Окружность: радиус, хорда, диаметр и дуга
Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.
Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:
Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:
Построение окружности циркулем
Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:
Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки.
Радиус, хорда и диаметр
Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:
Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.
Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром
Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:
D = 2r.
Дуга
Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:
Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:
Для обозначения дуг используется символ :
- AFB — дуга с концами в точках A и B, содержащая точку F;
- AJB — дуга с концами в точках A и
О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.
Хорда AB стягивает дуги AFB и AJB.
Прямая: обозначение и свойства | Геометрия
Прямая линия — это линия, не имеющая неровностей, скруглений и углов. Прямая линия бесконечна, она не имеет ни начала, ни конца. В геометрии прямая линия называется просто прямой.
Для изображения прямой на бумаге используется линейка. Чтобы начертить прямую, надо провести черту вдоль края линейки:
Так как прямая бесконечна, то какой бы длины не была проведена черта, она будет изображать только часть прямой.
Обозначение прямой
Прямая обозначается одной маленькой латинской буквой, например прямая a, или двумя большими латинскими буквами, поставленными при любых двух точках, лежащих на этой прямой, например прямая AB:
Обратите внимание, что точки на прямой можно обозначать короткими чёрточками.
Свойства прямой
1. Через любые две точки можно провести только одну прямую линию.
Это основное свойство прямой. Оно часто используется на практике, для прокладывания прямых линий с помощью двух каких-либо объектов.
2. Если две любые точки прямой лежат на плоскости, то все точки этой прямой лежат на той же плоскости.
3. Через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
4. Есть точки лежащие на прямой и не лежащие на ней.
Точки N и M лежат на прямой a. Точка L не лежит на прямой a.
Для записи принадлежности точки к прямой используется символ принадлежности — ∈
. Например, запись M ∈ a обозначает, что точка
∉.
Например, запись L ∉ a обозначает, что точка L не принадлежит прямой a.5. Из трёх разных точек, лежащих на одной прямой, только одна может лежать между двумя другими точками.
На рисунке изображена прямая с тремя точками A, B и C, лежащими на ней. Про эти точки можно сказать:
точка B лежит между точками A и C, точка B разделяет точки A и C
или
точки A и C лежат по разные стороны от точки B
.
Также можно сказать:
точки B и C лежат по одну сторону от точки A, они не разделяются точкой A
или
точки A и B лежат по одну сторону от точки C
.
6. Две прямые, лежащие на одной плоскости, или пересекаются друг с другом в одной точке, или являются параллельными.
Окружность, радиус, диаметр, число Пи, сектор, касательная
Окружность — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до центра окружности равно.
Центр окръжности
Радиус: расстояние от центра окружности до его границы.
Диаметр: наибольшее расстояние от одной границы окружности до другой. Диаметр равен двум радиусам.
$d = 2\cdot r$
Периметр (длина окружности): длина границы окружности.
Длина окружности $= \pi \cdot$ диаметр $= 2 \cdot \pi \cdot$ радиус
Длина окружности $= \pi \cdot d = 2 \cdot \pi \cdot r$
$\pi$ — pi: число, равное 3,141592… или $\approx \frac{22}{7}$, то есть отношение $\frac{\text{длины окружности}}{\text{диаметр}}$ любого окружности.
Дуга: изогнутая линия, которая является частью окружности.
Дуги окружности измеряется в градусах или радианах.
2$
Углы
Центральный угол
Если длина дуги составляет $\theta$ градуов или радиан, то значение центрального угла также $\theta$ (градусов или радиан).
Если вы знаете длину дуги (в дюймах, ярдах, футах, сантиметрах, метрах …) вы можете найти значение её соответствующего центрального угла ($\theta$) по формуле:
$\theta = 360 \cdot \frac{l}{P} = \frac{360 \cdot l}{2 \cdot \pi \cdot r} = \frac{180 \cdot l}{\pi \cdot r}$
$l$ — длина дуги.
Вписанный угол
Вписанный угол это угол с вершиной на окружности и со сторонами, которые содержат хорды окружности.
На рисунке, угол APB это вписанный угол.
Пример:
$\widehat{AB} = 8
Знак радиуса
Радиус – лат. radius – спица колеса, луч – отрезок прямой линии соединяющей центр окружности с какой-либо точкой окружности или сферы. При нанесении размеров на чертеже радиус обозначается буквой R, за которой следуют размерные числа.
