наискорейшего спуска может очень медленно сходиться. Барзилар и Борвейн дали важный результат, который оказался сверхлинейно сходящимся для выпуклых квадратичных в двумерном пространстве и достаточно хорошо работает для задач большой размерности.Метод BB не является монотонным, поэтому его нелегко обобщить для общих нелинейных функций, если не применяются определенные немонотонные методы. Поэтому очень желательно найти формулы шага, которые обеспечивают быструю сходимость и обладают свойством монотонности. В данной статье предлагается такой размер шага αk для метода наискорейшего спуска. Предлагается алгоритм с этим новым размером шага в четных итерациях и точным линейным поиском в нечетных итерациях. Представлены численные результаты, которые подтверждают, что новый метод позволяет находить точное решение двумерных задач за 3 итерации.Новый метод очень эффективен для небольших задач. Также представлена ​​модифицированная версия нового метода, в которой новый метод выбора размера шага используется после каждых двух точных поисков строк. Модифицированный алгоритм сопоставим с методом Барзилара-Борвейна для крупномасштабных задач и лучше для мелкомасштабных задач.

Информация о журнале

Журнал вычислительной математики издается два раза в месяц. Это международный журнал, охватывающий все разделы современной вычислительной математики, такие как численная линейная алгебра, численная оптимизация, вычислительная геометрия, численные уравнения в частных производных и обратные задачи.Ожидается, что в журнале будут регулярно появляться статьи, содержащие новые идеи, творческие подходы и / или инновационные приложения, а также рекомендуемые обзоры. JCM — это рецензируемый международный журнал, спонсируемый Институтом вычислительной математики и научных / инженерных вычислений (ICMSEC) Китайской академии наук.

Информация об издателе

Институт вычислительной математики и научных / инженерных вычислений Китайской академии наук происходит от бывшего вычислительного центра Китайской академии наук, который был основан в 1978 году профессором Кан Фэном.Институт является многопрофильным исследовательским центром научных вычислений. Исследования института сосредоточены на построении, анализе и реализации эффективных численных методов и алгоритмов для решения практических и сложных задач, возникающих из различных научных и инженерных приложений.

Методы поиска строк — оптимизация

Имена авторов: Элизабет Конгер
Управляющий: Дацзюн Юэ и Фэнци Ю

Алгоритм — это метод линейного поиска, если он ищет минимум определенной нелинейной функции путем выбора разумного вектора направления, который при итеративном вычислении с разумным размером шага обеспечит значение функции, близкое к абсолютному минимуму функции.Их изменение изменит «плотность» оптимизации. Например, для данной функции выбирается начальная буква. Чтобы найти меньшее значение, значение увеличивается по следующей схеме итераций

, г.

, в котором положительный скаляр, известный как длина шага, определяет направление шага. На рисунке 1 представлена ​​четкая блок-схема, показывающая схему итераций.

Рисунок 1: Схема алгоритма методов линейного поиска (Конгер, адаптировано со страницы википедии Line Search)

Выбор подходящей длины шага имеет большое влияние на надежность метода поиска строки.Чтобы выбрать идеальную длину шага, можно минимизировать следующую функцию:

, г.

, но на практике он обычно не используется. Это может дать наиболее точный минимум, но это будет очень затратно с точки зрения вычислений, если функция имеет несколько локальных минимумов или стационарных точек, как показано на рисунке 2.

Рисунок 2: Сложность поиска идеальной длины шага (Nocedal & Wright)

Распространенный и практичный метод поиска подходящей длины шага, который не слишком близок к глобальному минимуму функции, состоит в том, чтобы потребовать, чтобы длина шага уменьшала значение целевой функции или чтобы

Этот метод не гарантирует сходимость к минимуму функции, поэтому используются два условия, требующие условия значительного уменьшения во время каждой итерации.

Условия Вульфа

Эти условия, разработанные в 1969 году Филипом Вулфом, представляют собой условие поиска неточной строки, которое требует значительного уменьшения целевой функции. Эта сумма определяется

где находится между 0 и 1. Другой способ описания этого условия — сказать, что уменьшение целевой функции должно быть пропорционально как длине шага, так и производной по направлению функции и направлению шага.Это неравенство также известно как условие Armijo . В общем, это очень маленькое значение ~.

Условие Armijo должно быть связано с условием кривизны

, чтобы значение не было слишком коротким. В этом условии больше, но меньше 1. Эти два условия вместе являются условиями Вульфа.

Другая, более строгая форма этих условий известна как сильные условия Вульфа . Условие Армийо остается прежним, но условие кривизны ограничивается взятием абсолютного значения из левой части неравенства.

Эта левая часть условия кривизны является просто производной функции, и поэтому это ограничение не позволяет этой производной стать слишком положительной, удаляя точки, которые слишком далеки от стационарных точек, из рассмотрения как приемлемые значения.

Эти условия полезны для использования в методах Ньютона.

Условия Гольдштейна

Другой подход к поиску подходящей длины шага состоит в использовании следующих неравенств, известных как условия Гольдштейна. В этом условии вместо двух констант используется только одна:

Второе равенство очень похоже на условия Вульфа в том, что это просто условие достаточного убывания. Первое неравенство — еще один способ контролировать длину шага снизу. Лучше всего это видно на рисунке 3.

Рисунок 3: Применение условий Гольдштейна (Нокедал и Райт)

По сравнению с условиями Вульфа, условия Гольдштейна лучше подходят для квазиньютоновских методов, чем для методов Ньютона.

При использовании методов линейного поиска важно выбрать направление поиска или шага с наиболее резким уменьшением функции. Это повысит эффективность методов линейного поиска. Чтобы идентифицировать этот самый крутой спуск в различных точках вдоль функции, угол между выбранным направлением шага и отрицательным градиентом функции, который является самым крутым наклоном в точке k.Угол определяется как

, г.

и, как и в случае с длиной шага, полностью минимизировать неэффективно. Величина, которая может отклоняться от самого крутого наклона и по-прежнему давать разумные результаты, зависит от условий длины шага, которые соблюдаются в методе. Например, если удовлетворяет условиям Вульфа, применяется условие Зутендейка :

, что подразумевает, что

Существуют различные алгоритмы использования этого свойства угла для схождения к минимуму функции, и каждый из них имеет свои преимущества и недостатки в зависимости от приложения и сложности целевой функции.Основными доступными алгоритмами являются метод наискорейшего спуска , метод Ньютона и квазиньютоновский метод . Эти алгоритмы более подробно описаны в других разделах этой Wiki.

При использовании этих алгоритмов для поиска строк важно знать их слабые стороны. Метод наискорейшего спуска — это «типичный глобально сходящийся алгоритм», но, поскольку он настолько надежен, он требует большого времени вычислений. Методы Ньютона основаны на выборе начального входного значения, достаточно близкого к минимальному.Это связано с тем, что матрица Гессе функции может не быть положительно определенной, и поэтому использование метода Ньютона может не сходиться в направлении спуска. Чтобы искупить это, можно изменить метод Ньютона.

1. Сунь У. и Юань Y-X. (2006) Теория и методы оптимизации: нелинейное программирование (Springer, США), стр. 688.

2. Анонимный (2014) поиск по строке. (Википедия). http://en.wikipedia.org/wiki/Line_search.

3. Нокедал Дж. И Райт С. (2006) Численная оптимизация (Springer-Verlag New York, New York) 2 Ed p 664.

4. Вулф П. (1969) Условия сходимости для методов восхождения. SIAM Обзор 11 (2): 226-235.

Преобразование метода ускоренного двойного размера шага для неограниченной оптимизации

Получено сокращение итерации первоначально двойного размера шага в схему длины одного шага при предложенном условии, связывающем две длины шага в ускоренном двойном градиенте размера шага схема спуска. Предлагаемое преобразование протестировано численно. Полученные результаты подтверждают существенный прогресс по сравнению с методом ускоренного градиентного спуска за один шаг определяется классическим образом по всем анализируемым характеристикам: количество итераций, время процессора, и количество оценок функций.Доказана линейная сходимость производного метода.

1. Введение и история вопроса

Итерация SM из [1] определяется итерационным процессом, где — новая итерационная точка, — это предыдущая итерационная точка, — это вектор градиента (направление поиска), — длина шага и параметр ускорения. В [1] подтверждается, что итерация ускоренного градиентного SM (1) превосходит градиентный спуск, GD, а также метод AGD ускоренного градиентного спуска Андрея из [2].

Ускоренные методы с двойным направлением и двойным шагом, обозначаемые методами ADD и ADSS соответственно, для решения задач безусловной оптимизации представлены в [3, 4]. Эти два алгоритма обычно можно сформулировать с помощью следующего объединенного выражения: где — предыдущая итерационная точка и действительные значения и обозначают две длины шага, в то время как векторы и — два направления вектора. Значения длин шагов определяются методами поиска строки с возвратом.Градиент в основном используется для определения направления поиска, но некоторые новые предложения по получению направления нисходящего вектора даны в [3, 5]. При замене вместо (2) получается итерационная схема ADD из [3]: где представляет параметр ускорения для итерации (4). Преимущества свойств ускорения, возникающие в результате использования параметра, объяснены в [3]. Так называемая неускоренная версия метода ADD (вкратце, метод NADD) определена для численной проверки свойства ускорения параметра.В [3] численное сравнение трех методов: SM, ADD и NADD. Результаты показывают огромную эффективность схемы ADD по сравнению с ее неускоренным аналогом NADD. Получение вектора направления объясняется алгоритмом 3.2 в [3]. ADD превосходит свой конкурентный метод SM из [1] по количеству итераций.

Путем замены векторов и из (2) на и, соответственно, следующая итерация определяется как Предыдущая схема отмечена как модель ADSS и предложена в [4].В той же статье численно подтверждено огромное улучшение характеристик этого метода ускоренного градиентного спуска по сравнению с методом ускоренного градиентного спуска из [1].

Основным вкладом данной статьи является преобразование итерационной схемы с двойным размером шага (5) для неограниченной оптимизации в соответствующую ускоренную схему с одним размером шага (сокращенно называемую TADSS). Исследуются свойства сходимости введенного метода. Особый вклад вносит численное подтверждение того, что алгоритм TADSS, разработанный на основе модели ADSS с двойным размером шага (5), очевидно более эффективен, чем метод ускоренной СМ, полученный классическим способом.Удивительно, но численные эксперименты показывают, что метод TADSS превосходит исходный метод ADSS.

Работа организована следующим образом. Редукция модели ADSS с двойным размером шага в итерацию TADSS с одним размером шага и представление определенной модели ускоренного градиентного спуска приведены в разделе 2. Раздел 3 содержит анализ сходимости производного алгоритма для равномерно выпуклых и строго выпуклых квадратичных функций. Результаты численных экспериментов, а также их сравнительный анализ разработанного метода и его предшественников представлены в разделе 4.

2. Преобразование схемы ADSS в итерацию с одним шагом

Очень продвинутые численные результаты, полученные в [4], побудили к дальнейшим исследованиям по этой теме. Идея состоит в том, чтобы исследовать свойства метода размера одного шага, разработанного как сокращение модели ADSS с двойным размером шага. Это сокращение определяется дополнительным предположением, которое представляет собой компромисс между двумя параметрами длины шага и в схеме ADSS: учет предположения (6) в выражении (5), которое определяет итерацию ADSS, приводит к итерационному процессу. (7) называется преобразованным методом ADSS или сокращенно методом TADSS.Определенная итерация TADSS представляет собой не только сокращение модели ADSS с двойным размером шага до соответствующего метода одиночного размера шага, но также своего рода модификацию итерации SM с одиночным размером шага из [1]. Эту модификацию можно объяснить заменой продукта из итерации SM (1) на коэффициент умножения градиента из итерации TADSS (7).

Для простоты мы используем обозначения везде, где это возможно. Значение параметра ускорения на этой итерации может быть получено с помощью разложения Тейлора, аналогично тому, как описано в [1, 3, 4]: вектор в (8) удовлетворяет. Кроме того, разумно заменить в (8) гессиан на диагональная матрица, где — правильно выбранное действительное число.Эта замена означает, что соотношение (10) позволяет вычислить параметр ускорения:

Далее естественное неравенство неизбежно. Это условие требуется для выполнения необходимого условия второго порядка и достаточного условия второго порядка. Выбор разумен в том случае, если неравенство проявляется у некоторых. Этот выбор создает следующую итерационную точку, которая, очевидно, представляет собой классический шаг градиентного спуска.

Рассмотрим теперь ту итерацию, которая задается функцией «Изучить функцию:», определяемой как конечная часть разложения Тейлора функции в предположении.Эта функция является выпуклой, когда, а ее производная вычисляется следующим образом:

Поскольку неравенство достигается, верно следующее: Следовательно, функция уменьшается в случае и достигает своего собственного минимума в случае. Согласно критериям, приведенным в (17), желательные значения для находятся в пределах интервала. Итак, (7) в данном случае представляет собой своего рода процесс градиентного спуска. Поскольку легко проверить следующее условие для длины шага: Поскольку в данном случае это дробное число не является подходящей верхней границей для в этом случае.С другой стороны, в этом случае неравенство выполняется, так что в данном случае это подходящая оценка сверху.

Дальнейший анализ (10) в данном случае дает, что подразумевает Принимая во внимание, нетрудно проверить, что критерий (20) ограничивает желаемые значения для в пределах интервала

Окончательный вывод состоит в том, что верхняя граница для определена в случае , как минимум между верхними границами, определенными в (18) и (21):

Согласно предыдущему обсуждению, итерационный шаг выводится с помощью процедуры поиска строки с возвратом, представленной в алгоритме 1.

Алгоритм 1 (вычисление размера шага поиском строки с возвратом, который начинается с верхней границы, определенной в (22)). Требование : целевая функция, направление поиска в точке и действительные числа и. (1) Установить. (2) Пока взять. (3) Вернуть.

Наконец, представлен алгоритм TADSS заданной схемы ускоренного градиентного спуска (7).

Алгоритм 2 (метод преобразованного ускоренного двойного шага (метод TADSS)). Требование :,,,. (1) Установить, вычислить и взять. (2) Если, то перейти к шагу 8; в противном случае переходите к следующему шагу. (3) Найдите размер шага, применяя алгоритм 1. (4) Вычислите, используя (7). (5) Определите скаляр, используя (11). (6) Если или, то возьмите. (7) Установленный ; переходите к шагу 2. (8) Вернитесь и.

3. Сходимость схемы TADSS

Содержание этого раздела — анализ сходимости метода TADSS. В первой части этого раздела рассматривается набор равномерно выпуклых функций.Доказательства следующих утверждений можно найти в [6, 7] и они не приводятся.

Предложение 3 (см. [6, 7]). Если функция дважды непрерывно дифференцируема и равномерно выпуклая, то на (1) функция имеет нижнюю границу, где доступно; (2) градиент является липшицевым в открытом выпуклом множестве, которое содержит; то есть существует такое, что

Лемма 4. В предположениях предложения 3 существуют действительные числа, удовлетворяющие такие, что имеет уникальный минимизатор и

Значение уменьшения анализируемой функции на каждой итерации. дается следующей леммой, которая переформулирована и доказана в [1].Такую же оценку можно получить, рассматривая итерацию (7). Теорема 6 одобрена в [1] и подтверждает линейную сходимость построенного метода.

Лемма 5. Для дважды непрерывно дифференцируемой и равномерно выпуклой функции на и для последовательности, порожденной алгоритмом (7), справедливо следующее неравенство: где

Теорема 6. Если целевая функция дважды непрерывно дифференцируема а также равномерно выпуклый, и последовательность генерируется алгоритмом 2, затем , и последовательность сходится, по крайней мере, линейно.

В следующем обзоре анализируется случай строго выпуклых квадратичных функций. Этот набор функций задается в предыдущем выражении вещественной симметричной положительно определенной матрицей и. Предполагается, что собственные значения матрицы заданы и обозначены как. Поскольку сходимость для большинства градиентных методов достаточно сложно проанализировать, во многих исследовательских статьях этого профиля анализ сходимости сводится к множеству выпуклых квадратичных структур [8–10]. Сходимость метода TADSS также анализируется при аналогичных предположениях.

Лемма 7. Применяя метод градиентного спуска, определенный формулой (7), в котором параметры и задаются соотношением (11) и алгоритмом 1 на строго выпуклой квадратичной функции, выраженной соотношением (29) где представляет симметричную положительно определенную матрицу , выполняются следующие неравенства: где и — соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения.

Доказательство. Принимая во внимание выражение (29), разница между значением функции в текущей и предыдущей точке равна. Применяя выражение (7), получаем следующее: Используя тот факт, что градиент функции (29) находится в сочетании с равенством, можно проверьте следующее: Подставляя (33) в (11), параметр принимает вид Последнее соотношение подтверждает, что это фактор Рэлея вещественной симметричной матрицы в векторе, поэтому выполняются следующие неравенства: которые в сочетании с тем фактом, что доказывают правую часть в (30): Оценка, доказанная в [1], рассматривается для доказательства левой части (30).Используя обозначения, принятые в этой статье, выражение (37) превращается в неравенство (38) и факты, которые приводят к следующему выводу: в последней оценке константа Липшица может быть заменена на. Вывод о том, что собственное значение матрицы обладает свойством константы Липшица, должен быть получен из следующего анализа. Так как матрица симметрична и может быть выполнено следующее неравенство: Подставляя на, неравенство (39) принимает вид, и это доказывает левую часть неравенств (30).

Замечание 8. Сравнивая оценки, полученные из аналогичной леммы в [1, 3, 4], с оценкой, полученной из предыдущей леммы, с учетом метода TADSS, можно сделать вывод, что оценка, полученная с помощью схемы TADSS включает только собственные значения, а не параметр из процедуры поиска с возвратом.

Теорема 9. Пусть наложены дополнительные предположения на собственные значения матрицы и пусть будет строго выпуклая квадратичная функция, заданная формулой (29).Предположим, что это ортонормированные собственные векторы симметричной положительно определенной матрицы, и предположим, что это последовательность значений, построенная с помощью алгоритма 2. Градиенты выпуклых квадратиков, определенные формулой (29), есть и могут быть выражены как для некоторых действительных констант и для некоторого целого числа. Тогда применение метода градиентного спуска (7) к целевой функции (29) удовлетворяет следующим двум утверждениям:

Доказательство. С учетом (7) можно проверить, а учитывая (42), получаем. Чтобы доказать (43), достаточно показать это.Итак, необходимо проанализировать два случая. В первом предполагается, что. Применение (30) приводит к В другом случае предполагается, что. Из этого условия следует следующий вывод: Из выражения (42) следует, что тот факт, что параметр из (43) удовлетворяет, подтверждает выражение (44).

4. Численный опыт

Представлены и исследованы численные результаты, полученные при применении методов TADSS, ADSS и SM к тестовым функциям для неограниченных тестовых задач, предложенных в [2, 11].Мы выбрали большинство функций из набора тестовых функций, представленных в [3, 4], и, как было предложено в этих статьях, также исследовали эксперименты с большим количеством переменных в каждой функции: 1000, 2000, 3000, 5000, 7000 , 8000, 10000, 15000, 20000 и 30000. Критерии остановки такие же, как в [1, 3, 4]. Процедура поиска с возвратом разрабатывается с использованием значений необходимых параметров. Наблюдаются три основных показателя эффективности: количество итераций, время процессора и количество вычислений функций.Сначала мы сравним производительность схемы TADSS с методом ADSS. Причины такого выбора очевидны: схема TADSS представляет собой одношаговую версию метода ADSS. Кроме того, естественным является намерение изучить поведение TADSS и сравнить его с его предшественником. Полученные числовые значения отображаются в таблице 1 и относятся к количеству итерационных шагов, времени выполнения ЦП, вычисляемому в секундах, и количеству вычислений целевой функции.

9024 ADSS 9030 9030 9023 9023 1 902 50 9030 9030 9030 2 9030 9030

Тестовая функция Количество итераций Процессорное время Количество оценок функции
TADSS ADSS ADSS

Расширенный штраф 40 50 2 4 1280 1780
Райдан 1 9024 463 9030 1110 9030 9030 9024 346 4844
Диагональ 1 20 37 0 0 335 1448
Диагональ 3 21 49 9024 9024 9024 9024
Обобщенное трехдиагональное 1 61 77 0 0 431 719
Расширенное трехдиагональное 1 60 70 030 0243 70 0
Расширенный трехэкспонент.Клемма 40 40 0 0 400 350
Диагональ 4 40 780 0 0 27026 27026 60 70 0 0 300 480
Квадратичный QF1 4953 425 15 0 9024 13738 902Штраф QP1 50 60 0 2 571 841
Расширенный четырехъядерный. Штраф QP2 50 60 0 4 569 843
Квадратичный QF2 50 60 0
60 0
186 40 1 0 758 487
Увеличенный трехдиагональный 2 638 80 0 0 203 4202
64 0 3 601 1082
Энгвал1 60 70 0 0 290
0 0 30 390
Обобщенная четверка 60 70 0 0 250 614
Диагональ 7 189 9030 9030 903 903 9024 9024 9030 5630 6633
Диагональ 8 160 2213 1 40 586 6709
Диагональ 9 20 43
0

Полученные численные результаты, в целом, подтверждают преимущества в пользу TADSS с учетом всех трех протестированных показателей.Точнее, в отношении количества итерационных шагов TADSS показывает лучшие результаты в 17 из 22 функций, в то время как ADSS превосходит TADSS в 4 из 22 экспериментов, а для расширенной функции трех экспоненциальных членов оба метода требуют одинакового количества итераций. Результаты, касающиеся общего времени процессора, подтверждают, что оба метода, TADSS и ADSS, очень быстрые. В 9 из 22 случаев TADSS быстрее, чем ADSS, в 2 из 22 тестов ADSS быстрее, чем TADSS, и даже в половине исследований время процессора обеих итераций равно нулю.Что касается количества оценок целевой функции, TADSS улучшает ADSS в 17 из 22 тестов, а противоположный случай проявляется в 5 из 22 случаев. В таблице 2 представлены средние результаты проверенных значений.

9023 9024 с .36

Средние показатели производительности TADSS ADSS

Количество итераций
4,18
Количество оценок функций 1506,05 1745,23

Согласно результатам, приведенным в таблице 2, можно сделать вывод, что TADSS превосходит ADSS 17, хотя Из 22 тестов по количеству итераций средние результаты показывают небольшое преимущество ADSS в этом вопросе. Если рассматривать среднее количество оценок, то в пользу TADSS — противоположный случай.Потребляемое время ЦП в среднем в три раза меньше в пользу TADSS по сравнению с ADSS. В целом можно сделать вывод, что одношаговый вариант метода ADSS, построенный по схеме TADSS, ведет себя немного лучше, чем исходная итерация ADSS, особенно если принять во внимание скорость выполнения.

В дальнейших численных исследованиях были выполнены некоторые дополнительные эксперименты. Эти тесты показывают сравнение между итерациями TADSS и SM. Как упоминалось ранее, обе схемы, TADSS и SM, представляют собой методы ускоренного градиентного спуска с одним итеративным параметром размера шага.Мы выбираем это дополнительное числовое сравнение, чтобы подтвердить, что ускоренный алгоритм TADSS с одним размером шага, полученный из модели ADSS с ускоренным двойным шагом, дает лучшие характеристики по всем трем анализируемым аспектам, чем классически определенный ускоренный метод SM с одним размером шага. . Таблица 3 с 30 отображаемыми тестовыми функциями подтверждает предыдущее утверждение.

11]) = 0,08437 > 2 f ([- 0,23237529]) = 0,05400 > 3 f ([- 0,185

]) = 0,03456 > 4 f ([- 0,14872018]) = 0,02212 > 5 f ([- 0,11897615]) = 0,01416 > 6 f ([- 0,09518092]) = 0,00906 > 7 f ([- 0,07614473]) = 0,00580 > 8 f ([- 0,060

]) = 0,00371 > 9 f ([- 0,04873263]) = 0,00237 > 10 f ([- 0,0389861]) = 0,00152 > 11 f ([- 0,03118888]) = 0,00097 > 12 f ([- 0,02495111]) = 0,00062 > 13 f ([- 0,01996089]) = 0,00040 > 14 f ([- 0.01596871]) = 0,00025 > 15 f ([- 0,01277497]) = 0,00016 > 16 f ([- 0,01021997]) = 0,00010 > 17 f ([- 0,00817598]) = 0,00007 > 18 f ([- 0,00654078]) = 0,00004 > 19 f ([- 0,00523263]) = 0,00003 > 20 f ([- 0,0041861]) = 0,00002 > 21 f ([- 0,00334888]) = 0,00001 > 22 f ([- 0,0026791]) = 0,00001 > 23 f ([- 0,00214328]) = 0,00000 > 24 f ([- 0,00171463]) = 0,00000 > 25 f ([- 0,0013717]) = 0,00000 > 26 f ([- 0,00109736]) = 0,00000 > 27 f ([- 0.00087789]) = 0,00000 > 28 f ([- 0,00070231]) = 0,00000 > 29 f ([- 0,00056185]) = 0,00000 Выполнено! f ([- 0,00056185]) = 0,000000

SMAD 903 9030 9030 9024 902 989 9030Штраф QP1 9030 902 60243 96231 903 1603 902 9024 824 824 824 824 0 9030 11248 30 902 9022 9018

Тестовые функции Число итераций Процессорное время Количество оценок функций
TADSS SM 0 TADSS 0 TADSS 0 TADSS

Расширенный штраф 40 589 2 5 1280 2987
Perturbed Quadratic3 1324 632724
Raydan 1 466 21125 11 178 8504 116757
56135
Диагональ 3 21 10574 0 209 417 59425
Общая трехдиагональная 1 2
Расширенный трехдиагональный 1 60 3560 0 35 250 30686
Расширенный трехэкспон.Клемма 40 164 0 1 400 1224
Диагональ 4 40 80 0 0 270бл 60 168 0 0 300 566
Квадр. Диаг. Возмущенный 11542 53133 58 1193 56359 547850
Квадратичный QF1 4953 114510
114510
50 224 0 12 571 2566
Расширенный четырехъядерный. Штраф QP2 50 162 0 7 569 2057
Квадратичный QF2 50 118801 2524 9024 902 902 902 186 68 1 1 758 764
Увеличенный трехдиагональный 2 638 584 0 9024 902 902 902 9030 50 10 0 0 601 30
Почти возмущенный квадратичный 4202 110121 15 2148
2148
185 9023 0 0 7 290 2177
Quartc 10 190 0 0 30 430
0 250 423
Диагональ 7 189 90 0 0 566 220 586 594
Диагональ 9 20 11235 0 118 352 60566
639957
NONSCOMP 10 10 0 0 30 30
HIMMELH 10 30 0 9030 902 902 902 902 902 0 1455 > 4 > 4567 >
Indef 20 > 0 > 50

Из отображаемых числовых результатов видно, что метод TADSS обеспечивает лучшие результаты, чем метод SM, учитывая количество итераций в 24 из 30 тестов, в то время как количество противоположных случаев составляет 5 из 30.Для тестовой функции NONSCOMP обе модели имеют одинаковое количество итераций. Что касается процессорного времени, оба алгоритма дают одинаковые результаты для 10 тестовых функций. Метод TADSS быстрее, чем SM для 19 тестовых функций, в то время как метод SM быстрее, чем TADSS, только для одной тестовой функции. Наибольший прогресс достигнут по количеству оценок целей. В этом отношении при использовании алгоритма TADSS лучшие результаты получены в 27 из 30 тестовых функций, тогда как противоположный случай имеет место только для двух тестовых функций.Для тестовой функции NONSCOMP обе сравниваемые итерации дают одинаковое количество оценок. Из Таблицы 3 мы также можем заметить, что для 2 из 30 тестовых функций длительность тестирования превышает константу ограничителя времени, определенную в [3], в то время как для всех 30 тестовых функций при применении алгоритма TADSS время выполнения намного меньше. чем .

Результаты, представленные в таблице 4, дают еще более общее представление о преимуществах, предоставляемых применением метода TADSS по отношению к методу SM.Средние значения 28 тестовых функций, которые удалось протестировать обоими методами по константе, представлены в таблице.

9024 902 902 902 4,14

Средняя производительность TADSS SM

Количество итераций в секундах
445.68
Количество оценок 4163,68 146475,96

Результаты, представленные в предыдущей таблице, подтверждают, что при применении метода TADSS и примерно в 25 раз меньше итераций оценки целевой функции необходимы по сравнению с методом СМ. Наконец, при использовании TADSS тестирование длится даже в 107 раз короче, чем при применении SM.

Коды для представленных численных экспериментов написаны на языке программирования Visual C ++ на Рабочей станции Intel 2.2 ГГц.

5. Заключение

Алгоритм ускоренного одношагового градиентного спуска, называемый TADSS, определяется как преобразование модели ускоренного двухшагового градиентного спуска ADSS, предложенной в [4]. Точнее, схема TADSS является производной от схемы ускоренного градиентного спуска с двойным шагом ADSS путем наложения соотношения (6) между двумя параметрами шага в итерации ADSS.Эффективность модели ADSS по всем анализируемым характеристикам по сравнению с методом одиночного размера шага ускоренного градиентного спуска численно доказана в [4].

Метод, определенный таким образом, сопоставим с его предшественником с двойным размером шага, методом ADSS, а также с методом ускоренного градиентного спуска с одним размером шага, который определяется классическим образом.

Результаты, представленные в таблицах 1 и 2, обычно показывают, что метод TADSS ведет себя так же, как метод ADSS.С точки зрения средних значений схема ADSS дает несколько лучшие результаты с учетом количества итераций. С другой стороны, некоторое улучшение в отношении количества вычислений функций и необходимого процессорного времени достигается за счет применения итераций TADSS.

Еще большие преимущества производного метода TADSS представлены в таблицах 3 и 4, где даны сравнения между TADSS и SM. Очевидно, что схема TADSS улучшает метод SM по всем трем анализируемым характеристикам, что и было основной целью представленного здесь исследования.

Доказана линейная сходимость метода TADSS для равномерно выпуклой и строго выпуклой квадратичных функций.

Полученные результаты мотивируют дальнейшие исследования возможных моделей ускоренного градиентного спуска с двойным размером шага и его преобразование в соответствующие варианты размера одиночного шага.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в отношении публикации данной статьи.

Благодарность

Авторы выражают благодарность Министерству образования, науки и технологического развития Сербии за финансовую поддержку.

Градиентный спуск — шаг за шагом | by Asad Mumtaz

Градиентный спуск (GD) — это алгоритм оптимизации, который итеративно минимизирует любую заданную функцию стоимости. Но что такое функция стоимости? Это функция, которая измеряет точность обученной модели машинного обучения при прогнозировании. Общие примеры включают среднеквадратичную ошибку (MSE) и кросс-энтропию (или логарифмические потери).

GD широко используется в моделях глубокого машинного обучения в качестве альтернативы более традиционным методологиям для минимизации функций затрат.Он более эффективно обрабатывает огромные объемы данных, которые обычно используются в глубоком обучении.

Мы подробно рассмотрим GD, чтобы смоделировать чрезмерно упрощенную задачу линейной регрессии для интуитивного и глубокого понимания ее механики. Я предполагаю, что вы знакомы с методами наименьших квадратов, исчисления и линейной регрессии, работая над этой проблемой.

Вот наши игрушечные данные, состоящие из 3 точек:

Мы стремимся найти линию наилучшего соответствия с помощью GD, которую затем можно использовать для прогнозирования значений Y на основе некоторых новых значений X (также известного как линейная регрессия) .Напомним, что прямую линию можно полностью описать всего двумя параметрами: точкой пересечения и наклоном. Следовательно, если мы сможем найти идеальные параметры пересечения и наклона с помощью алгоритма оптимизации, мы получим нашу линию наилучшего соответствия.

Нашу линию наилучшего соответствия можно представить следующим образом:

Eq. 1

где:

  • y hat — зависимая переменная, которую нужно предсказать
  • x₁ — значение X , для которого мы хотим предсказать y hat
  • θ₀ член пересечения, который необходимо оптимизировать
  • θ₁ — наклон, который необходимо оптимизировать

Для простоты сначала мы начнем с нахождения оптимального значения только θ₀ , предполагая, что θ₁ равно 0.64 (определяется методом наименьших квадратов). Затем, когда мы поймем, как работает GD, мы будем использовать его для нахождения оптимальных параметров пересечения и наклона вместе. Итак, наше пересмотренное уравнение для линии выглядит следующим образом:

Eq. 2

Мы начинаем с выбора случайного значения для точки пересечения θ₀ , называемого случайной инициализацией . Случайная инициализация — это наша первоначальная догадка, и она может быть буквально любым действительным числом, используемым GD для улучшения.

Начнем с 0 для θ₀ (не случайно, тоже мое любимое число!), Что дает нам следующую строку:

y = 0 + 0.64x

Далее мы оценим, насколько хорошо эта линия соответствует нашим данным с функцией потерь остаточной суммы квадратов (RSS):

RSS и линия наилучшего соответствия с перехватом = 0

Используя уравнение. 2 и с θ₀ = 0 , мы получаем следующие прогнозы y , остатков, квадратов остатков и остаточной суммы квадратов:

RSS

Повторяя вышеуказанный расчет для RSS с увеличивающимися значениями для точки пересечения θ₀ , мы получите следующий график рассеяния θ₀ относительно RSS:

График рассеяния различных перехватов относительно RSS

. Из графика совершенно очевидно, что значение перехвата 0.95 результатов показали наименьшее количество RSS. Но как мы узнаем, что на самом деле это 0,95, а не какое-то другое значение между 0,75 и 1,15? Мы можем подключить кучу различных значений перехвата и найти оптимальное значение методом проб и ошибок. Но зачем это делать, когда в нашем распоряжении есть GD?

Путь градиентного спуска

Когда GD вычисляет RSS в точке случайной инициализации, требуется относительно больший шаг для определения следующего перехвата, который будет оцениваться в случае высокого значения RSS. Когда RSS приближается к нулю в последующих итерациях, изменение точки пересечения (называемое размером шага) становится меньше.Другими словами, GD определяет оптимальное значение параметра, делая большие шаги, когда оно далеко от минимального RSS, и младенческие шаги, когда оно ближе к нему.

Мы можем получить уравнение для функции стоимости, которое строит все возможные перехваты против RSS, используя RSS и наше уравнение. 2 следующим образом (с нашими тремя исходными точками данных):

Функция стоимости RSS

График функции будет выглядеть примерно так, что в основном представляет собой тот же график рассеяния, что и выше, с добавленной к нему полиномиальной линией тренда:

График функции стоимости RSS

Мы можем взять производную этой функции относительно θ₀ и определить наклон при любом значении для точки пересечения θ₀ :

Производная функции стоимости RSS — уравнение.3

Теперь, когда у нас есть производная, GD будет использовать ее, чтобы найти, где RSS находится на самом низком уровне. Как и раньше, предположим, что мы инициализируем GD с начальным значением θ₀ = 0 .

Подстановка θ₀ = 0 в производную выше дает нам -5,6 , который представляет собой градиент или наклон функции стоимости RSS при θ₀ = 0 . Обратите внимание, что оптимальное значение θ₀ получается в точке кривой, где ее градиент равен 0, то есть в нижней части кривой.Напомним также, что GD делает относительно большой шаг, когда наклон кривой далек от 0, и маленькие шаги, когда он близок к 0. Таким образом, размер шага должен быть связан с наклоном кривой, поскольку он сообщает GD, следует ли ему делать маленький шаг или большой шаг. Однако шаг не должен быть слишком большим, чтобы перескочить через точку минимума на кривой и перейти на другую сторону.

Размер шага регулируется параметром, называемым скоростью обучения . Затем размер шага определяет новый перехват, который будет использоваться GD для вычисления RSS:

 размер шага = наклон * скорость обучения 
новый перехват = старый перехват - размер шага

Скорость обучения устанавливается на небольшое число, обычно 0 .2, 0,1 или 0,01 на практике.

Продолжая наш пример, когда θ₀ = 0 и скорость обучения 0,1 , размер шага составляет -0,56 :

Размер шага
 (при θ₀ = 0): -5,6 * 0,1 
размер шага (при θ₀ = 0): -0,56 новый перехват = 0 - (-0,56)
новый перехват = 0,56

График функции стоимости с двумя оцененными перехватами выглядит примерно так:

Функция стоимости RSS после 1-го шага

Приведенный выше график ясно показывает, что с относительно большим первым шагом мы уже довольно близко к минимальному значению RSS! Возвращаясь к нашей линейке наиболее подходящих, мы видим, что новый перехватчик 0.56 существенно сократил остатки:

RSS и линия наилучшего соответствия с перехватом = 0,56

Теперь давайте сделаем еще один шаг ближе к оптимальному значению перехвата. Вернемся к производной в уравнении. 3 и вставьте новое значение точки пересечения 0,56 , что дает нам наклон кривой -2,2 при этом значении точки пересечения:

 Наклон RSS (при θ₀ = 0,56): -2 (1,08-0,56) - 2 (0,4-0,56) - 2 (1,3-0,56) 
Наклон RSS (при θ₀ = 0,56): -2,2 шага (при θ₀ = 0.56): -2,2 * 0,1 Размер шага
(при θ₀ = 0,56): -0,22 новое пересечение = 0,56 - (-0,22)
новое пересечение = 0,78

Наши два графика выглядят следующим образом:

Быстрая автоматическая оценка размер шага оптимизации для нежесткой регистрации изображения

Аннотация

Регистрация изображений часто используется в клинике, например, во время лучевой терапии и хирургии визуализации, а также для общего анализа изображений.В настоящее время этот процесс часто очень медленный, но для интраоперационных процедур скорость имеет решающее значение. Для регистрации изображения на основе интенсивности необходимо решить проблему нелинейной оптимизации, обычно с помощью (стохастического) градиентного спуска. Эта процедура зависит от правильной настройки параметра, который управляет размером шага оптимизации. Однако этот параметр сложно выбрать вручную, поскольку он зависит от входных данных, метрики оптимизации и модели преобразования. Ранее был предложен метод адаптивного стохастического градиентного спуска (ASGD), который автоматически выбирает размер шага, но требует больших вычислительных затрат.В этой статье мы предлагаем новый эффективный с вычислительной точки зрения метод автоматического определения размера шага с учетом наблюдаемого распределения смещений вокселей между итерациями. Затем выводится связь между размером шага и математическим ожиданием и дисперсией наблюдаемого распределения. Эксперименты были выполнены на данных трехмерной компьютерной томографии легких (19 пациентов) с использованием нежесткой модели трансформации B-сплайна. Для всех протестированных показателей несходства (среднеквадратичное расстояние, нормализованная корреляция, взаимная информация, нормализованная взаимная информация) мы получили точность, аналогичную ASGD.По сравнению с ASGD, время оценки которого постепенно увеличивается с увеличением количества параметров, время оценки предлагаемого метода существенно сокращается до почти постоянного времени, с 40 секунд до не более 1 секунды, когда количество параметров составляет 10 5 .

© (2014) АВТОРСКОЕ ПРАВО Общество инженеров по фотооптическому приборостроению (SPIE). Скачивание тезисов разрешено только для личного использования.