При необходимости явного указания центра окружности, при нанесении размера радиуса, его изображают в виде пересечения центровых или выносных линий.
Если радиус слишком велик для того чтобы отобразить его на чертеже, центр допускается приближать к дуге, а линию радиуса показывают с изломом под углом 90°.
Нанесение радиуса дуги с приближением к ней центра
Если центр не требуется указывать, то размерную линию радиуса допускается не доводить до центра и смещать ее относительно центра.
Нанесение радиуса дуги, когда не требуется указывать размеры,
определяющие положение её центра
Когда требуется провести несколько радиусов из одного центра, соблюдается условие, при котором размерные линии любых двух радиусов не располагают на одной прямой.
Линии радиуса располагаются на одной прямой
В том случае если из одного центра нужно провести несколько размерных линий радиуса, допускается не доводить их до центра, кроме крайних.
Линии радиуса не доводятся до центра
Для наибольшего удобства чтения чертежа, размерные числа и стрелки наносятся в различных положениях.
Нанесение размеров наружных скруглений
Нанесение размеров внутренних скруглений
Графически радиус не отображают, в том случае, когда размер в масштабе чертежа равен 1мм и менее.
Нанесение радиусов от 1мм и менее
Если часть радиусов скругления одинаковые, размеры допускается указывать на общей полке.
Нанесение одинаковых радиусов скруглений
Если на всём чертеже радиусы скруглений одинаковые или радиус является преобладающим, рекомендуется не наносить размеры, а указывать их в технических требованиях, например: «Радиусы скругления 5 мм»; «Внутренние радиусы сгибов 3мм»; «Неуказанные радиусы 8 мм» и т.
п.
Размеры радиуса дуги окружности, которые сопрягаются с параллельными линиями, допускается не наносить.
Пример нанесения размеров паза
Геометрия. Урок 5. Окружность — ЁП
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности.
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности (d=2R).
OA – радиус, DE – хорда, BC – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны (AC=BC).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.
Например, хорда AB стягивает две дуги: ∪AMB и ∪ALB.
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если AB=CD, то ∪AB=∪CD
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠AOB – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
∪AB=∠AOB=α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360°.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ACB – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. ∠ACB=∪AB2=α2∪AB=2⋅∠ACB=α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
∠MAN=∠MBN=∠MCN=∪MN2=α2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90°.
MN – диаметр.
∠MAN=∠MBN=∪MN2=180°2=90°
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360° ).
Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α.
Градусная мера дуги ∪AB равна градусной мере дуги ∪CD и равна α.
∪AB=∪CD=α
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
l=2πR
Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:
lα=πR180∘⋅α
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S=πR2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: Sα=πR2360°⋅α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S=πR2360°⋅α−12R2sinα
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит.
Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Радиус — что это такое и как найти радиус окружности
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.
Сегодня мы продолжим знакомить вас с различными математическими терминами. И расскажем, что такое РАДИУС.
На самом деле эту тему проходят еще в начальных классах обычной школы. И все, кто хорошо учился, сразу смогут сказать, о чем идет речь. Ну, или хотя бы точно понять, что РАДИУС как-то связан с окружностью.
Что такое радиус
И действительно:
Радиус – это отрезок, который начинается в центре окружности и заканчивается в любой точке ее поверхности. В то же время так называется и длина этого отрезка.
Вот так это выглядит графически.
Само слово РАДИУС имеет латинские корни. Оно произошло от «radius», что можно перевести как «луч» или «спица колеса».
Впервые этот математический термин ввел французский ученый П.Ромус. Было это в 1569 году.
Но потребовалось чуть более ста лет, чтобы слово РАДИУС прижилось и стало общепринятым.
Кстати, есть еще несколько значений слова РАДИУС:
- Размер охвата чего-нибудь или сфера распространения. Например, говорят «Огонь уничтожил все в радиусе 10 километров» или «ОН показал на карте радиус действия артиллерии»;
- В анатомии этим словом обозначают Лучевую кость предплечья.
Но, конечно, нас интересует РАДИУС как математический термин. А потому и продолжим говорить именно о нем.
Радиус и диаметр
Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.
А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:
Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности.
По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.
Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.
А именно:
Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.
Свойства радиуса
В отношении радиуса действуют несколько важных правил:
- Радиус составляет половину диаметра. Это мы продемонстрировали только что.