%! PS-Adobe-2.0 %% Создатель: dvipsk 5.58f Авторские права 1986, 1994 Radical Eye Software %% Название: dundee.dvi %% Страниц: 8 %% PageOrder: Ascend %% BoundingBox: 0 0 596 842 %% EndComments % DVIPSCommandLine: dvips dundee -o % DVIPSParameters: dpi = 600, комментарии удалены % DVIPS Источник: вывод TeX 22.06.2003: 2013 %% BeginProcSet: tex.pro / TeXDict 250 dict def Начало TeXDict / N {def} def / B {привязка def} N / S {exch} N / X {S N} B / TR {translate} N / isls false N / vsize 11 72 mul N / hsize 8.5 72 mul N / landplus90 {false} def / @ rigin {isls {[0 landplus90 {1 -1} {- 1 1} ifelse 0 0 0] concat} if 72 Разрешение div 72 VR Разрешение div neg масштаб isls {landplus90 {VResolution 72 div vsize mul 0 exch} {Разрешение -72 div hsize mul 0} ifelse TR}, если разрешение VResolution vsize -72 div 1 add mul Матрица TR currentmatrix dup dup 4 получить раунд 4 обмен поставить dup dup 5 получить round 5 exch put setmatrix} N / @ landscape {/ isls true N} B / @ manualfeed { statusdict / manualfeed true put} B / @ копий {/ # копий X} B / FMat [1 0 0 -1 0 0] N / FBB [0 0 0 0] N / nn 0 N / IE 0 N / ctr 0 N / df-tail {/ nn 8 dict N nn begin / FontType 3 N / FontMatrix fntrx N / FontBBox FBB N string / base X array / BitMaps X / BuildChar {CharBuilder} N / Encoding IE N end dup {/ foo setfont} 2 array copy cvx N load 0 nn put / ctr 0 N [} B / df {/ sf 1 N / fntrx FMat N df-tail} B / dfs {div / sf X / fntrx [sf 0 0 sf neg 0 0] N df-tail} B / E { pop nn dup definefont setfont} B / ch-width {ch-data dup length 5 sub get} B / ch-height {ch-data dup length 4 sub get} B / ch-xoff {128 ch-data dup длина 3 sub get sub} B / ch-yoff {ch-data dup length 2 sub get 127 sub} B / ch-dx {ch-data dup length 1 sub get} B / ch-image {ch-data dup type / stringtype ne {ctr get / ctr ctr 1 add N} if} B / id 0 N / rw 0 N / rc 0 N / gp 0 N / cp 0 N / G 0 N / sf 0 N / CharBuilder {save 3 1 roll S dup / base get 2 index get S / BitMaps get S get / ch-data X pop / ctr 0 N ch-dx 0 ch-xoff ch-yoff ch-height sub ch-xoff ch-width добавить ch-yoff setcachedevice ch-width ch-height истина [1 0 0 -1 -.1 ch-xoff sub ch-yoff .1 add] { ch-image} imagemask restore} B / D {/ cc X dup type / stringtype ne {]} если nn / base get cc ctr put nn / BitMaps get S ctr S sf 1 ne {dup dup length 1 sub dup 2 index S get sf div put} if put / ctr ctr 1 add N} B / I {cc 1 add D } B / bop {userdict / bop-hook known {bop-hook} if / SI save N @rigin 0 0 матрица moveto / V currentmatrix dup 1 get dup mul exch 0 get dup mul add .99 lt {/ QV} {/ RV} ifelse load def pop pop} N / eop {SI восстановить showpage userdict / eop-hook известный {eop-hook} if} N / @ start {userdict / start-hook известное {start-hook} if pop / VResolution X / Resolution X 1000 div / DVImag X / IE 256 array N 0 1 255 {IE S 1 string dup 0 3 index put cvn put} для 65781.76 div / vsize X 65781.76 div / hsize X} N / p {show} N / RMat [1 0 0 -1 0 0] N / BDot 260 string N / rulex 0 N / ruley 0 N / v {/ ruley X / rulex X V} B / V {} B / RV statusdict begin / product where {pop product dup length 7 ge {0 7 getinterval dup (Display) eq exch 0 4 getinterval (NeXT) eq или} {pop false} ifelse} {false} ifelse end {{gsave TR -.1 -.1 TR 1 1 шкала rulex ruley false RMat {BDot} imagemask grestore}} {{gsave TR -.1 -.1 TR rulex ruley scale 1 1 false RMat {BDot} imagemask grestore}} ifelse B / QV {gsave преобразовать круглый обмен круглый обмен его преобразовать moveto rulex 0 rlinto 0 ruley neg rlineto rulex neg 0 rlinto fill grestore} B / a {moveto} B / delta 0 N / tail {dup / delta X 0 rmoveto} B / M {S p delta add tail} B / b {S p tail} B / c {-4 M} B / d {-3 M} B / e {-2 M} B / f {-1 M} B / g {0 M} B / h {1 M} B / i { 2 M} B / j { 3 M} B / k {4 M} B / w {0 rmoveto} B / l {p -4 w} B / m {p -3 w} B / n {p -2 w} B / o {p -1 w} B / q {p 1 w} B / r {p 2 w} B / s {p 3 w} B / t {p 4 w} B / x {0 S rmoveto} B / y { 3 2 roll p a} B / bos {/ SS save N} B / eos {SS restore} B конец %% EndProcSet %% BeginProcSet: специальный.профи TeXDict begin / SDict 200 dict N SDict begin / @ SpecialDefaults {/ hs 612 N / vs 792 N / ho 0 N / vo 0 N / hsc 1 N / vsc 1 N / ang 0 N / CLIP 0 N / rwiSeen false N / rhiSeen false N / letter {} N / note {} N / a4 {} N / legal {} N} B / @ scaleunit 100 N / @ hscale {@scaleunit div / hsc X} B / @ vscale {@scaleunit div / vsc X} B / @ hsize {/ hs X / CLIP 1 N} B / @ vsize {/ vs X / CLIP 1 N} B / @ clip { / CLIP 2 N} B / @ hoffset {/ ho X} B / @ voffset {/ vo X} B / @ angle {/ ang X} B / @ rwi { 10 div / rwi X / rwiSeen true N} B / @ rhi {10 div / rhi X / rhiSeen true N} B / @ llx {/ llx X} B / @ lly {/ lly X} B / @ urx {/ urx X} B / @ ury {/ ury X} B / magscale true def end / @ MacSetUp {userdict / md известный {userdict / md тип получения / dicttype eq {userdict begin md length 10 add md maxlength ge {/ md md dup длина 20 add dict copy def} if end md begin / letter {} N / note {} N / Legal {} N / od {txpose 1 0 mtx defaultmatrix dtransform S atan / pa X newpath метка вырезки {преобразовать {itransform moveto}} {преобразовать {itransform lineto} } {6 -2 роликовое преобразование 6 -2 роликовое преобразование 6 -2 роликовое преобразование { itransform 6 2 roll itransform 6 2 roll itransform 6 2 roll curveto}} {{ closepath}} pathforall newpath counttomark array astore / gc xdf pop ct 39 0 положить 10 fz 0 fs 2 F / | ______ Courier fnt invertflag {PaintBlack} if} N / txpose {pxs pys scale ppr aload pop por {noflips {pop S neg S TR pop 1 -1 scale} если xflip yflip и {pop S neg S TR 180 повернуть 1 -1 масштаб ppr 3 получить ppr 1 get neg sub neg ppr 2 get ppr 0 get neg sub neg TR} if xflip yflip not и {pop S neg S TR pop 180 rotate ppr 3 get ppr 1 get neg sub neg 0 TR} if yflip xflip not и {ppr 1 get neg ppr 0 get neg TR} if} {noflips {TR pop pop 270 повернуть 1 -1 масштаб} если xflip yflip и {TR pop pop 90 повернуть 1 -1 scale ppr 3 get ppr 1 get neg sub neg ppr 2 get ppr 0 get neg sub neg TR} если xflip yflip not и {TR pop pop 90 rotate ppr 3 get ppr 1 get neg sub neg 0 TR} если yflip xflip not и {TR pop pop 270 rotate ppr 2 get ppr 0 get neg sub neg 0 S TR} if} ifelse scaleby96 {ppr aload pop 4 -1 roll add 2 дел 3 1 рулон прибавить 2 дел 2 копировать TR.96 dup scale neg S neg S TR} if} N / cp {pop pop showpage pm restore} N end} if} if} N / normalscale {Разрешение 72 div VResolution 72 div neg scale magscale {DVImag dup scale} if 0 setgray} N / psfts {S 65781.76 div N} N / startTexFig {/ psf $ SavedState save N userdict maxlength dict begin / magscale false def normalscale currentpoint TR / psf $ ury psfts / psf $ urx psfts / psf $ lly psfts / psf $ llx psfts / psf $ y psfts / psf $ x psfts currentpoint / psf $ cy X / psf $ cx X / psf $ sx psf $ x psf $ urx psf $ llx sub div N / psf $ sy psf $ y psf $ ury psf $ lly sub div N psf $ sx psf $ sy масштаб psf $ cx psf $ sx div psf $ llx sub psf $ cy psf $ sy div psf $ ury sub TR / showpage {} N / erasepage {} N / copypage {} N / p 3 def @MacSetUp} N / doclip { psf $ llx psf $ lly psf $ urx psf $ ury currentpoint 6 2 roll newpath 4 copy 4 2 рулон moveto 6 -1 рулон S lineto S lineto S lineto closepath clip newpath moveto} N / endTexFig {end psf $ SavedState restore} N / @ begin special {SDict begin / SpecialSave save N gsave normalscale currentpoint TR @SpecialDefaults count / ocount X / dcount countdictstack N} N / @ setspecial {CLIP 1 eq {newpath 0 0 moveto hs 0 rlineto 0 vs rlineto hs neg 0 rlineto closepath clip} if ho vo TR hsc vsc scale ang rotate rwiSeen {rwi urx llx sub div rhiSeen {rhi ury lly sub div} {dup} ifelse scale llx neg lly neg TR } {rhiSeen {rhi ury lly sub div dup scale llx neg lly neg TR} if} ifelse CLIP 2 eq {newpath llx lly moveto urx lly lineto urx ury lineto llx ury lineto closepath clip} if / showpage {} N / erasepage {} N / copypage {} N newpath } N / @ endpecial {count ocount sub {pop} repeat countdictstack dcount sub { end} повторить grestore SpecialSave restore end} N / @ defspecial {SDict begin} N / @ fedspecial {end} B / li {lineto} B / rl {rlineto} B / rc {rcurveto} B / np { / SaveX currentpoint / SaveY X N 1 setlinecap newpath} N / st {stroke SaveX SaveY moveto} N / fil {fill SaveX SaveY moveto} N / эллипс {/ endangle X / startangle X / yrad X / xrad X / savematrix matrix currentmatrix N TR xrad yrad scale 0 0 1 startangle endangle arc savematrix setmatrix} N конец %% EndProcSet %% BeginProcSet: цвет.профи TeXDict begin / setcmykcolor где {pop} {/ setcmykcolor {dup 10 eq {pop setrgbcolor} {1 sub 4 1 roll 3 {3 index add neg dup 0 lt {pop 0} if 3 1 roll } повторить setrgbcolor pop} ifelse} B} ifelse / TeXcolorcmyk {setcmykcolor} def / TeXcolorrgb {setrgbcolor} def / TeXcolorgrey {setgray} def / TeXcolorgray { setgray} def / TeXcolorhsb {sethsbcolor} def / currentcmykcolor где {pop} { / currentcmykcolor {currentrgbcolor 10} B} ifelse / DC {exch dup userdict exch известный {pop pop} {X} ifelse} B /GreenYellow{0,15 0 0,69 0 setcmykcolor} DC / Желтый {0 0 1 0 setcmykcolor} DC / Золотарник {0 0.10 0,84 0 setcmykcolor} DC / одуванчик {0 0,29 0,84 0 setcmykcolor} DC / абрикос {0 0,32 0,52 0 setcmykcolor} DC / Peach {0 0,50 0,70 0 setcmykcolor} DC / Melon {0 0,46 0,50 0 setcmykcolor} DC / YellowOrange {0 0,42 1 0 setcmykcolor} DC / Orange {0 0,61 0,87 0 setcmykcolor} DC / BurntOrange {0 0,51 1 0 setcmykcolor} DC / Bittersweet {0 0,75 1 0,24 setcmykcolor} DC / RedOrange {0 0,77 0,87 0 setcmykcolor} DC / красное дерево {0 0,85 0,87 0,35 setcmykcolor} DC / бордовый {0 0,87 0,68 0,32 setcmykcolor} DC / BrickRed {0 0,89 0,94 0,28 setcmykcolor} DC / красный {0 1 1 0 setcmykcolor} DC / оранжевый красный {0 1 0.50 0 setcmykcolor} DC / RubineRed {0 1 0,13 0 setcmykcolor} DC / WildStrawberry {0 0,96 0,39 0 setcmykcolor} DC / Лосось {0 0,53 0,38 0 setcmykcolor} DC / CarnationPink {0 0,63 0 0 setcmykcolor} DC / Magenta {0 1 0 0 setcmykcolor} DC / VioletRed {0 0,81 0 0 setcmykcolor} DC / родамин {0 0,82 0 0 setcmykcolor} DC / Mulberry {0,34 0,90 0 0,02 setcmykcolor} DC / RedViolet{0,07 0,90 0 0,34 setcmykcolor} DC / фуксия{0,47 0,91 0 0,08 setcmykcolor} DC / лаванда {0 0,48 0 0 setcmykcolor} DC /Thistle{0.12 0,59 0 0 setcmykcolor} DC / Orchid { 0.32 0,64 0 0 setcmykcolor} DC /DarkOrchid{0,40 0,80 0,20 0 setcmykcolor} DC /Purple{0.45 0.86 0 0 setcmykcolor} DC /Plum{0.50 1 0 0 setcmykcolor} DC /Violet{0,79 0,88 0 0 setcmykcolor} DC /RoyalPurple{0,75 0,90 0 0 setcmykcolor} DC / BlueViolet{0,86 0,91 0 0,04 setcmykcolor} DC / Periwinkle {0,57 0,55 0 0 setcmykcolor} DC /CadetBlue{0,62 0,57 0,23 0 setcmykcolor} DC /CornflowerBlue{0,65 0,13 0 0 setcmykcolor} DC /MidnightBlue{0,98 0,13 0 0,43 setcmykcolor} DC /NavyBlue{0.94 0,54 0 0 setcmykcolor} DC / RoyalBlue {1 0.50 0 0 setcmykcolor} DC / синий {1 1 0 0 setcmykcolor} DC /Cerulean{0.94 0.11 0 0 setcmykcolor} DC / Cyan {1 0 0 0 setcmykcolor} DC /ProcessBlue{0.96 0 0 0 setcmykcolor} DC /SkyBlue{0.62 0 0.12 0 setcmykcolor} DC /Turquoise{0.85 0 0.20 0 setcmykcolor} DC /TealBlue{0.86 0 0,34 0,02 setcmykcolor} DC / Аквамарин{0,82 0 0,30 0 setcmykcolor} DC /BlueGreen{0,85 0 0,33 0 setcmykcolor} DC / Emerald {1 0 0,50 0 setcmykcolor} DC /JungleGreen{0.99 0 0.52 0 setcmykcolor} DC / SeaGreen { 0,69 0 0,50 0 setcmykcolor} DC / зеленый {1 0 1 0 setcmykcolor} DC / ForestGreen {0.91 0 0,88 0,12 setcmykcolor} DC / PineGreen{0,92 0 0,59 0,25 setcmykcolor} DC /LimeGreen{0,50 0 1 0 setcmykcolor} DC / YellowGreen { 0,44 0 0,74 0 setcmykcolor} DC / SpringGreen{0.26 0 0,76 0 setcmykcolor} DC /OliveGreen{0,64 0 0,95 0,40 setcmykcolor} DC / RawSienna {0 0,72 1 0,45 setcmykcolor} DC / сепия {0 0,83 1 0,70 setcmykcolor} DC / коричневый {0 0,81 1 0.60 setcmykcolor} DC /Tan{0.14 0.42 0.56 0 setcmykcolor} DC / Gray {0 0 0 0,50 setcmykcolor} DC / черный {0 0 0 1 setcmykcolor} DC / белый {0 0 0 0 setcmykcolor} конец DC %% EndProcSet Начало TeXDict 3

80 55380996 1000600600 (dundee.dvi) @start / Fa 1 77 df [124 136 118 263 143 76 D E / Fb 4 91 df [75 430 94 133 114 32 D [75 430 124 133 114 I82 D [127 319 120 127 80 90 D E / Fc 2 50 df43 D49 D E / Fd 1108 df107 D E / Fe 7113 df27 D61 D84 D100 D104 D107 D112 D E / Ff 2 114 df82 D113 D E / Fg 9 107 df0 D15 D20 D33 D49 DI56 D79 D106 D E / Fh 4 63 df0 D48 DI62 D E / Fi 18122 df13 D22 D32 D34 D58 DI63 D67 DI71 D76 D84 D96 D102 DII116 D121 D E / Fj 30 125 df [96 142 108 269 136 49 D [110 142 117 269 136 I [144 144 113 267 174 67 D [61 136 123 263 72 73 D [148 136 106 263 184 75 D [179 136 106 263 224 77 D [135 136 107 263 178 I [179 144 113 267 210 I [135 136 108 263 171 I [174 135 118 262 195 84 D [136 140 108 263 177 I97 D [110 140 113 265 135 II [110 140 119 265 135 II 103 D [104 138 113 265 135 I [32 139 115 266 60 I [29 138 113 265 60 108 D IIII114 DI [85 139 123 264 98 II122 D [272 15 128 201 273 124 D E / Fk 12 121 df40 DI43 D48 DII52 D97 D104 D109 D116 D120 D E / Fl 76 123 df9 D12 DI28 D34 D38 DIII43 DIIIIIIIIII IIIII61 D63 D65 D IIII72 DII76 DIIII83 DIIIII91 DII95 D97 DIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII E / Fm 19 122 df [127 144 110 267 158 67 D [86 140 118 263 114 74 D [116 136 106 263 161 78 D [115 140 106 263 160 85 D97 D [94 140 109 265 124 I [94 140 118 265 124 100 DI [79 140 122 267 76 II [20 139 111 266 55 105 D109 DII 114 DI [77 135 123 260 90 я 118 D121 D E / Fn 21 123 df [174 173 110 295 209 67 D [190 163 104 290 233 I [164 163 104 290 203 I [165 163 104 290 214 72 D [73 163 122 290 86 I [215 173 110 295 252 79 D [149 173 114 295 182 83 D [287 165 121 290 302 87 D [125 133 118 258 154 97 D [130 133 119 258 149 101 D [132 169 117 257 162 103 D [125 165 110 292 162 I [38 166 112 293 72 I [125 130 110 257] 162 110 D [145 133 119 258 164 I [132 163 110 257 162 I [84 130 110 257 108 114 D [108 133 119 258 125 I [102 167 122 292 118 I119 D122 D E конец %% EndProlog %% BeginSetup %% Особенность: * Разрешение 600 точек на дюйм Начало TeXDict %% PaperSize: a4 %% EndSetup %% Стр .: 1 1 1 0 боп Черный Черный Черный Черный.2 .2 1 TeXcolorrgb 917 679 a Fn (Ho) -9 b (w) 108 b (to) h (Cho) 9 b (ose) 607 1078 y (the) 110 b (Шаг) f (Размер) f (Когда) 613 1476 y (Интегрирование) g (an) h (ODE) p Черный 1 .2 .2 TeXcolorrgb 1349 2257 a Fm (Jitse) 83 b (Niesen) 734 2605 у (Университет) -7 б (у) 83 б (оф) г (камб) -7 б (гребень) п Черный 425 4977 a Fl (20) 631 4918 y Fk (th) 853 4977 y Fl (NA) 70 b (Конференция) g (Данди) g (июнь) f (2003 г.) p Black Black eop %% Стр .: 2 2 2 1 боп Черный Черный .2 .2 1 TeXcolorrgb 3947 a Fj (Вступление) 8 b (воздуховод) p Черный 3 1429 a Fl (Supp) e (ose) 70 b (w) -6 b (e) 68 b (w) -6 b (ant) 69 b (to) f (решить) h (the) g (ODE) p.4 1 .4 TeXcolorrgb 197 1786 a Fi (y) 290 1717 y Fh (0) 334 1786 y Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) 50 b (=) e Fi (f) 18 b Fl (\ () p Fi (t;) 30 b (y) 6 b Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\) \)) p Fi (;) 237 b (y) 6 b Fl (\ (0 \)) 50 b (=) e Fi (y) 2524 1820 г Fk (0) 2614 1786 г Fi (;) 236 b (y) 6 b Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) 49 b Fg (2) g Ff (R) 3574 1717 y Fe (d) 3654 1786 y Fi (;) p Черный 3 2101 a Fl (с) 106 b (a) f (числовой) f (метод) 6 b (d) 105 b (с) p 1 .2 .2 TeXcolorrgb 105 w (va) -6 b (riable) p Черный 105 w (шаг) 3 2334 y (размер) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 69 w Fi (h) p Черный Fl (.) 3 2815 y (Очевидно) p 1.2 .2 TeXcolorrgb 69 w (вопрос) p Черный (:) 93 b (ho) -6 b (w) 70 b (to) e (cho) 6 b (ose) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 70 w Fi (h) p Черный Fl (?) p Черный 148 3297 a Fg (\ 017) p Черный 83 w Fl (Cho) g (ose) p .4 1 .4 TeXcolorrgb 46 w Fi (h) p Черный 46 w Fl (такой) 47 b (то) e (the) p 1 .2 .2 TeXcolorrgb 45 w (lo) 6 b (cal) p Черный 45 w (erro) -6 b (r) 46 b (p) 6 b (er) 46 b (\ (unit \)) 319 3529 y (шаг) 68 b (is) h (константа) p Черный 148 3886 a Fg (\ 017) p Черный 83 w Fl (Cho) 6 b (ose) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 99 w Fi (h) p Черный 99 w Fl (to) 98 b (re \ 015ect) g (the) p 1.2 .2 TeXcolorrgb 98 w (состав) p Черный 98 w (of) h (the) 319 4119 y (p) -6 b (roblem.) P черный 148 4476 a Fg (\ 017) p черный 83 w Fl (Cho) 6 b (ose) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 46 w Fi (h) p Черный 46 w Fl (to) 46 b (свернуть) d (the) p 1 .2 .2 TeXcolorrgb 46 w (общий) p Черный 46 w (erro) -6 b (r.) 84 b (This) 319 4708 y (is) 69 b (the) f (app) -6 b (roach) 69 b (tak) -6 b (en) 68 b (здесь) p Черный Черный эоп %% Стр .: 3 3 3 2 bop Черный Черный .2 .2 1 TeXcolorrgb 3 515 a Fj (The) 91 b (Числовой) f (Метод) 8 b (d) p Черный 3900 a Fl (W) -6 b (e) 70 b (рассмотреть) h (одноступенчатый) g (va) -6 b (riable) 69 b (шаг) h (размер) h (мет-) 3 1103 y (o) 6 b (ds) 70 b (of) f (the) f (fo) -6 b (rm) п.4 1 .4 TeXcolorrgb 1094 1408 a Fi (t) 1157 1447 y Fe (k) t Fk (+1) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 1511 1408 a Fl (=) 48 b Fi (t) 1783 1447 y Fe (k) 1907 1408 y Fl (+) 38 b Fi (h) 2207 1447 y Fe (k) t Fk (+1) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 1071 1636 a Fi (y) 1158 1675 y Fe (k) t Fk (+1) p Черный .4 1,4 TeXcolorrgb 1511 1636 a Fl (=) 48 b (\ 011) 1881 1675 y Fe (h) 1965 1707 y Fd (k) s Fc (+1) 2223 1636 y Fl (\ () p Fi (t) 2366 1675 y Fe (k) 2451 1636 y Fi (;) 29 b (y) 2616 1675 y Fe (k) 2700 1636 y Fl (\)) p Fi (:) p Черный 3 1900 a Fl (The) 47 b (числовой) e (\ 015o) -6 b (w) 46 b (карта) стр.4 1 .4 TeXcolorrgb 46 w (\ 011) p Черный 46 w (индуцирует) h (a) p 1 .2 .2 TeXcolorrgb 46 w (lo) 6 b (cal) p Черный 46 w (erro) -6 b (r) p .4 1,4 TeXcolorrgb 737 2205 a Fi (L) 856 2244 y Fe (h) 945 2205 y Fl (\ () p Fi (t;) 30 b (y) 6 b Fl (\)) 49 b (=) f (\ 011) 1759 2244 y Fe (h) 1848 2205 y Fl (\ () p Fi (t;) 29 b (y) 6 b Fl (\)) 39 b Fg (\ 000) g Fi (y) 6 b Fl (\ () p Fi (t) 40 b Fl (+) e Fi (h) p Fl (\)) p Fi (:) p Черный 3 2469 a Fl (Эти) 69 b (объединить) f (to) h (fo) -6 b (rm) 68 b (the) p 1 .2 .2 TeXcolorrgb 69 w (global) p черный 69 w (erro) -6 b (r) p .4 1,4 TeXcolorrgb 1181 2774 a Fi (G) p Fl (\ () p Fi (t) 1461 2812 y Fe (k) 1545 2774 y Fl (\)) 50 b (=) e Fi (y) 1971 2812 y Fe (k) 2094 2774 y Fg (\ 000) 39 b Fi (y) 6 b Fl (\ () p Fi (t) 2506 2812 y Fe (k) 2590 2774 y Fl (\)) p Fi (:) p Черный 3 3220 a Fl (Если) 69 b (the) f (шаг) h (размер) g (is) g (выбрано) f (acco) -6 b (rding) 69 б (к) п.4 1 .4 TeXcolorrgb 1373 3525 a Fi (час) 1474 3564 y Fe (k) t Fk (+1) 1827 3525 y Fl (=) 49 b Fi («h) p Fl (\ () p Fi (t) 2362 3564 y Fe (k) 2447 3525 y Fl (\)) p Черный 3 3789 a (\ (с) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 59 w Fi (h) p Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) p Черный 61 w (b) 6 b (ограниченный) 61 b ​​(ab) 6 b (ове) 59 b (и) g (b) 6 b (elo) -6 b (w \),) 63 b (и) c (the) 3 3992 y (lo) 6 b (cal) 68 b (erro) -6 b (r) 69 b (имеет) g (the) g (fo) -6 b (rm) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 591 4297 a Fi (L) 710 4336 y Fe (h) 799 4297 y Fl (\ () p Fi (t;) 30 b (y) 6 b Fl (\)) 49 b (=) f Fi (h) 1553 4228 y Fe (p) p Fk (+1) 1851 4297 у Fi (`) p Fl (\ () p Fi (t;) 30 b (y) 6 b Fl (\)) 39 b (+) f Fg (O) 5 b Fl (\ () p Fi (h) 2881 4228 y Fe (p) p Fk (+2) 3180 4297 y Fl (\)) p Fi (;) p Черный 3 4561 a Fl (затем) p.4 1 .4 TeXcolorrgb 68 w Fi (G) p Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) 50 b (=) e Fi («) 1144 4502 y Fe (p) 1222 4561 y Fi (g) 6 b Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) 38 b (+) f Fg (O) 5 b Fl (\ () p Fi («) 2076 4502 y Fe (p) p Fk (+1) 2374 4561 y Fl (\)) p Черный 68 w (где) p .4 1,4 TeXcolorrgb 67 w Fi (g) p Черный 73 w Fl (satis \ 014es) p 1 1 .9 TeXcolorrgb 1 1 .9 TeXcolorrgb 759 4942 2383 263 v 1 1 .9 TeXcolorrgb Черный 800 4866 a Fi (g) 890 4797 y Fh (0) 982 4866 y Fl (=) 49 b Fi (D) 5 b (f) 47 b (g) e Fl (+) 39 b Fi (h) 1902 4797 y Fe (p) 1980 4866 y Fi (`;) 235 b (g) 6 b Fl (\ (0 \)) 49 b (=) g (0) p Fi (:) p 1 1.9 TeXcolorrgb Черный 1 0 1 TeXcolorrgb 1700 5130 a Fl (\ (Hairer,) 69 b (N \ 034rsett,) g (W) -6 b (anner \)) p Черный Черный Черный эоп %% Страница: 4 4 4 3 боп Черный Черный .2 .2 1 TeXcolorrgb 3 515 a Fj (The) 91 b (Оптимизация) e (Проблема) p Черный 3978 a Fl (Если) 61 b ​​(w) -6 b (e) 61 b ​​(использование) g (the) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 61 w Fi (L) 1250 1012 y Fk (2) 1340 978 y Fl (\ ([0) p Fi (;) 30 b (T) 24 b Fl (] \)) p Черный 63 w (no) -6 b (rm) 60 b (of) p .4 1,4 TeXcolorrgb 61 w Fi (g) p Черный 67 w Fl (as) g (объектив) 3 1204 y (w) -6 b (e) 66 b (get) f (the) h (follo) -6 b (wing) p 1.2 .2 TeXcolorrgb 66 w (оптимальная) 63 b (контрольная) p Черный 66 w (p) -6 b (проблема) p .4 1 .4 TeXcolorrgb 519 1604 a (мин) 829 1643 y Fe (h) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 1081 1404 a Fb (Z) 1225 1458 y Fe (T) 1161 1731 y Fk (0) 1364 1604 y Fg (j) p Fi (g) 6 b Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) p Fg (j) 1775 1536 y Fk (2) 1894 1604 y Fl (d) q Fi (t) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 519 2013 a Fl (s.t.) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 1081 1812 a Fb (Z) 1225 1867 y Fe (T) 1161 2140 y Fk (0) 1485 1898 y Fl (1) p 1374 1975 326 6 v 1374 2137 a Fi (h) p Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) 1738 2013 г (д) p Fi (t) 50 b Fl (=) e Fi (C) p Black.4 1 .4 TeXcolorrgb 519 2358 a Fl (где) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 68 Вт Fi (g) 1171 2289 y Fh (0) 1263 2358 y Fl (=) h Fi (D) 5 b (f) 48 б (ж) в Fl (+) 39 б Fi (з) 2183 2289 y Fe (p) 2261 2358 y Fi (`;) 235 b (g) 6 b Fl (\ (0 \)) 50 b (=) e (0) p Fi (:) p Черный 3 2663 a Fl (Использовать) p 1 .2 .2 TeXcolorrgb 58 w (Расчет) 58 b (of) h (V) -6 b (a) g (riations) p Черный 58 w (/) p 1 .2 .2 TeXcolorrgb 58 w (P) g (ontry) g (agin’s) 59 b (Min-) 3 2890 y (imum) 66 b (Principle) p Черный 67 w (to) i (refo) -6 b (rmulate) 66 b (this) i (as) g (an) g (BVP) стр. 4 1 .4 TeXcolorrgb 357 3237 a Fi (g) 447 3168 y Fh (0) p Черный.4 1 .4 TeXcolorrgb 539 3237 a Fl (=) 49 b Fi (D) 5 b (f) 47 b (g) e Fl (+) 39 b (\ () p Fi (\ 015) 1538 3168 y Fh (>) 1656 3237 y Fi (`) p Fl (\)) 1808 3168 y Fh (\ 000) p Fe (p =) p Fk (\ () p Fe (p) p Fk (+1 \)) 2501 3237 y Fi (;) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 240 w (g) 6 b Fl (\ (0 \)) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 49 w (=) 49 b (0) p Fi (;) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 346 3489 a (\ 015) 446 3420 y Fh (0) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 539 3489 a Fl (=) g Fg (\ 000) p Fl (2) p Fi (g) 44 b Fg (\ 000) 39 b Fi (D) 5 b (f) 1544 3420 y Fh (>) 1662 3489 y Fi (\ 015) 10 b (;) p Черный.4 1 .4 TeXcolorrgb 945 w (\ 015) g Fl (\ () p Fi (T) 24 b Fl (\)) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 50 w (=) 49 b (0) p Fi (:) p Черный 3 3794 a Fl (W) -6 b (e) 46 b (решить) g (this) g (BVP) g (численно) e (с) p 1 .2 .2 TeXcolorrgb 46 w (COLNEW) p Черный (,) 3 4021 y (который) 69 b (использует) g (collo) 6 b (катион.) p 1 0 1 TeXcolorrgb 100 w (\ (Bader) 69 b (&) g (Ascher) g (’87 \)) p Черный 2028 5408 a @beginspecial 18 @llx 179 @lly 569 @urx 483 @ury 2242 @rwi @clip @setspecial %% BeginDocument: dundee_f1.eps Словарь% MathWorks / MathWorks 150 dict begin Операторы% определения / bdef {определение привязки} определение привязки / ldef {load def} bind def / xdef {exch def} bdef / xstore {exch store} bdef Сокращения операторов% / c / clip ldef / cc / concat ldef / cp / closepath ldef / gr / grestore ldef / gs / gsave ldef / mt / moveto ldef / np / новый путь ldef / см / currentmatrix ldef / sm / setmatrix ldef / rc {rectclip} bdef / rf {rectfill} bdef / rm / rmoveto ldef / rl / rlineto ldef / s / показать ldef / sc {setcmykcolor} bdef / SR / setrgbcolor ldef / sg / setgray ldef / w / setlinewidth ldef / j / setlinejoin ldef / cap / setlinecap ldef % контроль состояния страницы / pgsv () def / bpage {/ pgsv save def} bdef / epage {pgsv restore} bdef / bplot / gsave ldef / eplot {stroke grestore} bdef % переключатель ориентации / portraitMode 0 def / landscapeMode 1 def % сопоставлений систем координат / dpi2point 0 по умолчанию % управление шрифтом / FontSize 0 def / FMS { / FontSize xstore% сохранить размер вне стека findfont [FontSize 0 0 FontSize neg 0 0] makefont setfont } bdef / reencode { exch dup где {pop load} {pop StandardEncoding} ifelse обменять дубликат 3 1 рулон findfont dup length dict begin {1 index / FID ne {def} {pop pop} ifelse} для всех / Кодирование exch def текущий конец definefont pop } bdef / isroman { findfont / CharStrings получить / Agrave известен } bdef / FMSR { 3 1 рулон 1 индекс Дуп Исроман {reencode} {pop pop} ifelse биржа ФМС } bdef / csm { 1 dpi2point div -1 dpi2point div шкала нег переводить landscapeMode eq {90 rotate}, если } bdef % типов линий: сплошная, пунктирная, пунктирная, пунктирная / SO {[] 0 setdash} bdef /ДЕЛАТЬ { [.5 dpi2point mul 4 dpi2point mul] 0 setdash} bdef / DA {[6 dpi2point mul] 0 setdash} bdef / DD {[.5 dpi2point mul 4 dpi2point mul 6 dpi2point mul 4 dpi2point mul] 0 setdash} bdef % макросов для линий и объектов / L { Lineto Инсульт } bdef / MP { 3 1 рулон moveto 1 суб {rlineto} повтор } bdef / AP { {rlineto} повторять } bdef / PP { закрыть путь eofill } bdef / DP { ход на близком расстоянии } bdef /МИСТЕР { 4 -2 ролика moveto dup 0 exch rlineto обменять 0 рлинето neg 0 exch rlineto близкий путь } bdef / FR { MR инсульт } bdef / PR { MR заполнение } bdef / L1i { {currentfile picstr readhexstring pop} изображение } bdef / t Матрица матрица def / MakeOval { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 0 360 дуги tMatrix setmatrix } bdef / FO { MakeOval Инсульт } bdef / PO { MakeOval наполнять } bdef / PD { currentlinecap 1 setlinecap 3 1 рулон 2 копировать переместить в линию } bdef / FA { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 5-2 дуги рулона tMatrix setmatrix Инсульт } bdef / PA { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести 0 0 переместить в масштаб 0 0 1 5-2 дуги рулона близкий путь tMatrix setmatrix наполнять } bdef /Поклонник { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 5 -2 рулона дуги tMatrix setmatrix Инсульт } bdef /Сковорода { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести 0 0 переместить в масштаб 0 0 1 5 -2 рулона дуги близкий путь tMatrix setmatrix наполнять } bdef currentdict конец def MathWorks начинается 0 крышка конец MathWorks начинается bpage участок / dpi2point 12 def PortraitMode 0216 7344 csm 0 555 6623 4633 MR c np 90 dict begin% Раскрашиваемый словарь / c0 {0 0 0 sr} bdef / c1 {1 1 1 sr} bdef / c2 {1 0 0 sr} bdef / c3 {0 1 0 sr} bdef / c4 {0 0 1 sr} bdef / c5 {1 1 0 sr} bdef / c6 {1 0 1 sr} bdef / c7 {0 1 1 sr} bdef 1 Дж 1 сг 0 0 6919 5188 PR 12 Вт 0 3112 6227 0 0-3112 345 4616 4 МП ПП -6227 0 0 3112 6227 0 0-3112 345 4616 Ход 5 МП ДЕЛАТЬ 8 Вт ТАК 12 Вт 0 сг 345 4616 тонн 6572 4616 л 1 сг 345 4616 тонн 345 1504 л 0 сг 1383 4616 тонн 1383 4554 л / Helvetica / ISOLatin1Encoding 480 FMSR 970 5097 тонн (-1) с 3459 4616 тонн 3459 4554 л 3326 5097 тонн (0) с 5534 4616 м 5534 4554 л 5401 5097 тонн (1) с 1 сг 345 4616 тонн 407 4616 л 44 4794 тонн (0) с 345 3579 тонн 407 3579 л -357 3757 тонн (0.5) с 345 2541 тонн 407 2541 л 44 2719 тонн (1) с 345 1504 тонн 407 1504 л -357 1682 т (1.5) с GS 345 1504 6228 3113 MR c NP 36 Вт / c8 {1.000000 0.200000 0.200000 sr} bdef c8 21-21 21-20 20-21 21-21 21-21 21-20 20-21 21-21 21-21 21-20 20-21 21-21 21-21 21-20 20-21 21-21 21-21 21-20 20-21 21-21 21-21 21-20 20-21 21-21 21-21 21-20 20-21 21-21 21-21 21-20 20-21 21-21 21-21 21-20 20-21 21-21 21-21 21-20 21-21 20-21 21-21 21-20 21-21 20-21 21-21 21-20 21-21 20-21 21-21 21-20 21-21 20-21 21-21 21-20 21-21 20-21 21-21 21-20 21-21 20-21 21-21 21-20 21-21 20-21 21-21 21-20 21-21 20-21 21-21 21-20 21-21 20-21 21-21 21-20 21-21 21-21 20-20 21-21 21-21 21-21 20-20 21-21 21-21 21-21 20-20 21-21 21-21 21-21 20-20 21-21 21-21 21-21 20-20 21-21 21-21 21-21 20-20 21-21 21-21 4517 3558 Ход 100 МП 21-21 20-20 21-20 21-18 21-19 20-17 21-17 21-16 21-16 20-15 21-15 21-14 21-13 21-14 20-13 21-12 21-12 21-12 20-11 21-11 21-11 21-10 20-11 21-9 21-10 21-9 20-10 21-8 21-9 21-8 20-9 21-8 21-7 21-8 20-8 21-7 21-7 21-7 20-7 21-6 21-7 21-6 20-6 21-6 21-6 21-6 20-6 21-5 21-6 21-5 20-5 21-5 21-6 21-4 21-5 20-5 21-5 21-4 21-5 20-4 21-4 21-5 21-4 20-4 21-4 21-4 21-4 20-4 21-3 21-4 21-4 20-3 21-4 21-3 21-4 20-3 21-3 21-4 21-3 20-3 21-3 21-3 21-3 20-3 21-3 21-3 21-3 20-2 21-3 21-3 21-3 21-2 20-3 21-2 21-3 21-2 20-3 21-2 21-3 2462 4266 Ход 100 МП 21-2 20-2 21-3 21-2 21-2 20-2 21-2 21-3 21-2 20-2 21-2 21-2 21-2 20-2 21-2 21-2 21-2 20-2 21-1 21-2 21-2 20-2 21-2 21-1 21-2 20-2 21-2 21-1 21-2 21-2 20-1 21-2 21-1 21-2 20-2 21-1 21-2 21-1 20-2 21-1 21-2 21-1 20-1 21-2 21-1 21-2 20-1 21-1 21-2 21-1 20-1 21-2 21-1 21-1 20-1 21-2 21-1 21-1 20-1 21-2 21-1 21-1 20-1 21-1 21-1 21-2 21-1 20-1 21-1 21-1 21-1 20-1 21-1 21-1 21-1 20-1 21-1 21-2 21-1 20-1 21-1 21 0 21-1 20-1 21-1 21-1 21-1 20-1 21-1 21-1 21-1 20-1 21-1 21-1 21-1 20 0 21-1 21-1 21-1 407 4406 Ход 100 МП 20-1 21-1 21-1 345 4409 Ход 4 МП DA 3113-3112 3459 4616 Ход 2 МП ТАК 24 Вт 0 сг 0-3112 3459 4616 Ход 2 МП 48 Вт гр 48 Вт 0 сг c8 42 42 4496 3579 ФО GS 345 1504 6228 3113 MR c NP гр / c9 {0.400000 1.000000 0.400000 sr} bdef c9 / Символ / ISOLatin1Encoding 480 FMSR 4393 2302 тонн (г) с / Символ / ISOLatin1Encoding 384 FMSR 4722 2542 тонн (SS / Helvetica / ISOLatin1Encoding 480 FMSR 4953 2302 тонн (\ (х \)) с 4704 3755 тонн (\ () с / Символ / ISOLatin1Encoding 480 FMSR 4863 3755 тонн (SS / Helvetica / ISOLatin1Encoding 480 FMSR 5152 3755 тонн (,) с / Символ / ISOLatin1Encoding 480 FMSR 5285 3755 тонн (SS / Helvetica / ISOLatin1Encoding 480 FMSR 5574 3755 тонн (\)) с 12 Вт конец эплот эпаж конец showpage %% EndDocument @endspecial 3 4484 a (T) -17 b (o) 76 b (p) -6 b (revent) 76 б (п) -6 б (проблемы) 76 б (если) п.4 1 .4 TeXcolorrgb 3 4711 а Fi (\ 015) 103 4652 y Fh (>) 221 4711 y Fi (`) 49 b Fg (\ 024) f Fl (0) p Черный (,) 54 b (w) -6 b (e) 49 b (заменить) p. 4 1,4 TeXcolorrgb 49 w Fi (\ 015) 1755 4652 y Fh (>) 1873 4711 y Fi (`) p Черный 3 4937 a Fl (b) -6 b (y) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 68 w Fi () 375 4958 y Fe (\ 033) 467 4937 y Fl (\ () p Fi (\ 015) 647 4879 y Fh (>) 766 4937 y Fi (`) p Fl (\)) p Черный 67 w (где) p .4 1 .4 TeXcolorrgb 66 w Fi () 1660 4958 y Fe (\ 033) p Черный 1820 4937 a Fl (is) 3 5164 y (as) 69 b (sk) -6 b (травленый) 68 b (здесь) p Черный Черный эоп %% Стр .: 5 5 5 4 боп Черный Черный.2 .2 1 TeXcolorrgb 3 515 a Fj (Использование) 90 b (the) i Fa (L) 1297 540 y Fg (1) 1568 515 y Fj (нет) -8 b (rm) p Черный 3891 a Fl (Использование) 69 b (the) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 69 w Fi (L) 995912 y Fh (1) 1146 891 y Fl (\ ([0) p Fi (;) 30 b (T) 24 b Fl (] \)) p Черный 70 w (нет) -6 b (rm) 68 b (результаты) h (in:) p 1 0 1 TeXcolorrgb 2661 1091 a (\ (Lindb) 6 b (эрг) 70 b (’77 \)) p Черный .4 1,4 TeXcolorrgb 519 1391 a (мин) 829 1429 y Fe (h) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 1081 1190 a Fb (Z) 1225 1244 y Fe (T) 1161 1517 y Fk (0) 1485 1275 y Fl (1) p 1374 1352 326 6 v 1374 1514 a Fi (h) p Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) 1738 1391 г (д) п Фи (т) п Черный.4 1 .4 TeXcolorrgb 519 1731 a Fl (s.t.) p Черный .4 1,4 TeXcolorrgb 294 w Fg (j) p Fi (g) 6 б Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) p Fg (j) 49 b (\ 024) g Fi (g) 1811 1752 y Fk (макс.) 2313 1731 y Fl (\ () p Fg (8) p Fi (t) p Fl (\)) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 998 w (\ (1 \)) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 519 1956 a (где) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 68 w Fi (g) 1171 1888 y Fh (0) 1263 1956 y Fl (=) g Fi (D) 5 b (f) 48 b (g) c Fl (+) 39 б Fi (h) 2183 1888 г Fe (p) 2261 1956 г Fi (`;) 235 б (ж) 6 б Fl (\ (0 \)) 50 b (=) e (0) p Fi (:) p Черный 3 2215 a Fl (The) p 1 .2 .2 TeXcolorrgb 66 w (состояние) 65 b (ограничение) p Черный 65 w (сильно) f (усложняет) g (mat-) 3 2416 y (ters.) 182 b (W) -6 b (e) 98 b (cho) 6 b (ose) 99 b (to) g (использование) g (an) p 1 .2 .2 TeXcolorrgb 99 w (exterio) -6 b (r) 98 b (p) 6 b (enalt) -6 b (y) p Черный 3 2616 a (прибл.) G (плотва) 70 b (т.