- У окружности может быть сколько угодно радиусов. Но все они будут равны по длине между собой.
- Если в точке пересечения радиуса с поверхностью окружности провести касательную, то эти две линии будут пересекаться под прямым углом. Доказательство этой теоремы наглядно приводится на следующем рисунке.
Радиус, который перпендикулярен хорде, делит ее на две равные части.
Напомним, хордой называется любой отрезок, который проходит через две точки на поверхности окружности, но не через центр. Этим она принципиально отличается от диаметра.
Доказательство этой теоремы наглядно приводится на следующем рисунке.Длина и площадь окружности через радиус
Об этих математических величинах мы решили рассказать не случайно. Дело в том, что при их вычислении просто необходимо знать значение радиуса. И наоборот, зная длину окружности или ее площадь, можно найти радиус.
Длина окружности
Длина окружности – это кривая, которая состоит из точек, равноудаленных от центра окружности. Проще говоря, это длина поверхности окружности.
Длина окружности одновременно является и ее периметром, а потому в геометрии она обозначается латинской буквой «Р» (иногда встречаются и «L», и «C»). А формула для ее вычисления выглядит следующим образом:
Иногда ее пишут и как P=πD, так как 2R – это удвоенный радиус, что, как мы уже сказали выше, является диаметром.
Но классическая формула во всех учебниках дается все-таки через радиус.
Гораздо интереснее здесь рассмотреть величину, обозначаемую буквой π. Это как многим известно, математическая постоянная. Она произносится как «Пи» и равна 3,14.
Хотя на самом деле количество знаков после запятой у «пи» не ограничено. Но для простоты вычислений решено брать именно так.
Площадь окружности
Площадь окружности – это пространство, которое находится внутри ее периметра. Она обозначается латинской буквой «S». А формула для ее вычисления выглядит так:
Опять же, здесь R- это радиус, а π – математическая постоянная, равная 3,14.
Вместо заключения
Чтобы еще больше понять, насколько важно понятие РАДИУС, вспомните инструмент, с помощью которого можно начертить окружность.
Это циркуль и выглядит он вот так.
Пользоваться им просто. Ножка с острым концом ставится в центр будущей окружности. А ножка с грифелем прочерчивает линию. А расстояние, на котором они будут друг от друга, и есть РАДИУС.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Использую для заработка
Рубрика: ЧАстые ВОпросыВведение в геометрию | SkillsYouNeed
Когда вы начинаете изучать геометрию, важно знать и понимать некоторые основные концепции.
Эта страница поможет вам понять концепцию размеров в геометрии и понять, работаете ли вы в одном, двух или трех измерениях.
Он также объясняет некоторые основные термины и указывает вам на другие страницы для получения дополнительной информации.
На этой странице представлены точки, линии и плоскости.
На других страницах этой серии рассказывается об углах и формах, включая многоугольники, круги и другие изогнутые формы, а также трехмерные формы.
Что такое геометрия?
Геометрия , н.
та часть математики, которая рассматривает свойства точек, линий, поверхностей и твердых тел…
Chambers English Dictionary, издание 1989 г.
Геометрия происходит от греческого слова «измерение земли» и представляет собой визуальное изучение форм, размеров и узоров, а также того, как они сочетаются друг с другом в пространстве.Вы обнаружите, что наши страницы геометрии содержат множество диаграмм, которые помогут вам понять предмет.
Когда вы столкнулись с проблемой, связанной с геометрией, может быть очень полезно нарисовать диаграмму самостоятельно.
Работа в разных размерах
Нет, не континуум пространства-времени! Мы говорим о фигурах в одном, двух и трех измерениях.
То есть объекты, имеющие длину (одно измерение), длину и ширину (два измерения) и длину, ширину и глубину или высоту (три измерения).
очков: особый случай: без размеров
точка — это отдельная точка в пространстве.
Он часто представлен точкой на странице, но на самом деле не имеет реального размера или формы.
Вы не можете описать точку с точки зрения длины, ширины или высоты, поэтому она является безразмерной . Однако точка может быть описана координатами. Координаты не определяют ничего о точке, кроме ее положения в пространстве по отношению к контрольной точке с известными координатами.Вы встретите координаты точек во многих приложениях, например, когда вы рисуете графики или читаете карты.
Практически все в геометрии начинается с точки, будь то линия или сложная трехмерная форма.
линий: одно измерение
Линия — кратчайшее расстояние между двумя точками. Он имеет длину, но не ширину, что делает его одномерным.