е.) f (заменить) p 1 0 1 TeXcolorrgb 68 w (\ (1 \)) p Черный 69 w (b) -6 b (y) стр. 4 1 .4 TeXcolorrgb 334 3024 a (мин) 644 3062 y Fe (h) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 896 2823 a Fb (Z) 1040 2877 y Fe (T) 976 3150 y Fk (0) 1149 2773 y Fb () 1384 2908 y Fl (1) п 1273 2985 V 1273 3147 a Fi (h) p Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) 1647 3024 y (+) 39 б Fi (\ 026) p Fl (\ () p Fg (j) p Fi (g) 6 b Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) p Fg (j) 39 b (\ 000) g Fi (g) 2743 3044 y Fk (max) 3038 3024 y Fl (\)) 3118 2955 y Fk (2) 3118 3073 y (+) 3257 2773 y Fb (!) 3399 3024 y Fl (d) q Fi (t) p Черный.4 1 .4 TeXcolorrgb 334 3384 a Fl (где) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 68 w Fi (г) 986 3315 y Fh (0) 1078 3384 y Fl (=) 49 b Fi (D) 5 b (f) 48 b (g) c Fl (+) 39 b Fi (h) 1998 3315 y Fe (p) 2076 3384 y Fi (`;) 235 b (g) 6 b Fl (\ (0 \)) 50 b (=) e (0) p Fi (:) p Черный .4 1 .4 TeXcolorrgb 3633 3169 a Fl (\ (2 \)) p Черный 3 3643 a (As) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 55 w Fi (\ 026) g Fg (!) H (1) p Черный Fl (,) 57 b (the) d (раствор) h (of) p 1 0 1 TeXcolorrgb 55 w (\ (2 \)) p Черный 55 w (сходится) g (к) f (the) 3 3843 y (раствор) 70 b (of) p 1 0 1 TeXcolorrgb 69 w (\ (1 \)) p Чернить(.) p 1 0 1 TeXcolorrgb 950 w (\ (Xing) g (&) f (W) -6 b (ang) 69 b (’89 \)) p Черный 3 4220 a (W) -6 b (e) 69 b (решить) p 1 0 1 TeXcolorrgb 68 w (\ (2 \)) p Черный 70 w (численно) e (as) i (b) 6 b (efo) -6 b (re.) 3 4596 y (Другое) 68 b (цель) g (функции:) 132 4882 y Fg (\ 017) h Fl (Свернуть) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 67 w Fi (g) 6 b Fl (\ () p Fi (T) 24 b Fl (\)) p Черный 1 0 1 TeXcolorrgb 753 w (\ (Mo) -6 b (rrison) 70 b (’62,) h Fi (:) 29 b (:) g (:) 98 b Fl (\)) p Черный 132 5126 a Fg (\ 017) 69 b Fl (Свернуть) p .4 1 .4 TeXcolorrgb 1109 5005 a Fb (R) 1234 5126 y Fi (g) 6 b Fl (\ () p Fi (t) p Fl (\)) 30 b (d) p Fi (t) p Черный 1 0 1 TeXcolorrgb 614 w Fl (\ (Utumi) 68 b (et) g (al.) 92 b (’96 \)) p Черный Черный Черный эоп %% Стр .: 6 6 6 5 боп Черный Черный 2697 1521 a @beginspecial 108 @llx 227 @lly 587 @urx 591 @ury 1440 @rwi @setspecial %% BeginDocument: dundee_f2.eps Словарь% MathWorks / MathWorks 150 dict begin Операторы% определения / bdef {определение привязки} определение привязки / ldef {load def} bind def / xdef {exch def} bdef / xstore {exch store} bdef Сокращения операторов% / c / clip ldef / cc / concat ldef / cp / closepath ldef / gr / grestore ldef / gs / gsave ldef / mt / moveto ldef / np / новый путь ldef / см / currentmatrix ldef / sm / setmatrix ldef / rc {rectclip} bdef / rf {rectfill} bdef / rm / rmoveto ldef / rl / rlineto ldef / s / показать ldef / sc {setcmykcolor} bdef / SR / setrgbcolor ldef / sg / setgray ldef / w / setlinewidth ldef / j / setlinejoin ldef / cap / setlinecap ldef % контроль состояния страницы / pgsv () def / bpage {/ pgsv save def} bdef / epage {pgsv restore} bdef / bplot / gsave ldef / eplot {stroke grestore} bdef % переключатель ориентации / portraitMode 0 def / landscapeMode 1 def % сопоставлений систем координат / dpi2point 0 по умолчанию % управление шрифтом / FontSize 0 def / FMS { / FontSize xstore% сохранить размер вне стека findfont [FontSize 0 0 FontSize neg 0 0] makefont setfont } bdef / reencode { exch dup где {pop load} {pop StandardEncoding} ifelse обменять дубликат 3 1 рулон findfont dup length dict begin {1 index / FID ne {def} {pop pop} ifelse} для всех / Кодирование exch def текущий конец definefont pop } bdef / isroman { findfont / CharStrings получить / Agrave известен } bdef / FMSR { 3 1 рулон 1 индекс Дуп Исроман {reencode} {pop pop} ifelse биржа ФМС } bdef / csm { 1 dpi2point div -1 dpi2point div шкала нег переводить landscapeMode eq {90 rotate}, если } bdef % типов линий: сплошная, пунктирная, пунктирная, пунктирная / SO {[] 0 setdash} bdef /ДЕЛАТЬ { [.5 dpi2point mul 4 dpi2point mul] 0 setdash} bdef / DA {[6 dpi2point mul] 0 setdash} bdef / DD {[.5 dpi2point mul 4 dpi2point mul 6 dpi2point mul 4 dpi2point mul] 0 setdash} bdef % макросов для линий и объектов / L { Lineto Инсульт } bdef / MP { 3 1 рулон moveto 1 суб {rlineto} повтор } bdef / AP { {rlineto} повторять } bdef / PP { закрыть путь eofill } bdef / DP { ход на близком расстоянии } bdef /МИСТЕР { 4 -2 ролика moveto dup 0 exch rlineto обменять 0 рлинето neg 0 exch rlineto близкий путь } bdef / FR { MR инсульт } bdef / PR { MR заполнение } bdef / L1i { {currentfile picstr readhexstring pop} изображение } bdef / t Матрица матрица def / MakeOval { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 0 360 дуги tMatrix setmatrix } bdef / FO { MakeOval Инсульт } bdef / PO { MakeOval наполнять } bdef / PD { currentlinecap 1 setlinecap 3 1 рулон 2 копировать переместить в линию } bdef / FA { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 5-2 дуги рулона tMatrix setmatrix Инсульт } bdef / PA { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести 0 0 переместить в масштаб 0 0 1 5-2 дуги рулона близкий путь tMatrix setmatrix наполнять } bdef /Поклонник { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 5 -2 рулона дуги tMatrix setmatrix Инсульт } bdef /Сковорода { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести 0 0 переместить в масштаб 0 0 1 5 -2 рулона дуги близкий путь tMatrix setmatrix наполнять } bdef currentdict конец def MathWorks начинается 0 крышка конец MathWorks начинается bpage участок / dpi2point 12 def PortraitMode 0216 7344 csm 1090 251 5749 4363 MR c np 88 dict begin% Цветной словарь / c0 {0 0 0 sr} bdef / c1 {1 1 1 sr} bdef / c2 {1 0 0 sr} bdef / c3 {0 1 0 sr} bdef / c4 {0 0 1 sr} bdef / c5 {1 1 0 sr} bdef / c6 {1 0 1 sr} bdef / c7 {0 1 1 sr} bdef 1 Дж 1 сг 0 0 6919 5186 PR 6 нед GS 1139388 4882 4227 MR c np 48 Вт / c8 {1.000000 0,000000 0,000000 sr} bdef c8 1-36 2-35 2-36 3-35 4-35 4-35 5-36 6-35 7-35 7-35 8-35 8-35 10-35 10-34 10-35 12-34 12-35 12-34 14-34 14-34 15-34 15-34 17-33 17-34 17-33 19-33 19-32 19-33 21-32 21-33 22-32 23-31 23-32 24-31 25-31 25-30 27-31 27-30 27-30 29-29 29-29 30-29 31-28 31-28 32-28 33-27 34-27 34-27 35-26 36-25 37-25 38-25 38-24 39-24 40-23 40-23 42-22 42-21 43-21 44-20 44-20 46-19 46-18 47-18 47-17 49-16 49-15 50-15 51-14 52-12 53-12 53-11 55-11 55-9 55-8 57-7 58-6 58-5 59-3 60-3 60-1 62 0 62 2 63 3 64 4 64 6 65 7 66 10 66 11 67 12 68 15 68 16 69 19 69 21 70 22 70 25 70 28 71 30 71 33 2399 4350100 МП ход 70 35 71 38 71 41 70 44 70 47 69 50 69 53 67 57 66 61 65 64 63 68 61 71 59 75 55 79 53 83 50 86 45 89 42 93 37 96 31 99 27101 21103 15104 9106 4 106-4 106-9 106-15 104-21 103-27 101-31 99-37 96 -42 93-45 89-50 86-53 83-55 79-59 75-61 71-63 68 -65 64-66 61-67 57-69 53-69 50-70 47-70 44-71 41 -70 38-71 35-71 33-71 30-70 28-70 25-70 22-69 21 -69 19-68 16-68 15-67 12-66 11-66 10-65 7-64 6 -64 4-63 3-62 2-62 0-60-1-60-3-59-3-58-5 -58-6-57-7-55-8-55-9-55-11-53-11-53-12-51-12 -51-14-51-15-49-15-49-16-47-17-47-18-46-18-46-19 -44-20-44-20-43-21-42-21-42-22-40-23-40-23-39-24 -38-24-38-25-37-25 5111 856 Ход 100 МП -36-25-35-26-34-27-34-27-33-27-32-28-31-28-31-28 -30-29-29-29-29-29-27-30-27-30-27-31-25-30-25-31 -24-31-23-32-23-31-22-32-21-33-21-32-19-33-19-32 -19-33-17-33-17-34-17-33-15-34-15-34-14-34-14-34 -12-34-12-35-12-34-10-35-10-34-10-35-8-35-8-35 -7-35-7-35-6-35-5-36-4-35-4-35-3-35-2-36 -2-35-1-36-1-35 1-35 1-36 2-35 2-36 3-35 4-35 4-35 5-36 6-35 7-35 7-35 8-35 8-35 10-35 10-34 10-35 12-34 12-35 12-34 14-34 14-34 15-34 15-34 17-33 17-34 17-33 19-33 19-32 19-33 21-32 21-33 22-32 23-31 23-32 24-31 25-31 25-30 27-31 27-30 27-30 29-29 29-29 30-29 31-28 31-28 32-28 33-27 34-27 5216 4068 Ход 100 МП 34-27 35-26 36-25 37-25 38-25 38-24 39-24 40-23 40-23 42-22 42-21 43-21 44-20 44-20 46-19 46-18 47-18 47-17 49-16 49-15 50-15 51-14 52-12 53-12 53-11 55-11 55-9 55-8 57-7 58-6 58-5 59-3 60-3 60-1 62 0 62 2 63 3 64 4 64 6 65 7 66 10 66 11 67 12 68 15 68 16 69 19 69 21 70 22 70 25 70 28 71 30 71 33 70 35 71 38 71 41 70 44 70 47 69 50 69 53 67 57 66 61 65 64 63 68 61 71 59 75 55 79 53 83 50 86 45 89 42 93 37 96 31 99 27101 21103 15104 9106 4106-4106-9106-15 104 -21 103-27 101-31 99-37 96-42 93-45 89-50 86-53 83 -55 79-59 75-61 71-63 68-65 64-66 61-67 57-69 53 -69 50-70 47-70 44 2187 766 100 МП ход -71 41-71 38-70 35-71 33-71 30-70 28-70 25-70 22 -69 21-69 19-68 16-68 15-67 12-66 11-66 10-65 7 -64 6-64 4-63 3-62 2-62 0-60-1-60-3-59-3 -58-5-5-5-6-57-7-55-8-55-9-55-11-53-11-53-12 -52-12-51-14-50-15-49-15-49-16-47-17-47-18-46-18 -46-19-44-20-44-20-43-21-42-21-42-22-40-23-40-23 -39-24-38-24-38-25-37-25-36-25-35-26-34-27-34-27 -33-27-32-28-31-28-31-28-30-29-29-29-29-29-27-30 -27-30-27-31-25-30-25-31-24-31-23-32-23-31-22-32 -21-33-21-32-19-33-19-32-19-33-17-33-17-34-17-33 -15-34-15-34-14-34-14-34-12-34-12-35-12-34-10-35 -10-34-10-35-8-35-8-35-7-35-7-35-6-35-5-36 -4-35-4-35-3-35 6014 2359 Ход 100 МП -2-36-2-35-1-36-1-35 6020 2501 Ход 5 МП гр 48 Вт c8 5766 2247 тонн 6274 2755 л 6274 2247 тонн 5766 2755 л GS 1139388 4882 4227 MR c np гр / c9 {0.000000 0.000000 1.000000 sr} bdef c9 180 180 2359 2501 ФО GS 1139388 4882 4227 MR c np гр 6 нед конец эплот эпаж конец showpage %% EndDocument @endspecial .2 .2 1 TeXcolorrgb 3 515 a Fj (Кеплер) 91 b (Проблема) f (|) h (1) p Черный 3 888 a Fl (Первоначально) -17 b (,) p .4 1 .4 TeXcolorrgb 68 w Ff (q) 49 b Fl (=) f (\ (2) p Fi (;) 30 b Fl (0 \)) p Черный (,) стр. 4 1,4 TeXcolorrgb 92 w (_) — 79 b Ff (q) 49 b Fl (=) f (\ (0) p Fi (;) 30 b Fl (0) p Fi (:) p Fl (5 \)) p Черный 3 1088 a (Орбита) 85 b (is) h (an) f (эллипс) g (с) g (eccen-) 3 1287 л (трицит) -6 б (у) п.4 1 .4 TeXcolorrgb 68 w (0) p Fi (:) p Fl (5) p Черный (.) 3 1486 y (Эйлер) 68 b (мето) 6 b (d) 68 b (с) g (avg) p .4 1 .4 TeXcolorrgb 69 w Fi (h) 49 b Fl (=) f (10) 2579 1428 y Fh (\ 000) p Fk (4) p Черный 2784 1486 a Fl (.) 3 4658 y @beginspecial 18 @llx 182 @lly 555 @urx 616 @ury 4672 @rwi @setspecial %% BeginDocument: dundee_f3.eps Словарь% MathWorks / MathWorks 150 dict begin Операторы% определения / bdef {определение привязки} определение привязки / ldef {load def} bind def / xdef {exch def} bdef / xstore {exch store} bdef Сокращения операторов% / c / clip ldef / cc / concat ldef / cp / closepath ldef / gr / grestore ldef / gs / gsave ldef / mt / moveto ldef / np / новый путь ldef / см / currentmatrix ldef / sm / setmatrix ldef / rc {rectclip} bdef / rf {rectfill} bdef / rm / rmoveto ldef / rl / rlineto ldef / s / показать ldef / sc {setcmykcolor} bdef / SR / setrgbcolor ldef / sg / setgray ldef / w / setlinewidth ldef / j / setlinejoin ldef / cap / setlinecap ldef % контроль состояния страницы / pgsv () def / bpage {/ pgsv save def} bdef / epage {pgsv restore} bdef / bplot / gsave ldef / eplot {stroke grestore} bdef % переключатель ориентации / portraitMode 0 def / landscapeMode 1 def % сопоставлений систем координат / dpi2point 0 по умолчанию % управление шрифтом / FontSize 0 def / FMS { / FontSize xstore% сохранить размер вне стека findfont [FontSize 0 0 FontSize neg 0 0] makefont setfont } bdef / reencode { exch dup где {pop load} {pop StandardEncoding} ifelse обменять дубликат 3 1 рулон findfont dup length dict begin {1 index / FID ne {def} {pop pop} ifelse} для всех / Кодирование exch def текущий конец definefont pop } bdef / isroman { findfont / CharStrings получить / Agrave известен } bdef / FMSR { 3 1 рулон 1 индекс Дуп Исроман {reencode} {pop pop} ifelse биржа ФМС } bdef / csm { 1 dpi2point div -1 dpi2point div шкала нег переводить landscapeMode eq {90 rotate}, если } bdef % типов линий: сплошная, пунктирная, пунктирная, пунктирная / SO {[] 0 setdash} bdef /ДЕЛАТЬ { [.5 dpi2point mul 4 dpi2point mul] 0 setdash} bdef / DA {[6 dpi2point mul] 0 setdash} bdef / DD {[.5 dpi2point mul 4 dpi2point mul 6 dpi2point mul 4 dpi2point mul] 0 setdash} bdef % макросов для линий и объектов / L { Lineto Инсульт } bdef / MP { 3 1 рулон moveto 1 суб {rlineto} повтор } bdef / AP { {rlineto} повторять } bdef / PP { закрыть путь eofill } bdef / DP { ход на близком расстоянии } bdef /МИСТЕР { 4 -2 ролика moveto dup 0 exch rlineto обменять 0 рлинето neg 0 exch rlineto близкий путь } bdef / FR { MR инсульт } bdef / PR { MR заполнение } bdef / L1i { {currentfile picstr readhexstring pop} изображение } bdef / t Матрица матрица def / MakeOval { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 0 360 дуги tMatrix setmatrix } bdef / FO { MakeOval Инсульт } bdef / PO { MakeOval наполнять } bdef / PD { currentlinecap 1 setlinecap 3 1 рулон 2 копировать переместить в линию } bdef / FA { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 5-2 дуги рулона tMatrix setmatrix Инсульт } bdef / PA { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести 0 0 переместить в масштаб 0 0 1 5-2 дуги рулона близкий путь tMatrix setmatrix наполнять } bdef /Поклонник { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 5 -2 рулона дуги tMatrix setmatrix Инсульт } bdef /Сковорода { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести 0 0 переместить в масштаб 0 0 1 5 -2 рулона дуги близкий путь tMatrix setmatrix наполнять } bdef currentdict конец def MathWorks начинается 0 крышка конец MathWorks начинается bpage участок / dpi2point 12 def PortraitMode 0216 7344 csm 0-48 6449 5208 MR c np 91 dict begin% Раскрашиваемый словарь / c0 {0 0 0 sr} bdef / c1 {1 1 1 sr} bdef / c2 {1 0 0 sr} bdef / c3 {0 1 0 sr} bdef / c4 {0 0 1 sr} bdef / c5 {1 1 0 sr} bdef / c6 {1 0 1 sr} bdef / c7 {0 1 1 sr} bdef 1 Дж 1 сг 0 0 6919 5188 PR 6 нед 0 1783 5361 0 0 -1783899 4616 4 МП ПП -5361 0 0 1783 5361 0 0 -1783899 4616 Ход 5 МП ДЕЛАТЬ 4 нед ТАК 6 нед 0 сг 899 4616 тонн 6260 4616 л 899 4616 тонн 899 2833 л 899 4616 тонн 899 4562 л / Helvetica / ISOLatin1Encoding 240 FMSR 799 4874 тонн (0) с 2686 4616 тонн 2686 4562 л 2580 4874 тонн (Т) с 4473 4616 тонн 4473 4562 л 4333 4874 тонн (2Т) с 6260 4616 тонн 6260 4562 л 6120 4874 тонн (3Т) с 899 4616 тонн 953 4616 л 397 4705 тонн (0) с 899 3725 тонн 953 3725 л 131 3814 т (0.0002) с 899 2833 тонн 953 2833 л 131 2922 тонн (0,0004) с GS 899 2833 5362 1784 MR c np 24 Вт / c8 {0.400000 1.000000 0.400000 sr} bdef c8 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 17 0 17-2 17-1 16-3 17-2 17-3 17-4 17-4 16-5 17-5 17-6 17-6 17-7 16-7 17-8 17-9 17-9 17-9 16-10 17-11 17-11 17-12 16-13 17-13 17-14 17-14 17-15 16-16 17-16 17-18 17-17 17-19 16-19 17-19 17-20 17-21 17-21 16-21 17-22 17-22 17-21 16-22 17-20 17-21 17-19 17-17 16-16 17-14 17-11 17-9 17-5 16-3 17 1 17 3 17 7 16 9 17 12 17 15 17 16 17 18 16 20 17 20 17 21 17 21 17 22 16 22 17 21 17 22 17 20 17 21 16 20 17 19 17 19 17 18 5012 4075 Ход 100 МП 16 18 17 17 17 16 17 15 17 15 16 15 17 13 17 13 17 13 17 11 16 11 17 11 17 10 17 9 17 9 16 8 17 8 17 7 17 7 16 6 17 6 ​​17 5 17 4 17 4 16 4 17 3 17 2 17 2 17 2 16 1 17 0 17 1 17-1 17-1 16-1 17-2 17-2 17-3 16-4 17-3 17-5 17-5 17-5 16-6 17-6 17-7 17-8 17-8 16-9 17-9 17-9 17-11 17-11 16-11 17-12 17-13 17-13 16-15 17-14 17-16 17-16 17-16 16-17 17-18 17-19 17-19 17-20 16-20 17-21 17-21 17-22 17-21 16-22 17-22 17-21 17-20 16-20 17-19 17-17 17-15 17-13 16-10 17-8 17-4 17-2 17 1 16 5 17 8 17 10 17 13 16 15 17 17 17 19 17 19 17 21 16 21 17 22 17 21 17 22 3350 4228 Ход 100 МП 17 22 16 21 17 20 17 21 17 20 17 19 16 18 17 18 17 18 17 16 16 16 17 16 17 14 17 14 17 14 16 12 17 13 17 11 17 11 17 10 16 10 17 9 17 9 17 8 17 8 16 7 17 6 ​​17 6 ​​17 5 16 5 17 5 17 3 17 4 17 3 16 2 17 2 17 1 17 1 17 1 16 -1 17 0 17-1 17-2 17-2 16-2 17-3 17-4 17-4 16-4 17-5 17-6 17-6 17-7 16-7 17-8 17-8 17-9 17-9 16-10 17-10 17-12 17-11 17-13 16-13 17-13 17-14 17-15 16-16 17-16 17-17 17-17 17-19 16-18 17-20 17-20 17-20 17-21 16-21 17-22 17-22 17-21 17-22 16-21 17-20 17-19 17-19 16-16 17-15 17-12 17-9 17-7 16-3 17-1 17 3 17 5 17 9 16 11 17 14 17 16 1688 4384100 МП ход 17 17 16 19 17 20 17 21 17 21 17 22 16 22 17 21 17 22 17 21 17 20 16 21 17 19 17 19 17 18 17 18 16 17 17 17 17 16 17 15 16 14 17 14 17 13 17 13 17 12 16 11 17 11 17 10 17 9 17 9 16 9 17 8 17 7 17 7 17 6 ​​16 6 17 5 17 5 17 4 16 4 17 3 17 2 17 3 17 1 16 2 17 0 17 1899 3809 Ход 48 МП / c9 {0.200000 0.200000 1.000000 sr} bdef c9 1-40 11-655 11-563 9-482 11-414 11-354 12-304 11-260 11-222 9-189 11-160 11-135 11-113 11-94 10-77 11-62 11-49 11-38 11-27 9-19 12-11 11-4 11 2 11 7 9 12 11 15 11 20 11 22 12 25 9 27 11 29 11 30 11 31 11 32 9 32 12 33 11 32 11 33 11 32 9 32 11 32 11 31 11 30 12 30 9 29 11 28 11 28 11 27 11 26 11 25 10 24 11 24 11 23 11 22 11 21 9 21 11 20 12 19 11 18 11 17 9 17 11 16 11 15 11 15 11 14 10 13 11 13 11 12 11 11 11 11 9 10 11 9 12 9 11 8 11 7 9 7 11 7 11 6 11 5 11 5 10 4 11 4 11 3 11 3 11 2 9 2 12 1 11 1 11 0 11 0 9-1 11-1 11-2 11-2 12-3 11-3 9-3 11-4 11-5 4520 3025 Ход 100 МП 11-4 11-6 10-5 11-6 11-7 11-7 11-7 9-8 11-8 11-9 12-9 11-9 9-10 11-10 11-11 11-11 11-11 10-12 11-12 11-13 11-13 11-13 9-14 11-14 12-15 11-15 11-15 9-16 11-16 11-17 11-17 11-17 10-18 11-18 11-19 11-19 11-19 9-20 11-21 12-20 11-22 11-21 11-22 9-23 11-22 11-24 11-23 12-25 9-24 11-25 11-25 11-26 11-25 10-27 11-26 11-27 11-27 11-27 9-28 11-27 11-28 12-27 11-28 9-27 11-27 11-27 11-26 11-26 10-25 11-24 11-24 11-22 11-22 9-20 11-19 11-18 12-16 11-15 9-14 11-11 11-11 11-9 11-7 10-5 11-5 11-2 11-1 11 0 11 2 9 3 12 5 11 6 11 8 11 9 9 10 11 11 11 13 11 14 12 14 3455 4423 Ход 100 МП 9 16 11 16 11 17 11 17 11 19 9 18 12 19 11 18 11 19 11 19 9 19 11 19 11 18 11 19 12 18 9 17 11 18 11 17 11 16 11 17 10 16 11 15 11 15 11 15 11 14 9 14 11 13 11 13 12 13 11 12 9 12 11 11 11 11 11 10 11 11 11 9 10 10 11 9 11 9 11 8 11 8 9 7 11 8 12 7 11 6 11 6 9 6 11 6 11 5 11 5 11 5 10 4 11 4 11 4 11 3 11 3 9 3 12 2 11 3 11 2 11 1 9 1 11 2 11 0 11 1 12 0 9 0 11-1 11 0 11-1 11-1 9-2 12-2 11-1 11-3 11-2 9-3 11-3 11-4 11-3 12-4 11-4 9-5 11-4 11-6 11-5 11-5 10-6 11-6 11-6 11-7 11-7 9-7 11-7 12-8 11-8 11-8 9-9 11-9 2393 3872 Ход 100 МП 11-9 11-9 11-10 10-10 11-10 11-11 11-11 11-11 9-11 11-12 12-12 11-12 11-13 9-13 11-13 11-13 11-14 11-14 10-15 11-15 11-14 11-16 11-15 9-16 12-16 11-16 11-16 11-17 11-16 9-17 11-17 11-16 12-17 11-17 9-16 11-16 11-16 11-16 11-15 10-14 11-14 11-14 11-12 11-12 9-11 11-11 11-9 12-8 11-7 9-7 11-5 11-5 11-3 11-2 10-1 11-1 11 1 11 2 11 3 9 3 11 5 12 5 11 7 11 7 9 9 11 9 11 10 11 10 11 11 10 12 11 12 11 13 11 13 11 13 11 14 9 13 12 14 11 14 11 14 11 14 9 13 11 14 11 13 11 14 12 13 9 12 11 13 11 12 11 12 11 11 10 12 11 11 11 11 11 10 11 10 9 10 11 10 11 9 12 9 1328 4104 Ход 100 МП 11 9 9 9 11 8 11 8 11 7 11 8 10 7 11 7 11 6 11 7 11 6 9 5 11 6 11 5 12 5 11 5 9 5 11 4 11 4 11 4 11 4 11 3 10 3 11 3 11 3 11 2 11 3 9 2 12 1 11 2 11 1 11 2 9 1 11 0 11 1 11 0 12 0 9 0 11 0 11-1 899 3949 Ход 41 МП / c10 {1.000000 0.200000 0.200000 sr} bdef c10 12-462 17-498 17-247 16-825 17-986 17-373 17-173 16-89 17-46 17-20 17-3 17 9 16 15 17 21 17 24 17 26 17 27 16 28 17 28 17 27 17 27 17 26 16 26 17 24 17 23 17 23 16 21 17 20 17 18 17 18 17 16 16 15 17 14 17 13 17 12 17 10 16 10 17 8 17 7 17 6 17 5 16 4 17 3 17 2 17 1 16-1 17-1 17-2 17-3 17-4 16-5 17-6 17-7 17-8 17-8 16-10 17-10 17-12 17-12 17-13 16-14 17-15 17-15 17-17 16-17 17-18 17-19 17-20 17-21 16-21 17-23 17-23 17-24 17-25 16-25 17-27 17-27 17-29 17-29 16-30 17-31 17-31 17-33 16-33 17-34 17-35 17-36 17-36 16-37 17-38 17-38 17-38 17-39 16-39 17-39 17-38 17-38 17-36 16-36 3787 4291 Ход 100 МП 17-34 17-33 17-30 16-28 17-25 17-22 17-19 17-15 16-12 17-9 17-5 17-2 17 2 16 5 17 8 17 11 17 15 16 18 17 20 17 23 17 25 17 27 16 28 17 28 17 29 17 29 17 29 16 29 17 28 17 27 17 27 17 25 16 25 17 23 17 23 17 21 16 20 17 20 17 18 17 17 17 17 16 15 17 15 17 14 17 12 17 12 16 11 17 11 17 9 17 9 17 8 16 7 17 7 17 6 ​​17 5 16 4 17 3 17 3 17 3 17 1 16 1 17 0 17 0 17 -1 17-2 16-2 17-3 17-4 17-4 17-5 16-6 17-6 17-7 17-7 16-8 17-9 17-9 17-10 17-11 16-11 17-12 17-13 17-13 17-14 16-15 17-15 17-16 17-17 17-18 16-18 17-19 17-19 17-20 16-21 17-22 17-22 17-23 17-23 16-24 2125 4201 Ход 100 МП 17-24 17-25 17-25 17-25 16-25 17-25 17-25 17-23 17-23 16-22 17-20 17-19 17-16 16-15 17-12 17-10 17-8 17-5 16-3 17 0 17 1 17 5 17 7 16 9 17 11 17 13 17 16 16 17 17 18 17 20 17 21 17 21 16 22 17 22 17 22 17 21 17 22 16 20 17 20 17 20 17 19 17 18 16 17 17 17 17 16 17 15 16 15 17 13 17 13 17 13 17 11 16 11 17 11 17 10 17 9 17 8 16 8 17 7 17 7 17 6 ​​17 6 ​​16 5 17 4 17 4 17 4 16 2 17 3 17 2 17 1 17 1 16 0 17 -1 17 0899 3948 Ход 74 МП гр 24 Вт c10 0 сг 3547 5104 тонн (т) с 6 нед 1 сг 0 2183 5361 0 0 -2183 899 2572 4 МП ПП -5361 0 0 2183 5361 0 0 -2183899 2572 Ход 5 МП ДЕЛАТЬ 4 нед ТАК 6 нед 0 сг 899 2572 тонн 6260 2572 л 899 2572 тонн 899 389 л 899 2572 тонн 953 2572 л 731 2661 т (0) с 899 2026 тонн 953 2026 л 264 2115 тонн (0.005) с 899 1481 тонн 953 1481 л 397 1570 тонн (0,01) с 899 935 тонн 953 935 л 264 1024 т (0,015) с 899 389 тонн 953 389 л 397 478 тонн (0,02) с GS 899389 5362 2184 MR c np 24 Вт c8 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17-1 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16-1 17 0 17 0 17 0 17 0 16-1 17 0 17 0 17-1 16 0 17 0 17-1 17 0 17 0 16-1 17 0 17 0 17-1 17 0 16-1 17 0 17-1 17 0 17-1 16 0 17-1 17 0 17-1 16 0 17-1 17 0 17-1 17 0 16-1 17 0 17 0 17-1 17 0 16 0 17 0 17 0 17 1 16 0 17 0 17 0 17 1 17 0 16 1 17 0 17 1 17 0 17 1 16 0 17 1 17 0 17 1 17 0 16 1 17 0 17 1 17 0 5012 2559 Ход 100 МП 16 1 17 0 17 0 17 1 17 0 16 1 17 0 17 0 17 1 17 0 16 0 17 0 17 1 17 0 17 0 16 0 17 0 17 1 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 1 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 16-1 17 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17-1 17 0 16 0 17 0 17-1 17 0 17 0 16 0 17-1 17 0 17 0 16-1 17 0 17 0 17-1 17 0 16-1 17 0 17 0 17-1 17 0 16-1 17 0 17-1 17 0 17-1 16-1 17 0 17-1 17 0 16-1 17 0 17 0 17-1 17 0 16 0 17-1 17 0 17 0 17 0 16 0 17 1 17 0 17 0 16 1 17 0 17 0 17 1 17 0 16 1 17 0 17 1 17 1 3350 2562 100 МП ход 17 0 16 1 17 0 17 1 17 0 17 1 16 0 17 0 17 1 17 0 16 1 17 0 17 0 17 1 17 0 16 0 17 1 17 0 17 0 17 0 16 1 17 0 17 0 17 0 17 1 16 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 1 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17-1 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16-1 17 0 17 0 17 0 17 0 16-1 17 0 17 0 17 0 17-1 16 0 17 0 17-1 17 0 16-1 17 0 17 0 17-1 17 0 16-1 17 0 17-1 17 0 17-1 16 0 17-1 17 0 17-1 17 0 16-1 17 0 17-1 17 0 16-1 17 0 17 0 17 0 17-1 16 0 17 0 17 0 17 0 17 1 16 0 17 0 17 1 1688 2566 Ход 100 МП 17 0 16 1 17 0 17 1 17 0 17 1 16 0 17 1 17 0 17 1 17 0 16 1 17 0 17 1 17 0 17 1 16 0 17 0 17 1 17 0 16 0 17 1 17 0 17 0 17 1 16 0 17 0 17 1 17 0 17 0 16 0 17 0 17 1 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 1 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0899 2552 Ход 48 МП c9 9-677 11-297 11-175 12-119 11-87 9-66 11-53 11-44 11-37 11-31 10-26 11-23 11-21 11-18 11-16 9-14 11-13 12-11 11-10 11-9 9-8 11-8 11-6 11-6 11-4 12-5 9-3 11-2 11-2 11-1 11-1 9 1 12 1 11 2 11 3 11 5 9 5 11 7 11 7 11 9 12 11 9 12 11 13 11 14 11 15 11 13 10 11 11 5 11-3 11-16 11-30 9-44 11-55 11-60 12-62 11-58 9-53 11-47 11-41 11-35 11-30 10-26 11-22 11-18 11-17 11-13 9-12 11-10 11-9 12-7 11-7 11-5 9-5 11-4 11-3 11-3 11-2 10-2 11-1 11-2 11-1 11 0 9-1 12 0 11 0 11 0 11 0 9 0 11 1 11 0 11 1 12 0 9 1 11 1 11 1 11 0 11 1 9 1 12 1 5197 2553 Ход 100 МП 11 0 11 1 11 1 9 1 11 1 11 0 11 1 12 1 9 1 11 0 11 1 11 1 11 0 11 1 10 0 11 1 11 1 11 0 11 1 9 0 11 1 12 0 11 0 11 1 9 0 11 1 11 0 11 0 11 1 10 0 11 0 11 1 11 0 11 0 9 1 11 0 12 0 11 0 11 0 9 1 11 0 11 0 11 0 11 0 10 0 11 0 11 0 11 0 11 0 9 0 12 1 11 0 11 0 11 0 9 0 11-1 11 0 11 0 12 0 11 0 9 0 11 0 11 0 11 0 11 0 10 0 11-1 11 0 11 0 11 0 9 0 11 0 11-1 12 0 11 0 9 0 11-1 11 0 11 0 11 0 10-1 11 0 11 0 11-1 11 0 9 0 11-1 12 0 11 0 11-1 9 0 11-1 11 0 11 0 11-1 10 0 11-1 11 0 11-1 4133 2544 Ход 100 МП 11 0 9-1 11 0 12-1 11 0 11-1 11 0 9-1 11 0 11-1 11 0 12-1 9-1 11 0 11-1 11 0 11-1 10-1 11 0 11-1 11-1 11 0 9-1 11-1 11 0 12-1 11-1 9 0 11-1 11-1 11 0 11-1 10-1 11 0 11-1 11 0 11-1 9 0 11-1 11 0 12-1 11 0 9 0 11-1 11 0 11 0 11 0 10 0 11-1 11 0 11 0 11 0 11 0 9 1 12 0 11 0 11 0 11 0 9 0 11 1 11 0 11 0 12 1 9 0 11 1 11 0 11 0 11 1 9 0 12 1 11 0 11 1 11 0 9 1 11 0 11 0 11 1 12 0 9 1 11 0 11 1 11 0 11 0 10 1 11 0 11 1 11 0 11 0 9 1 11 0 11 0 12 1 11 0 9 0 11 0 11 1 11 0 11 0 11 0 3069 2554 Ход 100 МП 10 1 11 0 11 0 11 0 11 1 9 0 11 0 12 0 11 0 11 0 9 1 11 0 11 0 11 0 11 0 10 0 11 0 11 0 11 0 11 0 9 1 12 0 11 0 11 0 11 0 9 0 11 0 11 0 11 0 12 0 9 0 11 0 11 0 11 0 11 0 9 0 12 0 11 0 11 0 11-1 9 0 11 0 11 0 11 0 12 0 11 0 9 0 11 0 11 0 11 0 11-1 10 0 11 0 11 0 11 0 11 0 9-1 11 0 12 0 11 0 11 0 9-1 11 0 11 0 11 0 11 0 10-1 11 0 11 0 11 0 11-1 9 0 11 0 12-1 11 0 11 0 9-1 11 0 11 0 11-1 11 0 10 0 11-1 11 0 11 0 11-1 9 0 12 0 11-1 11 0 11-1 11 0 9-1 11 0 11 0 12-1 11 0 9-1 11 0 2006 2566100 МП ход 11 0 11-1 11 0 10 0 11-1 11 0 11 0 11-1 9 0 11 0 11 0 12-1 11 0 9 0 11 0 11 0 11 0 11 0 10 0 11 0 11 0 11 0 11 0 9 0 11 0 12 0 11 0 11 0 9 1 11 0 11 0 11 0 11 1 10 0 11 0 11 1 11 0 11 0 11 0 9 1 12 0 11 0 11 1 11 0 9 1 11 0 11 0 11 0 12 1 9 0 11 0 11 1 11 0 11 0 10 1 11 0 11 0 11 0 11 1 9 0 11 0 11 0 12 1 11 0 9 0 11 0 11 0 11 1 11 0 10 0 11 0 11 0 11 0 11 1 9 0 11 0 11 0 12 0 11 0 9 0 11 0 11 1 11 0 11 0 11 0 10 0 11 0 11 0 11 0 11 0 9 0 12 0 11 0 11 0 11 0 9 0 11 0 11 0 11 0942 2556 100 МП ход 12 0 9 0 11 0 11 0 899 2556 Ход 5 МП c10 0-1 1 0 0 0 0 0 0 0 0-1 1 0 0 0 0 0 0-1 0 0 1 0 0 0 0 0 0-1 0 0 1 0 0 0 0-1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 17-18 17-21 17-21 16-23 17-24 17-25 17-26 17-27 16-29 17-29 17-31 17-32 17-33 16-34 17-36 17-37 17-39 17-41 16-43 17-45 17-47 17-50 16-54 17-57 17-60 17-65 17-68 16-73 17-77 17-81 17-84 17-88 16-90 17-90 17-90 17-89 17-85 16-82 17-77 17-70 17-65 16-57 17-51 17-45 17-38 17-32 16-26 17-21 17-17 17-12 17-6 16-20 17-24 17-10 17-4 16-2 17-1 17-1 17 0 17 1 16 0 17 0 17 1 17 1 17 0 16 1 17 1 17 0 17 1 17 1 16 0 17 1 17 0 17 1 5012 2539 Ход 100 МП 16 1 17 0 17 0 17 1 17 0 16 1 17 0 17 0 17 1 17 0 16 0 17 0 17 0 17 1 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17-1 17 0 17 0 17 0 16 0 17-1 17 0 17 0 17-1 16 0 17 0 17-1 17 0 16 0 17-1 17 0 17-1 17 0 16-1 17 0 17-1 17-1 17 0 16-1 17 0 17-1 17-1 17-1 16 0 17-1 17-1 17-1 16 0 17-1 17-1 17-1 17-1 16-1 17-1 17-1 17-1 17-1 16 0 17-1 17-1 17-1 17-1 16-1 17-1 17-1 17 0 16-1 17-1 17 0 17-1 17 0 16 0 17-1 17 0 17 0 17 0 16 0 17 1 17 0 17 0 16 1 17 0 17 1 17 0 17 1 16 1 17 0 17 1 17 1 3350 2563 Ход 100 МП 17 1 16 0 17 1 17 1 17 0 17 1 16 0 17 1 17 1 17 0 16 1 17 0 17 1 17 0 17 0 16 1 17 0 17 0 17 1 17 0 16 0 17 1 17 0 17 0 17 0 16 0 17 1 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17-1 17 0 17 0 16 0 17 0 17-1 17 0 17 0 16 0 17-1 17 0 17 0 17-1 16 0 17 0 17-1 17 0 17-1 16 0 17-1 17 0 17-1 16 0 17-1 17 0 17-1 17 0 16-1 17 0 17-1 17-1 17 0 16-1 17 0 17-1 17-1 17 0 16-1 17 0 17-1 17 0 16 0 17-1 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 1 1688 2569 Ход 100 МП 17 0 16 1 17 0 17 0 17 1 17 0 16 1 17 1 17 0 17 1 17 0 16 1 17 0 17 1 17 0 17 1 16 0 17 0 17 1 17 0 16 0 17 1 17 0 17 0 17 1 16 0 17 0 17 0 17 1 17 0 16 0 17 0 17 0 17 1 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0 17 0 17 0 16 0 17 0 17 0899 2556 Ход 48 МП гр 24 Вт c10 0 сг 210 1660 тонн -90 повернуть (ч \ (т \)) с 90 повернуть 6 нед 1 сг 0 1447 2859 0 0-1447 1037 1939 4 МП ПП -2859 0 0 1447 2859 0 0-1447 1037 1939 Ход 5 МП ДЕЛАТЬ 4 нед ТАК 6 нед 0 сг 1037 1939 м 3896 1939 л 1037 492 тонн 3896 492 л 1037 1939 м 1037 492 л 3896 1939 тонн 3896 492 л 1037 1939 м 3896 1939 л 1037 1939 м 1037 492 л 1037 1939 м 3896 1939 л 1037 492 тонн 3896 492 л 1037 1939 м 1037 492 л 3896 1939 тонн 3896 492 л 1841 942 тонн (постоянная LE) s GS 1037 492 2860 1448 MR c np 24 Вт c8 429 0 1144 854 Ход 2 МП гр 24 Вт c8 0 сг 1841 1304 тонн (L) с / Helvetica / ISOLatin1Encoding 192 FMSR 1974 1424 тонн (2) с / Helvetica / ISOLatin1Encoding 240 FMSR 2080 1304 т (оптимальный) с GS 1037 492 2860 1448 MR c np c9 429 0 1144 1216 Ход 2 МП гр c9 0 сг 1841 1665 тонн (L) с / Символ / ISOLatin1Encoding 192 FMSR 1974 1785 тонн (\ 245) с / Helvetica / ISOLatin1Encoding 240 FMSR 2110 1665 тонн (оптимальный) с GS 1037 492 2860 1448 MR c np c10 429 0 1144 1577 Ход 2 МП гр c10 6 нед конец эплот эпаж конец showpage %% EndDocument @endspecial 289 x (P) -6 b (процент) 68 b (of) h (шаги) g (дюйм) g (каждый) g (p) 6 б (эрио) г (д:) п.2 .2 1 TeXcolorrgb 308 5147 a (54) 70 b (/) f (37) g (/) g (9) p Черный 1 .2 .2 TeXcolorrgb 375 w (55) g (/) g (39) h (/) f (6) p Черный Черный Черный eop %% Стр .: 7 7 7 6 боп Черный Черный .2 .2 1 TeXcolorrgb 3 735 a Fj (Кеплер) 91 b (Проблема) f (|) h (2) p Черный 3 1216 a Fl (Compa) -6 b (рисон) 79 b (of) g (the) g (global) h (erro) -6 b (r) 79 b (совершено) c (b) -6 b (y) 3 1449 y (va) g (rious) 69 b (шаг) g (размер) g (стратегии.) 3 4944 г @beginspecial 28 @llx 182 @lly 555 @urx 616 @ury 4672 @rwi @setspecial %% BeginDocument: dundee_f4.eps Словарь% MathWorks / MathWorks 150 dict begin Операторы% определения / bdef {определение привязки} определение привязки / ldef {load def} bind def / xdef {exch def} bdef / xstore {exch store} bdef Сокращения операторов% / c / clip ldef / cc / concat ldef / cp / closepath ldef / gr / grestore ldef / gs / gsave ldef / mt / moveto ldef / np / новый путь ldef / см / currentmatrix ldef / sm / setmatrix ldef / rc {rectclip} bdef / rf {rectfill} bdef / rm / rmoveto ldef / rl / rlineto ldef / s / показать ldef / sc {setcmykcolor} bdef / SR / setrgbcolor ldef / sg / setgray ldef / w / setlinewidth ldef / j / setlinejoin ldef / cap / setlinecap ldef % контроль состояния страницы / pgsv () def / bpage {/ pgsv save def} bdef / epage {pgsv restore} bdef / bplot / gsave ldef / eplot {stroke grestore} bdef % переключатель ориентации / portraitMode 0 def / landscapeMode 1 def % сопоставлений систем координат / dpi2point 0 по умолчанию % управление шрифтом / FontSize 0 def / FMS { / FontSize xstore% сохранить размер вне стека findfont [FontSize 0 0 FontSize neg 0 0] makefont setfont } bdef / reencode { exch dup где {pop load} {pop StandardEncoding} ifelse обменять дубликат 3 1 рулон findfont dup length dict begin {1 index / FID ne {def} {pop pop} ifelse} для всех / Кодирование exch def текущий конец definefont pop } bdef / isroman { findfont / CharStrings получить / Agrave известен } bdef / FMSR { 3 1 рулон 1 индекс Дуп Исроман {reencode} {pop pop} ifelse биржа ФМС } bdef / csm { 1 dpi2point div -1 dpi2point div шкала нег переводить landscapeMode eq {90 rotate}, если } bdef % типов линий: сплошная, пунктирная, пунктирная, пунктирная / SO {[] 0 setdash} bdef /ДЕЛАТЬ { [.5 dpi2point mul 4 dpi2point mul] 0 setdash} bdef / DA {[6 dpi2point mul] 0 setdash} bdef / DD {[.5 dpi2point mul 4 dpi2point mul 6 dpi2point mul 4 dpi2point mul] 0 setdash} bdef % макросов для линий и объектов / L { Lineto Инсульт } bdef / MP { 3 1 рулон moveto 1 суб {rlineto} повтор } bdef / AP { {rlineto} повторять } bdef / PP { закрыть путь eofill } bdef / DP { ход на близком расстоянии } bdef /МИСТЕР { 4 -2 ролика moveto dup 0 exch rlineto обменять 0 рлинето neg 0 exch rlineto близкий путь } bdef / FR { MR инсульт } bdef / PR { MR заполнение } bdef / L1i { {currentfile picstr readhexstring pop} изображение } bdef / t Матрица матрица def / MakeOval { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 0 360 дуги tMatrix setmatrix } bdef / FO { MakeOval Инсульт } bdef / PO { MakeOval наполнять } bdef / PD { currentlinecap 1 setlinecap 3 1 рулон 2 копировать переместить в линию } bdef / FA { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 5-2 дуги рулона tMatrix setmatrix Инсульт } bdef / PA { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести 0 0 переместить в масштаб 0 0 1 5-2 дуги рулона близкий путь tMatrix setmatrix наполнять } bdef /Поклонник { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести масштаб 0 0 1 5 -2 рулона дуги tMatrix setmatrix Инсульт } bdef /Сковорода { новый путь tMatrix currentmatrix pop перевести 0 0 переместить в масштаб 0 0 1 5 -2 рулона дуги близкий путь tMatrix setmatrix наполнять } bdef currentdict конец def MathWorks начинается 0 крышка конец MathWorks начинается bpage участок / dpi2point 12 def PortraitMode 0216 7344 csm 120-48 6329 5208 MR c np 91 dict begin% Раскрашиваемый словарь / c0 {0 0 0 sr} bdef / c1 {1 1 1 sr} bdef / c2 {1 0 0 sr} bdef / c3 {0 1 0 sr} bdef / c4 {0 0 1 sr} bdef / c5 {1 1 0 sr} bdef / c6 {1 0 1 sr} bdef / c7 {0 1 1 sr} bdef 1 Дж 1 сг 0 0 6919 5188 PR 6 нед 0 4227 5361 0 0-4227899 4616 4 МП ПП -5361 0 0 4227 5361 0 0-4227899 4616 Ход 5 МП ДЕЛАТЬ 4 нед ТАК 6 нед 0 сг 899 4616 тонн 6260 4616 л 899 4616 тонн 899 389 л 899 4616 тонн 899 4562 л / Helvetica / ISOLatin1Encoding 240 FMSR 799 4874 тонн (0) с 2686 4616 тонн 2686 4562 л 2580 4874 тонн (Т) с 4473 4616 тонн 4473 4562 л 4333 4874 тонн (2Т) с 6260 4616 тонн 6260 4562 л 6120 4874 тонн (3Т) с 899 4616 тонн 953 4616 л 731 4705 тонн (0) с 899 3771 тонн 953 3771 л 397 3860 тонн (0.02) с 899 2925 тонн 953 2925 л 397 3014 т (0,04) с 899 2080 тонн 953 2080 л 397 2169 т (0,06) с 899 1234 тонн 953 1234 л 397 1323 т (0,08) с 899 389 тонн 953 389 л 531 478 тонн (0,1) с GS 899389 5362 4228 MR c np 12 Вт 2-31 19-286 26-329 25-282 26-244 26-214 35-251 35-216 34-189 35-167 62-252 61-211 62-180 61-153 62-132 62-112 61-96 62-78 62-64 63-46 63-28 62-8 42 6 42 17 42 30 42 43 29 39 29 48 28 58 29 70 25 73 24 87 25103 24124 17100 18114 17128 17143 16146 16154 16 157 15 148 15118 15 85 15 41 14-8 18-78 18-134 17-177 18-199 19-207 18-195 19-177 19-156 19-136 19-119 19-104 18-92 25-103 24-89 25-78 24-68 36-87 36-74 36-65 36-57 56-77 56-66 56-58 56-52 66-53 66-48 67-43 66-39 53-29 54-26 53-25 53-23 47-19 46-17 46-17 46-15 36-11 35-11 36-9 35-9 28-7 29-6 28-6 28-5 20-4 20-3 19-3 20-4 13-2 12-3 13-3 12-3 11-3 1835 4539 Ход 100 МП 11-4 11-4 11-5 13-5 13-6 13-5 13-5 15-6 15-5 15-4 15-4 16-4 17-2 17-3 16-2 18-2 19-1 18-1 18-1 18-1 18-1 18-1 19 0 47-1 47-1 47-1 47 0 46-1 47 0 47 0 46 0 37 0 37-1 36 0 37 0 12 0 11 0 12 0 11 0 3 0 2 0 2 0 3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0899 4616 56 МПа ход 27-70 27-63 27-54 27-45 60-70 59-29 60 16 59 64 40 73 40 99 40130 40 166 29 143 28 169 29 199 28 236 25 238 22 253 5604-100 Ход 19 МП 24 Вт / c8 {0.400000 1.000000 0.400000 sr} bdef c8 14-226 18-325 16-290 17-276 16-253 16-230 12-143 11-132 11-122 11-113 11-104 12-96 11-89 11-82 40-250 40-199 39-162 40-134 40-115 40-98 39-86 40-76 76-122 76-99 76-80 76-63 72-48 72-35 72-23 71-11 49 0 49 5 49 13 48 21 34 19 33 23 33 30 33 36 25 33 25 38 25 46 25 54 20 50 19 57 20 65 19 75 16 68 16 75 16 80 16 83 13 67 13 62 14 50 13 36 14 15 15-11 14-39 15-61 14-78 15-87 14-90 14-90 19-109 19-98 19-88 19-76 19-66 18-57 19-51 19-45 28-56 28-49 27-41 28-36 37-42 37-36 37-31 37-28 56-37 57-31 57-27 56-24 67-25 66-21 66-19 66-17 63-15 62-12 63-12 62-10 40-6 39-5 39-5 40-4 33-3 34-3 34-3 34-2 26-1 2024 4528 Ход 100 МП 26-1 26 0 26 0 17 0 18 0 18 0 18 0 12 0 11-1 11-2 12-2 12-2 11-3 12-4 12-5 12-5 12-5 12-5 12-5 14-5 15-5 14-4 15-4 17-4 18-4 17-2 18-3 17-2 18-1 17-2 18-1 23-2 24-1 23-1 24-1 38-1 39-1 38 0 39-1 46-1 47 0 47 0 47-1 36 0 36 0 36-1 36 0 12 0 11 0 12 0 11 0 3 0 2 0 2 0 3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0899 4616 68 МПа ход 24-25 23-21 24-18 24-16 59-22 58-2 59 20 59 44 40 45 40 58 40 74 40 92 28 79 29 91 28 107 29 126 24 127 24 148 25 176 24 207 17 167 17 189 17 212 17 235 16 243 17 256 16 259 13 200 5429-100 Ход 29 МП / c9 {0.200000 0.200000 1.000000 sr} bdef c9 17-43 16-38 17-37 17-34 61-103 60-74 61-46 61-19 43 4 44 17 43 33 44 51 28 44 29 55 29 66 28 79 26 82 26 97 25 115 26 136 17 109 18 124 17 139 18 155 16 161 16 170 17 173 16 163 15 123 15 87 14 41 15-11 17-85 18-148 17-195 17-220 21-260 21-243 21-218 21-188 22-161 21-139 21-119 21-103 37-154 38-124 38-103 38-85 37-73 38-64 38-55 38-49 71-79 71-63 71-52 71-42 74-35 74-26 74-18 74-9 51-3 50 2 51 7 50 10 34 11 34 13 34 17 34 20 26 19 25 22 26 26 25 31 20 28 20 32 19 38 20 43 16 39 16 44 17 46 16 47 13 39 14 34 13 29 13 19 15 7 14-8 14-24 15-37 14-46 14-52 15-53 14-54 20-69 20-63 20-54 20-47 20-40 20-35 20-31 3353 4211100 МП ход 21-26 38-43 39-34 38-29 39-23 39-21 38-17 39-16 39-14 60-18 60-16 60-14 59-12 71-12 71-10 71-9 70-8 55-6 55-4 55-4 55-4 38-2 37-2 38-1 38-2 29-1 29 0 29 0 28 0 24 0 24 0 24 1 23 1 16 1 15 0 15 1 16 0 12-1 12-1 11-1 12-2 13-2 13-3 13-4 14-3 15-5 16-4 15-4 16-4 18-4 19-3 18-3 18-2 21-2 21-1 21-2 20-1 21-1 21-1 20-1 21 0 48-1 49-1 48-1 48-1 47 0 47-1 47 0 47 0 29 0 30 0 30-1 30 0 12 0 11 0 12 0 11 0 3 0 2 0 2 0 3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 899 4616 94 МПа ход / c10 {1.000000 0.200000 0.200000 sr} bdef c10 14-102 15-95 14-91 15-88 41-232 40-208 41-185 41-163 53-179 53-141 53-103 54-63 35-19 36 1 36 22 36 45 24 43 24 54 24 69 24 83 21 87 21 103 20120 21 141 16 125 17 138 16 150 16 158 14 135 14 127 14 110 14 82 14 43 15-8 14-60 15-108 14-145 15-166 14-177 15-179 18-218 19-199 19-177 19-154 18-135 19-118 19-103 19-90 26-110 26-95 27-81 26-71 37-85 37-73 37-63 37-56 62-79 63-66 63-54 63-46 77-45 76-35 77-27 77-18 57-8 56-3 57 2 56 7 37 7 36 11 37 13 36 17 26 14 26 18 26 20 26 24 22 25 23 30 23 34 23 41 16 34 17 38 16 42 17 46 15 44 16 44 15 41 16 34 14 21 14 8 14-8 14-22 17-42 17-55 17-61 17-63 17-59 16-55 17-49 3448 4028 Ход 100 МП 17-44 21-47 21-41 21-35 21-30 38-45 38-36 38-29 38-25 38-21 38-18 38-16 37-14 59-19 59-16 59-14 58-12 70-13 70-11 70-9 70-8 57-6 58-5 58-4 58-4 37-2 38-2 38-2 38-1 29-1 30-1 30 0 29 0 25 0 24 0 25 1 25 1 16 0 17 1 16 0 17 1 12-1 12 0 11-1 12-2 13-2 13-2 12-4 13-3 15-5 16-4 16-4 15-4 17-4 17-3 16-3 17-2 19-2 18-2 19-1 18-2 19-1 18-1 19 0 19-1 48-2 48-1 48-1 48 0 48-1 47 0 48-1 48 0 37 0 37 0 37-1 37 0 12 0 11 0 12 0 11 0 3 0 2 0 2 0 3 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0899 4616 98 МП ход гр 24 Вт c10 0 сг 3547 5104 тонн (т) с 343 2744 тонн -90 повернуть (| g \ (t \) |) s 90 повернуть 6 нед 1 сг 0 1833 2859 0 0-1833 1037 2325 4 МП ПП -2859 0 0 1833 2859 0 0-1833 1037 2325 Ход 5 МП ДЕЛАТЬ 4 нед ТАК 6 нед 0 сг 1037 2325 м 3896 2325 л 1037 492 тонн 3896 492 л 1037 2325 тонн 1037 492 л 3896 2325 тонн 3896 492 л 1037 2325 м 3896 2325 л 1037 2325 тонн 1037 492 л 1037 2325 м 3896 2325 л 1037 492 тонн 3896 492 л 1037 2325 тонн 1037 492 л 3896 2325 тонн 3896 492 л 1841 947 тонн (постоянный ч) с GS 1037 492 2860 1834 MR c np 12 Вт 429 0 1144 859 Ход 2 МП гр 12 Вт 1841 1313 тонн (постоянная LE) s GS 1037 492 2860 1834 MR c np 24 Вт c8 429 0 1144 1225 Ход 2 МП гр 24 Вт c8 0 сг 1841 1680 тонн (L) с / Helvetica / ISOLatin1Encoding 192 FMSR 1974 1800 тонн (2) с / Helvetica / ISOLatin1Encoding 240 FMSR 2080 1680 тонн (оптимальный) с GS 1037 492 2860 1834 MR c np c9 429 0 1144 1592 Ход 2 МП гр c9 0 сг 1841 2046 тонн (L) с / Символ / ISOLatin1Encoding 192 FMSR 1974 2166 тонн (\ 245) с / Helvetica / ISOLatin1Encoding 240 FMSR 2110 2046 тонн (оптимальный) с GS 1037 492 2860 1834 MR c np c10 429 0 1144 1958 Ход 2 МП гр c10 6 нед конец эплот эпаж конец showpage %% EndDocument @endspecial черный черный eop %% Стр .: 8 8 8 7 боп Черный Черный.2 .2 1 TeXcolorrgb 3 765 a Fj (Заключение) стр. Черный Черный 1 .2 .2 TeXcolorrgb 30 1246 a Fi (?) P Черный Черный 83 w Fl (W) -6 b (e) 64 b (can) g (\ 014nd) h (the) g (\\ оптимальный «) e (шаг) i (размер) f (номер-) 201 1479 y () -17 b (.) p Черный 1 .2 .2 TeXcolorrgb 30 1836 a Fi (?) P Черный Черный 83 w Fl (The) p .4 1 .4 TeXcolorrgb 49 w Fi (L) 712 1870 y Fk (2) p Черный 852 1836 a Fl (оптимальное) 48 b (решение) i (is) g (проще) f (to) g (вычислить) 201 2068 y (чем) 68 b (the) p .4 1,4 TeXcolorrgb 69 w Fi (L) 1106 2089 y Fh (1) p Черный 1325 2068 a Fl (оптим.) p Черный 1 .2 .2 TeXcolorrgb 30 2425 a Fi (?) P Черный Черный 83 w Fl (Возможно) -17 b (,) 70 b (the) g (числовой) e (метод) 6 b (d) 69 b (can) h (b) 6 б (д) 70 б (им-) 201 2658 у (п) -6 б (ровный) 69 б (сильно) -17 b (.) p Черный 1 .2 .2 TeXcolorrgb 30 3015 a Fi (?) p Черный Черный 83 w Fl (Оно) 100 b (мощь) h (не) h (b) 6 b (e) 101 b (w) -6 b (o) g (rth пока) 102 b (in) f (p) -6 b (ractice) 101 b (to) 201 3247 y (\ 014nd) h (the) f (оптимальный) f (шаг) i (размер) f (fo) -6 b (r) 102 b (a) g (pa) -6 b (rticula) g (r) 201 3480 y (p) g (проблема.) p Черный 1 .2 .2 TeXcolorrgb 30 3837 a Fi (?) P Черный Черный 83 w Fl (Существование) 100 b (of) i (оптимальный) e (шаг) i (размер) f (is) h (an) f (op) 6 б (ан) 201 4069 у (п) -6 б (робл.) p Черный 1 .2 .2 TeXcolorrgb 30 4426 a Fi (?) P Черный Черный 83 w Fl (Много) 83 b (w) -6 b (o) g (rk) 82 b (потребности) i (to) f (b) 6 b (e) 82 b (выполнено) i (in) f (state-con-) 201 4659 y (напряженная) 61 b ​​(оптимальная) g (контрольная) h (theo) -6 b (ry) -17 b (,) 64 b (b) 6 b (oth) 62 b (on) h (the) 201 4891 y (аналитический) k (и) i (the) f (числовой) f (сбоку) p Черный Черный eop %% трейлер конец userdict / end-hook известно {end-hook}, если %% EOF