Везде, где встречаются или пересекаются две или более прямых, есть точка, и говорят, что эти две линии имеют общую точку:
Сегменты и лучи
Есть два типа линий: те, у которых есть определенная начальная и конечная точки, и те, которые продолжаются вечно.
Линии, которые перемещаются между двумя точками, называются сегментами . Они начинаются с определенной точки и переходят к другой, конечной точке. Как и следовало ожидать, они нарисованы как линия между двумя точками.
Второй тип линий называется луч , и они продолжаются вечно. Их часто проводят в виде линии, начинающейся от точки со стрелкой на другом конце:
Параллельные и перпендикулярные линии
Есть два типа линий, которые особенно интересны и / или полезны в математике. Параллельные линии никогда не пересекаются и не пересекаются. Они просто идут вечно бок о бок, как железнодорожные пути. Условием показа параллельности линий на диаграмме является добавление «перьев», которые выглядят как наконечники стрелок.
Перпендикулярные линии пересекаются под прямым углом, 90 °:
Плоскости и двумерные формы
Теперь, когда мы разобрались с одним измерением, пора перейти к двум.
Плоскость — это плоская поверхность, также известная как двумерная.Технически он неограничен, что означает, что он продолжается вечно в любом заданном направлении, и поэтому его невозможно нарисовать на странице.
Одним из ключевых элементов геометрии является количество измерений, с которыми вы работаете в любой момент времени. Если вы работаете в одной плоскости, то это либо одна (длина), либо две (длина и ширина). При наличии более чем одной плоскости он должен быть трехмерным, потому что высота / глубина также учитываются.
Двумерные фигуры включают многоугольники, такие как квадраты, прямоугольники и треугольники, у которых есть прямые линии и точки в каждом углу.
Больше о полигонах можно узнать на нашей странице Полигоны . Другие двумерные формы включают круги и любую другую форму, которая включает кривую. Вы можете узнать больше об этом на нашей странице Curved Shapes .
Три измерения: многогранники и изогнутые формы
Наконец, есть также трехмерных фигур , таких как кубы, сферы, пирамиды и цилиндры.
Чтобы узнать больше об этом, посетите нашу страницу Трехмерные фигуры .
Знаки, символы и терминология
Форма, показанная здесь, представляет собой неправильный пятиугольник, пятиугольный многоугольник с разными внутренними углами и длинами линий (подробнее об этих формах см. Нашу страницу о Многоугольники ).
Градусы ° являются мерой вращения и определяют величину угла между двумя сторонами.
Углы обычно обозначаются в геометрии с использованием сегмента окружности (дуги), если только они не являются прямым углом, когда они «возведены в квадрат».В приведенном здесь примере угловые метки обозначены зеленым цветом. Смотрите нашу страницу Уголки для получения дополнительной информации.
Отметки (показаны оранжевым цветом) обозначают стороны формы, которые имеют одинаковую длину (стороны формы, которые соответствуют или совпадают). Одиночные линии показывают, что две вертикальные линии имеют одинаковую длину, а двойные линии показывают, что две диагональные линии имеют одинаковую длину. Нижняя горизонтальная линия в этом примере отличается по длине от остальных 4 линий и поэтому не отмечена.Отметки также могут называться « штриховок ».
Вершина — это точка пересечения линий (линии также называются лучами или ребрами). Множественное число вершин — это вершины. В этом примере пять вершин помечены как A, B, C, D и E. Называть вершины буквами — обычное дело в геометрии.
В замкнутой форме, такой как в нашем примере, математическое соглашение гласит, что буквы всегда должны располагаться в порядке по часовой стрелке или против часовой стрелки.Нашу форму можно описать как «ABCDE», но было бы неправильно обозначать вершины так, чтобы форма была, например, «ADBEC».
Это может показаться несущественным, но в некоторых сложных ситуациях важно избегать путаницы.
Символ угла ‘’ используется в качестве сокращенного символа в геометрии при описании угла. Выражение ∠ABC является сокращением для описания угла между точками A и C в точке B. Средняя буква в таких выражениях всегда является вершиной угла, который вы описываете — порядок сторон не важен. ABC совпадает с ∠CBA, , и оба описывают вершину B в этом примере.