Как реализовать оптимизацию градиентного спуска с нуля

Последнее обновление 12 октября 2021 г.

Градиентный спуск — это алгоритм оптимизации, который следует отрицательному градиенту целевой функции, чтобы найти минимум функции.

Это простой и эффективный метод, который можно реализовать с помощью всего нескольких строк кода. Он также обеспечивает основу для многих расширений и модификаций, которые могут привести к повышению производительности. Алгоритм также обеспечивает основу для широко используемого расширения, называемого стохастическим градиентным спуском, которое используется для обучения нейронных сетей с глубоким обучением.

В этом руководстве вы узнаете, как реализовать оптимизацию градиентного спуска с нуля.

После прохождения этого руководства вы будете знать:

  • Градиентный спуск — это общая процедура оптимизации дифференцируемой целевой функции.
  • Как реализовать алгоритм градиентного спуска с нуля на Python.
  • Как применить алгоритм градиентного спуска к целевой функции.

Начните свой проект с моей новой книги «Оптимизация для машинного обучения», включающей пошаговых руководств и файлов исходного кода Python для всех примеров.

Приступим.

Как реализовать оптимизацию градиентного спуска с нуля
Фотография Бернд Таллер, некоторые права защищены.

Обзор учебного пособия

Это руководство разделено на три части; их:

  1. Градиентный спуск
  2. Алгоритм градиентного спуска
  3. Пример обработки градиентным спуском

Оптимизация градиентного спуска

Градиентный спуск — это алгоритм оптимизации.

Технически он называется алгоритмом оптимизации первого порядка, поскольку он явно использует производную первого порядка целевой целевой функции.

Методы первого порядка полагаются на информацию о градиенте, чтобы помочь направить поиск минимума…

— стр. 69, Алгоритмы оптимизации, 2019.

Производная первого порядка или просто «производная» — это скорость изменения или крутизна целевой функции в определенной точке, например для конкретного входа.

Если целевая функция принимает несколько входных переменных, она называется многомерной функцией, а входные переменные можно рассматривать как вектор.В свою очередь, производная многомерной целевой функции также может быть взята как вектор и обычно упоминается как «градиент».

  • Градиент : производная первого порядка для многомерной целевой функции.

Производная или градиент указывает направление наискорейшего подъема целевой функции для входа.

Точка уклона в направлении наискорейшего подъема касательной гиперплоскости…

— стр.21, Алгоритмы оптимизации, 2019.

В частности, знак градиента сообщает вам, увеличивается или уменьшается целевая функция в этой точке.

  • Положительный градиент : В этой точке функция увеличивается.
  • Отрицательный градиент : В этой точке функция уменьшается.

Градиентный спуск относится к алгоритму оптимизации минимизации, который следует за отрицательным градиентом спуска целевой функции для определения минимума функции.

Точно так же мы можем ссылаться на градиентное восхождение для максимальной версии алгоритма оптимизации, которая следует за градиентом вверх до максимума целевой функции.

  • Gradient Descent : Оптимизация минимизации, которая следует за отрицательным градиентом до минимума целевой функции.
  • Gradient Ascent : Оптимизация максимизации, которая следует градиенту до максимума целевой функции.

Центральным элементом алгоритмов градиентного спуска является идея отслеживания градиента целевой функции.

По определению, алгоритм оптимизации подходит только для целевых функций, для которых доступна производная функция и ее можно вычислить для всех входных значений. Это относится не ко всем целевым функциям, а только к так называемым дифференцируемым функциям.

Основным преимуществом алгоритма градиентного спуска является то, что его легко реализовать и он эффективен для широкого круга задач оптимизации.

Градиентные методы просты в реализации и часто хорошо работают.

— стр. 115, Введение в оптимизацию, 2001.

Градиентный спуск относится к семейству алгоритмов, которые используют производную первого порядка для перехода к оптимуму (минимуму или максимуму) целевой функции.

Существует множество расширений основного подхода, которые обычно называются в честь функции, добавляемой в алгоритм, например, градиентный спуск с импульсом, градиентный спуск с адаптивными градиентами и т. Д.

Градиентный спуск также является основой для алгоритма оптимизации, используемого для обучения нейронных сетей с глубоким обучением, называемого стохастическим градиентным спуском или SGD.В этом варианте целевая функция является функцией ошибок, а градиент функции аппроксимируется из ошибки предсказания на выборках из области проблемы.

Теперь, когда мы знакомы с высокоуровневой идеей оптимизации градиентного спуска, давайте посмотрим, как мы могли бы реализовать алгоритм.

Хотите начать работу с алгоритмами оптимизации?

Пройдите мой бесплатный 7-дневный ускоренный курс по электронной почте (с образцом кода).

Нажмите, чтобы зарегистрироваться, а также получите бесплатную электронную версию курса в формате PDF.

Начните БЕСПЛАТНЫЙ мини-курс прямо сейчас!

Алгоритм градиентного спуска

В этом разделе мы более подробно рассмотрим алгоритм градиентного спуска.

Алгоритм градиентного спуска требует оптимизируемой целевой функции и производной функции для целевой функции.

Целевая функция f () возвращает оценку для данного набора входных данных, а производная функция f ‘() дает производную целевой функции для данного набора входных данных.

  • Целевая функция : вычисляет оценку для заданного набора входных параметров.
    Производная функция : вычисляет производную (градиент) целевой функции для заданного набора входных данных.

Алгоритм градиентного спуска требует начальной точки ( x ) в задаче, такой как случайно выбранная точка во входном пространстве.

Затем вычисляется производная и делается шаг во входном пространстве, который, как ожидается, приведет к нисходящему движению в целевой функции, предполагая, что мы минимизируем целевую функцию.

Движение под гору сначала вычисляется, как далеко нужно переместиться во входном пространстве, рассчитывается как размер шага (называемый альфа или скорость обучения), умноженный на градиент. Затем это вычитается из текущей точки, обеспечивая движение против градиента или вниз по целевой функции.

  • x_new = x — альфа * f ‘(x)

Чем круче целевая функция в данной точке, тем больше величина градиента и, в свою очередь, тем больше шаг, сделанный в пространстве поиска.

Размер шага масштабируется с использованием гиперпараметра размера шага.

  • Размер шага ( альфа ) : гиперпараметр, который определяет, как далеко перемещаться в пространстве поиска против градиента на каждой итерации алгоритма.

Если размер шага слишком мал, перемещение в пространстве поиска будет небольшим и поиск займет много времени. Если размер шага слишком велик, поиск может перемещаться по области поиска и пропускать оптимумы.

У нас есть выбор: либо делать очень маленькие шаги и повторно оценивать градиент на каждом шаге, либо мы можем каждый раз делать большие шаги. Первый подход приводит к трудоемкому способу достижения минимизатора, тогда как второй подход может привести к более зигзагообразному пути к минимизатору.

— стр. 114, Введение в оптимизацию, 2001.

Поиск подходящего размера шага может потребовать некоторых проб и ошибок для конкретной целевой функции.

Трудность выбора размера шага может затруднить нахождение точных оптимумов целевой функции.Многие расширения включают в себя адаптацию скорости обучения с течением времени для выполнения меньших шагов или шагов разного размера в разных измерениях и т. Д., Чтобы позволить алгоритму отточить оптимальные функции.

Процесс вычисления производной точки и вычисления новой точки во входном пространстве повторяется до тех пор, пока не будет выполнено какое-либо условие остановки. Это может быть фиксированное количество шагов или оценок целевой функции, отсутствие улучшений в оценке целевой функции за некоторое количество итераций или идентификация плоской (стационарной) области пространства поиска, обозначенной нулевым градиентом.

  • Условие остановки : Решение, когда закончить процедуру поиска.

Давайте посмотрим, как мы можем реализовать алгоритм градиентного спуска в Python.

Во-первых, мы можем определить начальную точку как случайно выбранную точку во входном пространстве, определяемом границами.

Границы могут быть определены вместе с целевой функцией как массив с минимальным и максимальным значением для каждого измерения. Функция NumPy rand () может использоваться для генерации вектора случайных чисел в диапазоне 0–1.

… # генерируем начальную точку решение = bounds [:, 0] + rand (len (bounds)) * (bounds [:, 1] — bounds [:, 0])

# сгенерировать начальную точку

solution = bounds [:, 0] + rand (len (bounds)) * (bounds [:, 1] — bounds [:, 0])

Затем мы можем вычислить производную точки, используя функцию с именем производная () .

… # вычислить градиент градиент = производная (решение)

# вычислить градиент

gradient = производная (решение)

И сделайте шаг в пространстве поиска к новой точке вниз по склону текущей точки.