Если вы хотите записать измеренный угол в точке B в сокращенном виде, вы должны использовать:
m∠ABC = 128 ° (m просто означает «мера»)
или
м∠CBA = 128 °
В нашем примере мы также можем сказать:
м∠EAB = 90 °
м∠BCD = 104 °
Почему эти концепции имеют значение?
Точки, линии и плоскости лежат в основе почти всех других концепций геометрии.
Углы образуются между двумя линиями, начиная с общей точки. Фигуры, двухмерные или трехмерные, состоят из линий, соединяющих точки. Плоскости важны, потому что двумерные формы имеют только одну плоскость; у трехмерных их два и более.
Другими словами, вам действительно нужно понять идеи на этой странице, прежде чем вы сможете перейти к любой другой области геометрии.
ГЕОМЕТРИЯ — Тематические тексты
Главная → ГЕОМЕТРИЯ — Тематические текстыТекст 1
Геометрия позволяет нам исследовать свойства пространства в терминах плоских (двухмерных) фигур и твердых (трехмерных) фигур.Мы можем использовать геометрические методы, чтобы нарисовать линию точной длины, разрезать линию пополам, разделить пополам угол, построить треугольник и вычислить площадь сферы. Принципы геометрии были заложены греческим математиком Евклидом (ок. 330 г. до н.э. — 275 г. до н.э.) и с тех пор почти не изменились. Картографирование; Геодезия, проектирование, архитектура и компьютерные схемы — все зависит от геометрии в точном использовании углов, фигур и объема.
Текст 2
Треугольники, квадраты и пятиугольники — все это примеры многоугольников.У правильного многоугольника стороны равной длины и внутренние углы равны. Чем больше сторон у правильного многоугольника, тем больше он будет напоминать круг. Есть два вида многоугольников: выпуклые и входящие. У выпуклого многоугольника все углы направлены внутрь. У входящего многоугольника один или несколько углов направлены внутрь.
Текст 3
Углы образуются на стыке двух прямых линий. Их можно измерить с помощью транспортира или указателя угла. Углы измеряются в единицах, называемых градусами.Градус получается делением окружности круга на 360 частей равного размера. Математики используют маленький кружок в качестве символа для обозначения градусов. Угол, возникающий в углах квадратов и других прямоугольников, составляет 90 градусов и называется прямым углом. Углы меньше 90 называются острыми углами. Углы от 90 до 180 называются тупыми. Углы от 180 до 360 называются углами отражения.
Текст 4
Преобразование — это изменение положения, размера или формы геометрической фигуры (например, треугольника).Основные преобразования — это отражение, увеличение, перемещение и вращение. Другие формы трансформации включают растяжение и сдвиг. Отражение, перемещение и вращение изменяют положение фигуры. Они не изменяют длину сторон или площадь фигуры, и поэтому называются изометриями. Растяжка увеличивает размер фигуры по одной оси. Стрижка похожа на растяжку, но площадь фигуры остается прежней. Увеличение увеличивает размер всей фигуры.
Текст 5
Топология — это современная ветвь геометрии, которая решает реальные проблемы, например, как спланировать пересечение автострад, и превращает их в пространственные головоломки. Пространственные головоломки можно использовать для двухмерного представления трехмерных задач. Это часто упрощает решение проблемы. Топология выросла из попыток решить проблему Кенигсбергского моста.
Задачи GMAT по геометрии — Блог Magoosh — Экзамен GMAT®
Задачи по геометрии GMAT — проверка ваших способностей к пространственному мышлению .Можете ли вы взглянуть на диаграмму из точек, линий и / или кругов и выделить важные детали, которые приведут к правильному ответу?
Если вы ответили нет , не бойтесь! Прочитав этот пост, изучив фундаментальные геометрические формулы и проработав эти практические вопросы по геометрии, вы получите инструменты, необходимые для успеха в день тестирования!
Содержание
Как использовать формулы геометрии
Очень важно понимать, что геометрические формулы — это полезные инструменты, а НЕ волшебные палочки.Формулы геометрии, безусловно, важны! Но может возникнуть соблазн подумать, что все, что вам нужно сделать, это запомнить кучу формул. Сами по себе формулы не могут гарантировать вам высокий балл в разделе GMAT Quant. Вам также необходимо знать, когда и как применять формулы.
Кроме того, редко бывает, что для решения проблемы требуется только одна формула. Чаще всего вам нужно сложить несколько разных формул, как кусочки пазла. Лучшие специалисты по решению проблем используют ориентированный на цель подход .Другими словами, начните с того, что вам нужно решить. Затем работайте в обратном направлении, определяя, какая информация будет полезна для достижения этой цели. Кроме того, вы должны помнить данную информацию как из диаграммы, так и из постановки вопроса. Используйте это, чтобы построить мост к своей цели.
В этом посте вы познакомитесь с наиболее важными формулами GMAT Geometry. Цель здесь — просто помочь вам просмотреть, поэтому нажимайте на ссылки, чтобы узнать больше о материале.
Затем вы можете проверить свои навыки, ответив на несколько практических вопросов по геометрии.Подробные решения приведены в самом конце.
Готовы? Пошли!
Линии и углы
Прежде всего, знайте свои термины: параллель (то же направление) против перпендикулярных (пересекающихся под прямым углом) прямых, внутренних углов против внешних углов , дополнительных (углы складываются до 180 °) по сравнению с дополнительным (углы складываются до 90 °).
Вам следует просмотреть основные геометрические формулы. Например, на этой диаграмме показаны все возможности, в которых линия пересекает две перпендикулярные линии.
Чтобы узнать больше о прямых и углах, ознакомьтесь с нашим сообщением об углах и параллельных линиях в GMAT и в нашем видеоуроке Геометрия: линии и углы .
Треугольники
С треугольниками связано множество формул и огромное количество терминологии! В этой статье мы можем только поверхностно.
Терминология, относящаяся к сторонам
- Равносторонний — Все три стороны равны.Все углы равны 60 °.
- Равнобедренный — Две равные стороны и соответствующие равные углы.
- Scalene — Ни одна из сторон или углов не равны друг другу.
Терминология, относящаяся к углам
- Острый — Все три угла меньше 90 °
- Правый — Один угол 90 ° (правый)
- Тупой — Один угол больше 90 °
Сумма углов = 180 ° (для любого треугольника)
Теорема Пифагора: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \), где \ (a, b \) — катеты, а \ (c \) — гипотенуза прямоугольного треугольника.(Но также постарайтесь запомнить наиболее распространенные троек Пифагора : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 и 7-24-25.)
Площадь: \ (A = \ frac {1} {2} bh \), где \ (b \) — основание, а \ (h \) — высота.
Площадь равностороннего треугольника со стороной \ (s \): \ (A = \ frac {3} {2} \ cdot \ sqrt {3} \ cdot s \)
Вы можете узнать больше, посмотрев наши видео-уроки «Треугольники — часть I » и «Треугольники » .
И еще больше ресурсов можно найти здесь:
Четырехугольники и другие многоугольники
Основная формула площади для прямоугольников и параллелограммов: \ (A = bh \) (базовое умножение на высоту).Это все, что вам действительно нужно для геометрии GMAT, потому что более сложные формы обычно можно разбить.
Полезно знать следующие формулы углов:
Сумма внутренних углов \ (n \) -стороннего многоугольника = \ (180 (n — 2) \) градусов.
Если многоугольник правильный, (все стороны и углы равны), то любой угол имеет размер \ (\ frac {180 (n — 2)} {n} \) градусов.
Для дополнительного обзора просмотрите этот видео-урок про Regular Polygons .2 \)
Окружность: \ (A = 2 \ pi r \)
Большинство задач, связанных с кругами, можно решить, не полагаясь на множество причудливых геометрических формул. Вам просто нужно использовать свой математический здравый смысл. Нужно знать площадь сектора? Просто узнайте, какую часть всего круга он представляет!
Дополнительные ресурсы можно найти здесь:
Твердые вещества
Обычно в каждом тесте GMAT задается всего пара вопросов о твердой геометрии.Поэтому мы не будем здесь углубляться в эту тему, но вы можете просмотреть следующие ссылки, чтобы узнать больше.
GMAT Geometry Practice (Вопросы по решению проблем)
Проблема 1
Нажмите здесь, чтобы получить ответ
E.
Возможны все три. (На самом деле, если задуматься, количество точек пересечения могло быть любым из 0, 1, 2, 3, 4, 5, или 6!)
Задача 2
Нажмите здесь, чтобы получить ответ
B.2 = 36 \ пи \).
Задача 3
Нажмите здесь, чтобы получить ответ
C.
Чтобы найти площадь, нам нужно знать основание и высоту. STV треугольника равнобедренный, поэтому мы знаем, что SV = 16 — это основание, но не знаем высоту.