Новое положение вычисляется с использованием вычисленного градиента и гиперпараметра step_size .

… # сделай шаг решение = решение — размер_шага * градиент

# сделать шаг

solution = solution — step_size * gradient

Затем мы можем оценить этот момент и сообщить о производительности.

… # оценить кандидатский балл solution_eval = цель (решение)

# оценить точку-кандидат

solution_eval = objective (решение)

Этот процесс может повторяться для фиксированного количества итераций, контролируемых гиперпараметром n_iter .

… # запускаем градиентный спуск для i в диапазоне (n_iter): # вычислить градиент градиент = производная (решение) # сделай шаг решение = решение — размер_шага * градиент # оценить кандидатский балл solution_eval = цель (решение) # отчет о прогрессе print (‘>% d f (% s) =%.5f ‘% (i, решение, solution_eval))

# запустить градиентный спуск

для i в диапазоне (n_iter):

# вычислить градиент

gradient = производная (решение)

# сделать шаг

solution = solution — step_size * gradient

# оценить точку-кандидат

solution_eval = objective (solution)

# report progress

print (‘>% df (% s) =%.5f ‘% (i, решение, solution_eval))

Мы можем связать все это вместе в функцию с именем gradient_descent () .

Функция принимает имя целевой и градиентной функций, а также границы входных данных целевой функции, количество итераций и размер шага, затем возвращает решение и его оценку в конце поиска.

Полный алгоритм оптимизации градиентного спуска, реализованный как функция, приведен ниже.

# алгоритм градиентного спуска def gradient_descent (цель, производная, границы, n_iter, step_size): # генерируем начальную точку решение = bounds [:, 0] + rand (len (bounds)) * (bounds [:, 1] — границы [:, 0]) # запускаем градиентный спуск для i в диапазоне (n_iter): # вычислить градиент градиент = производная (решение) # сделай шаг решение = решение — размер_шага * градиент # оценить кандидатский балл solution_eval = цель (решение) # отчет о прогрессе print (‘>% d f (% s) =%.5f ‘% (i, решение, solution_eval)) return [решение, solution_eval]

# алгоритм градиентного спуска

def gradient_descent (objective, производная, bounds, n_iter, step_size):

# сгенерировать начальную точку

solution = bounds [:, 0] + rand (len (bounds)) * (bounds [:, 1] — bounds [:, 0])

# запустить градиентный спуск

для i в диапазоне (n_iter):

# вычислить градиент

gradient = производная (решение)

# сделать шаг

solution = solution — step_size * gradient

# оценка точки-кандидата

solution_eval = objective (solution)

# report progress

print (‘>% df (% s) =%.5f ‘% (i, solution, solution_eval))

return [solution, solution_eval]

Теперь, когда мы знакомы с алгоритмом градиентного спуска, давайте посмотрим на рабочий пример.

Обработанный пример градиентного спуска

В этом разделе мы рассмотрим пример применения градиентного спуска к простой функции оптимизации теста.

Во-первых, давайте определим функцию оптимизации.

Мы будем использовать простую одномерную функцию, которая возводит входные данные в квадрат и определяет диапазон допустимых входных значений от -1.От 0 до 1.0.

Функция objective () ниже реализует эту функцию.

# целевая функция def objective (x): возврат x ** 2,0

# целевая функция

def objective (x):

return x ** 2.0

Затем мы можем выполнить выборку всех входных данных в диапазоне и вычислить значение целевой функции для каждого.

… # определить диапазон для ввода r_min, r_max = -1,0, 1,0 # образец входного диапазона равномерно с шагом 0,1 входы = arange (r_min, r_max + 0,1, 0,1) # вычислительные цели результаты = цель (исходные данные)

# определить диапазон для входа

r_min, r_max = -1.0, 1.0

# выборка входного диапазона равномерно с шагом 0,1

inputs = arange (r_min, r_max + 0,1, 0,1)

# вычислить цели

результаты = цель (исходные данные)

Наконец, мы можем построить линейный график входных данных (ось x) в сравнении со значениями целевой функции (ось y), чтобы получить интуитивное представление о форме целевой функции, которую мы будем искать.

… # создать линейный график ввода и результата pyplot.plot (входные данные, результаты) # показать сюжет pyplot.show ()

# создать линейный график ввода и результата

pyplot.plot (вводы, результаты)

# показать график

pyplot.show ()

Пример ниже связывает это воедино и дает пример построения одномерной тестовой функции.

# график простой функции из numpy import arange из matplotlib import pyplot # целевая функция def objective (x): возврат x ** 2,0 # определить диапазон для ввода r_min, r_max = -1,0, 1,0 # образец входного диапазона равномерно с шагом 0,1 входы = arange (r_min, r_max + 0,1, 0,1) # вычислительные цели результаты = цель (исходные данные) # создать линейный график ввода и результата pyplot.plot (входные данные, результаты) # показать сюжет пиплот.показать ()

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

140002

14

18

# график простой функции

из numpy import arange

из matplotlib import pyplot

# target function

def objective (x):

return x ** 2.0

# определить диапазон для входа

r_min, r_max = -1.0, 1.0

# выборка входного диапазона равномерно с шагом 0,1

inputs = arange (r_min, r_max + 0,1, 0,1)

# вычислить цели

результатов = цель (входные данные)

# создать линейный график входных данных и результатов

pyplot.plot (входные данные, результаты)

# показать график

pyplot.show ()

При выполнении примера создается линейный график входных данных функции (ось x) и вычисленных выходных данных функции (ось y).2 — это x * 2, а функция производная () реализует это ниже.

# производная целевой функции def производная (x): возврат x * 2,0

# производная целевой функции

def производная (x):

return x * 2.0

Затем мы можем определить границы целевой функции, размер шага и количество итераций для алгоритма.

Мы будем использовать размер шага 0,1 и 30 итераций, оба найденные после небольшого экспериментирования.

… # определить диапазон для ввода границы = asarray ([[- 1.0, 1.0]]) # определить общее количество итераций n_iter = 30 # определяем максимальный размер шага step_size = 0,1 # выполнить поиск градиентного спуска лучший, оценка = gradient_descent (цель, производная, границы, n_iter, step_size)

# определить диапазон для ввода

bounds = asarray ([[- 1.0, 1.0]])

# определить общее количество итераций

n_iter = 30

# определить максимальный размер шага

step_size = 0,1

# выполнить поиск градиентного спуска

best, score = gradient_descent (objective, производная, bounds, n_iter, step_size)

Собирая все вместе, ниже приведен полный пример применения оптимизации градиентного спуска к нашей одномерной тестовой функции.

# пример градиентного спуска для одномерной функции из numpy import asarray из numpy.random import rand # целевая функция def objective (x): возврат x ** 2,0 # производная целевой функции def производная (x): return x * 2.0 # алгоритм градиентного спуска def gradient_descent (цель, производная, границы, n_iter, step_size): # генерируем начальную точку решение = bounds [:, 0] + rand (len (bounds)) * (bounds [:, 1] — границы [:, 0]) # запускаем градиентный спуск для i в диапазоне (n_iter): # вычислить градиент градиент = производная (решение) # сделай шаг решение = решение — размер_шага * градиент # оценить кандидатский балл solution_eval = цель (решение) # отчет о прогрессе print (‘>% d f (% s) =%.5f ‘% (i, решение, solution_eval)) return [решение, solution_eval] # определить диапазон для ввода границы = asarray ([[- 1.0, 1.0]]) # определить общее количество итераций n_iter = 30 # определяем размер шага step_size = 0,1 # выполнить поиск градиентного спуска лучший, оценка = gradient_descent (цель, производная, границы, n_iter, step_size) print (‘Готово!’) print (‘f (% s) =% f’% (лучший, результат))

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

140002

14

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

000

34

35

36

37

38

# пример градиентного спуска для одномерной функции

из numpy import asarray

из numpy.случайный импорт rand

# целевая функция

def objective (x):

return x ** 2.0

# производная целевой функции

def производная (x):

return x * 2.0

# алгоритм градиентного спуска

def gradient_descent (objective, производная, bounds, n_iter, step_size):

# сгенерировать начальную точку

solution = bounds [:, 0] + rand (len (bounds)) * (bounds [:, 1] — bounds [:, 0])

# запустить градиентный спуск

для i в диапазоне (n_iter):

# вычислить градиент

gradient = производная (решение)

# сделать шаг

solution = solution — step_size * gradient

# оценка точки-кандидата

solution_eval = objective (solution)

# report progress

print (‘>% df (% s) =%.5f ‘% (i, solution, solution_eval))

return [solution, solution_eval]

# определить диапазон для ввода

bounds = asarray ([[- 1.0, 1.0]])

# определить общее количество итераций

n_iter = 30

# определить размер шага

step_size = 0,1

# выполнить поиск градиентного спуска

best, score = gradient_descent (objective, производная, границы, n_iter, step_size)

print (‘Готово! ‘)

print (‘ f (% s) =% f ‘% (лучший, результат))

Выполнение примера начинается со случайной точки в пространстве поиска, затем применяется алгоритм градиентного спуска, по ходу сообщая о производительности.

Примечание : Ваши результаты могут отличаться из-за стохастической природы алгоритма или процедуры оценки или различий в числовой точности. Вы можете повторить пример несколько раз и сравнить средний результат.

В этом случае мы видим, что алгоритм находит хорошее решение примерно после 20-30 итераций с оценкой функции около 0,0. Обратите внимание, что оптимум для этой функции находится при f (0,0) = 0,0.

> 0 f ([- 0,36308639]) = 0.13183 > 1 f ([- 0,2

11]) = 0,08437

> 2 f ([- 0,23237529]) = 0,05400

> 3 f ([- 0,185

]) = 0,03456

> 4 f ( [-0,14872018]) = 0,02212

> 5 f ([- 0,11897615]) = 0,01416

> 6 f ([- 0,09518092]) = 0,00906

> 7 f ([- 0,07614473]) = 0,00580

> 8 f ([- 0,060

]) = 0,00371

> 9 f ([- 0,04873263]) = 0,00237

> 10 f ([- 0,0389861]) = 0,00152

> 11 f ([- 0.03118888]) = 0,00097

> 12 f ([- 0,02495111]) = 0,00062

> 13 f ([- 0,01996089]) = 0,00040

> 14 f ([- 0,01596871]) = 0,00025

> 15 f ( [-0.01277497]) = 0,00016

> 16 f ([- 0,01021997]) = 0,00010

> 17 f ([- 0,00817598]) = 0,00007

> 18 f ([- 0,00654078]) = 0,00004

> 19 f ([- 0,00523263]) = 0,00003

> 20 f ([- 0,0041861]) = 0,00002

> 21 f ([- 0,00334888]) = 0,00001

> 22 f ([- 0.0026791]) = 0,00001

> 23 f ([- 0,00214328]) = 0,00000

> 24 f ([- 0,00171463]) = 0,00000

> 25 f ([- 0,0013717]) = 0,00000

> 26 f ( [-0.00109736]) = 0,00000

> 27 f ([- 0,00087789]) = 0,00000

> 28 f ([- 0,00070231]) = 0,00000

> 29 f ([- 0,00056185]) = 0,00000

Готово!

f ([- 0,00056185]) = 0,000000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

140002

14

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

31

> 0 f ([- 0.36308639]) = 0,13183

> 1 f ([- 0,2

Теперь давайте почувствуем важность правильного размера шага.

Задайте для размера шага большое значение, например 1,0, и повторно запустите поиск.

… # определяем размер шага step_size = 1.0

# определить размер шага

step_size = 1.0

Запустите пример с большим размером шага и проверьте результаты.

Примечание : Ваши результаты могут отличаться из-за стохастической природы алгоритма или процедуры оценки или различий в числовой точности.Вы можете повторить пример несколько раз и сравнить средний результат.

Мы видим, что поиск не находит оптимумов, а вместо этого перемещается по домену, в данном случае между значениями 0,64820935 и -0,64820935.

… > 25 f ([0,64820935]) = 0,42018 > 26 f ([- 0,64820935]) = 0,42018 > 27 f ([0,64820935]) = 0,42018 > 28 f ([- 0,64820935]) = 0,42018 > 29 f ([0,64820935]) = 0,42018 Выполнено! f ([0,64820935]) = 0.420175

> 25 f ([0,64820935]) = 0,42018

> 26 f ([- 0,64820935]) = 0,42018

> 27 f ([0,64820935]) = 0,42018

> 28 f ([- 0,64820935]) = 0,42018

> 29 f ([0,64820935]) = 0,42018

Готово!

f ([0,64820935]) = 0,420175

Теперь попробуйте гораздо меньший размер шага, например 1e-8.

… # определяем размер шага step_size = 1e-5

# определить размер шага

step_size = 1e-5

Примечание : Ваши результаты могут отличаться из-за стохастической природы алгоритма или процедуры оценки или различий в числовой точности. Вы можете повторить пример несколько раз и сравнить средний результат.

Повторно запустив поиск, мы видим, что алгоритм очень медленно движется вниз по наклону целевой функции от начальной точки.

… > 25 f ([- 0,87315153]) = 0,76239 > 26 f ([- 0,87313407]) = 0,76236 > 27 f ([- 0,8731166]) = 0,76233 > 28 f ([- 0,87309914]) = 0,76230 > 29 f ([- 0,87308168]) = 0,76227 Выполнено! f ([- 0,87308168]) = 0,762272

> 25 f ([- 0,87315153]) = 0,76239

> 26 f ([- 0,87313407]) = 0,76236

> 27 f ([- 0,8731166]) = 0,76233

> 28 f ( [-0.87309914]) = 0,76230

> 29 f ([- 0,87308168]) = 0,76227

Готово!

f ([- 0,87308168]) = 0,762272

Эти два быстрых примера подчеркивают проблемы при выборе слишком большого или слишком маленького размера шага и общую важность тестирования множества различных значений размера шага для данной целевой функции.

Наконец, мы можем снова изменить скорость обучения на 0,1 и визуализировать ход поиска на графике целевой функции.

Во-первых, мы можем обновить функцию gradient_descent () , чтобы сохранить все решения и их оценки, найденные во время оптимизации, в виде списков и вернуть их в конце поиска вместо лучшего найденного решения.

# алгоритм градиентного спуска def gradient_descent (цель, производная, границы, n_iter, step_size): # отслеживать все решения решения, оценки = список (), список () # генерируем начальную точку решение = bounds [:, 0] + rand (len (bounds)) * (bounds [:, 1] — границы [:, 0]) # запускаем градиентный спуск для i в диапазоне (n_iter): # вычислить градиент градиент = производная (решение) # сделай шаг решение = решение — размер_шага * градиент # оценить кандидатский балл solution_eval = цель (решение) # магазин решение решения.добавить (решение) scores.append (solution_eval) # отчет о прогрессе print (‘>% d f (% s) =% .5f’% (i, solution, solution_eval)) возврат [решения, баллы]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

140002

14

18

19

20

# алгоритм градиентного спуска

def gradient_descent (objective, производная, границы, n_iter, step_size):

# отслеживать все решения

решения, scores = list (), list ()

# генерировать начальную точку

solution = bounds [:, 0] + rand (len (bounds)) * (bounds [:, 1] — bounds [:, 0])

# запускает градиентный спуск

для i в диапазоне (n_iter):

# вычислить градиент

gradient = производная (решение)

# выполнить шаг

solution = solution — step_size * gradient

# оценить точку-кандидат

solution_eval = цель (решение)

# сохранить решение

решения.append (solution)

scores.append (solution_eval)

# report progress

print (‘>% df (% s) =% .5f’% (i, solution, solution_eval))

return [solutions, scores ]

Функцию можно вызвать, и мы можем получить списки решений и их баллы, найденные в процессе поиска.

… # выполнить поиск градиентного спуска решения, оценки = gradient_descent (цель, производная, границы, n_iter, step_size)

# выполнить поиск градиентного спуска

решения, scores = gradient_descent (objective, производная, границы, n_iter, step_size)

Как и раньше, мы можем построить линейный график целевой функции.

… # образец входного диапазона равномерно с шагом 0,1 input = arange (границы [0,0], границы [0,1] +0.1, 0.1) # вычислительные цели результаты = цель (исходные данные) # создать линейный график ввода и результата пиплот.участок (исходные данные, результаты)

# выборка входного диапазона равномерно с шагом 0,1

входов = arange (границы [0,0], границы [0,1] +0,1, 0,1)

# вычислить цели

результатов = цель ( input)

# создать линейный график ввода и результата

pyplot.plot (input, results)

Наконец, мы можем отобразить каждое найденное решение в виде красной точки и соединить точки линией, чтобы мы могли видеть, как поиск двигался вниз.

… # построить график найденных решений pyplot.plot (решения, оценки, ‘.-‘, цвет = ‘красный’)

# построить график найденных решений

pyplot.plot (solutions, scores, ‘.-‘, color = ‘red’)

Собирая все вместе, полный пример построения результата поиска градиентного спуска на одномерной тестовой функции приведен ниже.

# пример построения поиска градиентного спуска на одномерной функции из numpy import asarray из numpy import arange из numpy.random import rand из matplotlib import pyplot # целевая функция def objective (x): возврат x ** 2,0 # производная целевой функции def производная (x): return x * 2.0 # алгоритм градиентного спуска def gradient_descent (цель, производная, границы, n_iter, step_size): # отслеживать все решения решения, оценки = список (), список () # генерируем начальную точку решение = bounds [:, 0] + rand (len (bounds)) * (bounds [:, 1] — границы [:, 0]) # запускаем градиентный спуск для i в диапазоне (n_iter): # вычислить градиент градиент = производная (решение) # сделай шаг решение = решение — размер_шага * градиент # оценить кандидатский балл solution_eval = цель (решение) # магазин решение решения.добавить (решение) scores.append (solution_eval) # отчет о прогрессе print (‘>% d f (% s) =% .5f’% (i, solution, solution_eval)) вернуть [решения, баллы] # определить диапазон для ввода границы = asarray ([[- 1.0, 1.0]]) # определить общее количество итераций n_iter = 30 # определяем размер шага step_size = 0,1 # выполнить поиск градиентного спуска решения, оценки = gradient_descent (цель, производная, границы, n_iter, step_size) # образец входного диапазона равномерно равен 0.1 шаг input = arange (границы [0,0], границы [0,1] +0.1, 0.1) # вычислительные цели результаты = цель (исходные данные) # создать линейный график ввода и результата pyplot.plot (входные данные, результаты) # построить график найденных решений pyplot.plot (решения, оценки, ‘.-‘, цвет = ‘красный’) # показать сюжет pyplot.show ()

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

140002

14

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

000

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

00030002 47

00030002 47

0003

51

52

53

# пример построения графика поиска градиентного спуска для одномерной функции

из numpy import asarray

из numpy import arange

из numpy.случайный импорт rand

из matplotlib import pyplot

# целевая функция

def objective (x):

return x ** 2.0

# производная целевой функции

def производная (x):

return x * 2.0

# алгоритм градиентного спуска

def gradient_descent (objective, производная, границы, n_iter, step_size):

# отслеживать все решения

solutions, scores = list (), list ()

# сгенерировать начальную точку

solution = bounds [:, 0] + rand (len (bounds)) * (bounds [:, 1] — bounds [:, 0])

# запустить градиентный спуск

для i in range (n_iter):

# вычислить градиент

gradient = производная (решение)

# сделать шаг

solution = solution — step_size * gradient

# оценить точку-кандидат

solution_eval = objective (решение)

# store solution

solutions.append (solution)

scores.append (solution_eval)

# report progress

print (‘>% df (% s) =% .5f’% (i, solution, solution_eval))

return [solutions, scores ]

# определить диапазон для ввода

bounds = asarray ([[- 1.0, 1.0]])

# определить общее количество итераций

n_iter = 30

# определить размер шага

step_size = 0,1

# выполнить поиск градиентного спуска

решения, scores = gradient_descent (objective, производная, границы, n_iter, step_size)

# выборка входного диапазона равномерно равна 0.1 приращение

входов = arange (границы [0,0], границы [0,1] +0,1, 0,1)

# вычислить цели

результатов = цель (входы)

# создать линейный график входных данных по сравнению с результатом

pyplot.plot (входы, результаты)

# построить график найденных решений

pyplot.plot (solutions, scores, ‘.-‘, color = ‘red’)

# показать график

pyplot.show ( )

При выполнении примера выполняется поиск градиентного спуска для целевой функции, как и раньше, за исключением того, что в этом случае каждая точка, найденная во время поиска, отображается на графике.

Примечание : Ваши результаты могут отличаться из-за стохастической природы алгоритма или процедуры оценки или различий в числовой точности. Вы можете повторить пример несколько раз и сравнить средний результат.

В этом случае мы видим, что поиск начался примерно на полпути вверх по левой части функции и перешел вниз к дну бассейна.

Мы можем видеть, что в частях целевой функции с большей кривой производная (градиент) больше, и, в свою очередь, делаются большие шаги.Точно так же градиент меньше по мере приближения к оптимуму, и, в свою очередь, мы делаем меньшие шаги.

Это подчеркивает, что размер шага используется как масштабный коэффициент для величины градиента (кривизны) целевой функции.

График прогресса градиентного спуска на одномерной целевой функции

Дополнительная литература

В этом разделе представлены дополнительные ресурсы по теме, если вы хотите углубиться.

Книги

API

Статьи

Сводка

В этом руководстве вы узнали, как реализовать оптимизацию градиентного спуска с нуля.

В частности, вы выучили:

  • Градиентный спуск — это общая процедура оптимизации дифференцируемой целевой функции.
  • Как реализовать алгоритм градиентного спуска с нуля на Python.
  • Как применить алгоритм градиентного спуска к целевой функции.

Есть вопросы?
Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я постараюсь ответить.

Ознакомьтесь с современными алгоритмами оптимизации!

Развивайте свое понимание оптимизации

…с всего несколькими строками кода Python

Узнайте, как в моей новой электронной книге:
Оптимизация для машинного обучения

Он предоставляет самоучителей с полным рабочим кодом на:
Gradient Descent , Genetic Algorithms , Hill Climbing , Curve Fitting , RMSProp , Adam , и многое другое …

Добавьте современные алгоритмы оптимизации в

свои проекты машинного обучения
Посмотрите, что внутри .

Вам может понравится

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.