Высота будет представлена отрезком перпендикулярной линии от вершины T, делит пополам основание SV в точке, которую мы назовем W.
Таким образом, SW = 8. Теперь посмотрим на прямоугольный треугольник STW: у него катет = 8 и гипотенуза = 17.Это избавит вас от огромного количества вычислений, если вы уже запомнили тройку Пифагора 8-15-17. Таким образом, TW = 15, и это высота. Это позволяет вам найти область: \ (\ frac {1} {2} \) \ (b \) \ (h \) \ (= \ frac {1} {2} \) \ ((16) \) \ ((15) \) \ (= 120 \)
Проблема 4
Нажмите здесь, чтобы получить ответ
Используйте формулу для угла правильного многоугольника (с \ (n = 5 \)):
\ (\ frac {180 (5–2)} {5} = 108 \) градусов.
Теперь посмотрите на равнобедренный треугольник ABC с углом 108 ° в точке B.Два других угла равны: назовите каждый \ (x \).
Зная, что сумма углов в треугольнике равна 180, мы знаем, что \ (108 + x + x = 180 \), что приводит к \ (x = \) 36 °.
Наконец, ∠BCA = ∠ECD. Учитывая, что ∠BCA = \ (x \) = 36 °, то ∠ECD = 36 °. Это означает, что ∠ACE = 108 ° — 36 ° — 36 ° = 36 °
.Проблема 5
Нажмите здесь, чтобы получить ответ
B.
Поскольку ED параллелен GH, треугольники FED и FHG подобны.Зачем? Вертикальные углы равны: ∠GFH = ∠DFE, и пары чередующихся внутренних углов также равны: ∠G = ∠D и ∠H = ∠E.
Давайте начнем с треугольника FED. Угол ∠E охватывает диаметр, поэтому E = 90 °. Таким образом, треугольник FED прав с гипотенузой FD = 13 и катетом ED = 5. Это означает, что FE = 12 (просто вспомните тройку Пифагора 5-12-13).
Затем, поскольку GH = 15 в три раза больше ED, коэффициент масштабирования равен 3. Увеличьте FE на 3, чтобы получить FH = 36. Наконец, найдите площадь, используя знакомую формулу для треугольников: \ (A = \ frac {1} {2} (36) (15) = 270 \).2 = 36 \ пи \).
Шаг № 2: Один сектор («кусок пирога») занимает 60 °, что составляет одну шестую окружности.
Следовательно, площадь сектора равна: \ (\ frac {1} {6} (36 \ pi) = 6 \ pi \).
Шаг № 3: Теперь посмотрим на равносторонний треугольник.
Длина его стороны равна \ (s = 6 \), поэтому, используя формулу быстрого доступа, его площадь равностороннего треугольника равна \ (9 \ sqrt {3} \).
Шаг № 4: Найдите площадь круглого сегмента, который является названием для этого маленького оставшегося фрагмента, части сектора, которая находится за пределами треугольника.
Площадь сегмента = (Площадь сектора) — (Площадь треугольника) = \ (6 \ pi — 9 \ sqrt {3} \).
Step # 5: Теперь обратите внимание, что заштрихованная область на диаграмме — это всего лишь два равносторонних треугольника минус два круглых сегмента.
\ (2 (9 \ sqrt {3}) \) — \ (2 (6 \ pi — 9 \ sqrt {3}) \) \ (= 18 \ sqrt {3} — 12 \ pi + 18 \ sqrt { 3} = 36 \ sqrt {3} — 12 \ pi \)
Проблема 7
Нажмите здесь, чтобы получить ответ
D.
Поскольку EGC = 70 °, мы знаем, что ∠A = 70 ° (альтернативные внутренние углы).
Далее, поскольку AB = BC, мы видим, что треугольник ABC равнобедренный, что означает, что ∠ACB = 70 °. Сумма трех углов должна составлять 180 °, поэтому мы получаем B = 40 °.
На этом этапе мы достигаем очень хитрого хода: и ∠B, и ∠H представляют собой углы, образованные парами параллельных прямых — стороны каждой параллельны соответствующим сторонам других. Это означает, что ∠B = ∠H = 40 °.
Далее, поскольку EF = FH, треугольник AFH также равнобедренный, что означает ∠GEF = 40 °.Опять же, углы треугольника должны составлять в сумме 180 °, так что это говорит нам, что ∠F = 100 °.
Наконец, ∠F и ∠D — это два угла на одной стороне одной и той же прямой между двумя параллельными прямыми (одинаковые боковые внутренние углы). Эти углы должны быть дополнительными, т.е. D = 180 ° — 100 ° = 80 °.
Дополнительная практика GMAT Geoemtry (вопросы о достаточности данных)
Все перечисленные выше 7 проблем относятся к категории Решение проблем .Вы также можете попрактиковаться в ответах на несколько вопросов по геометрии GMAT Data Sucence GMAT, перейдя по этим ссылкам Magoosh:
Заключение
ГеометрияGMAT не требует большого количества сложных формул. Во всяком случае, вам следует больше сосредоточиться на улучшении ваших геометрических стратегий, особенно на том, как использовать диаграммы в ваших интересах.
О чем говорит диаграмма: какие предположения вы можете сделать? Чего не следует предполагать? Можете ли вы использовать оценку?
Наши видео-уроки по геометрическим стратегиям и оценке помогут вам развить эти навыки!Если вы дочитали до конца поста, то престижно! Надеюсь, вы сможете применить то, что узнали здесь, для успешной сдачи экзамена GMAT Quantitative!
Самые популярные ресурсы
GRE Количественное сравнение Геометрические практические задачи
Вот набор из 7 практических вопросов по контролю качества.Пояснения будут в конце статьи.
Примечание: все вопросы количественного сравнения имеют одинаковые четыре варианта ответа. Я не копировал варианты ответов для каждого вопроса в этом сообщении, поэтому обратите внимание на варианты ответов ниже:
а. Количество А больше.
г. Количество B больше.
г. Эти две величины равны.
г. Связь не может быть определена из предоставленной информации.
1) На схеме AC = 6.CE = 12, DF = 4, а AB параллельна DE.
2)
3) На диаграмме JL = 4 и JK = 6.
4) На схеме О — центр окружности, а АВ — диаметр. Область J — это область между хордой AC и дугой окружности.
5) На схеме треугольник MNP равносторонний.
6) На схеме JKLM представляет собой квадрат. Точка S — это середина KL, а точка T — центр квадрата. Точка O находится на сегменте ST и является центром окружности, проходящей через K и L.
7)
Геометрия на GRE QC
Как вы понимаете, нет гарантии, что любая геометрическая диаграмма на всем участке GRE Quant нарисована в масштабе.Фактически, большинство появляющихся диаграмм специально разработано, чтобы обмануть вас самым жестоким обманчивым способом, который только можно представить. Например, если GRE дает
без дальнейших объяснений или уточнений, наивный и доверчивый участник теста GRE подумает: «Хорошо, равносторонний треугольник», тогда как на самом деле это может быть любое из этих значений:
Никогда не обманывайтесь, веря диаграмме. В частности, одна большая группа вопросов GRE QC Geometry дает вам диаграммы, которые выглядят определенным образом, но оставляют некоторую двусмысленность открытой, и ваша задача — выявить двусмысленность, различные геометрические возможности, и не поддаваться влиянию веры в вводящие в заблуждение диаграмма.Некоторые из вышеперечисленных вопросов относятся к этому типу.
Еще одна партия вопросов GRE QC Geometry, посвященных всем в деталях, и ваша задача — выполнить какой-либо расчет длины, угла или площади и сравнить их с чем-то.
По крайней мере, при рассмотрении вопроса GRE QC Geometry важно понимать, является ли это типом неоднозначной диаграммы или типом «все указанное». В первом случае высока вероятность получения ответа (D) !
Сводка
Если предыдущее обсуждение дало вам некоторое представление о вопросе, вы можете вернуться и взглянуть на него еще раз.Пожалуйста, дайте нам знать о своем опыте работы с вопросами GRE Geometry в разделах комментариев ниже.
Практическое объяснение проблем
1) Треугольники CBA и CDE подобны, поэтому все соответствующие длины пропорциональны. Каждая длина в CBA равна половине соответствующей длины в CDE. Подумайте о DF, высоте в CDE и длине, которой она будет соответствовать в CBA: высоте от вершины B до основания AC.
Позвоните по этому телефону ч .Поскольку DF = 4, h = 2.
Теперь для CBA у нас есть высота h = 2 и основание AC = 6.
Ответ = (Б)
2) Здесь все исправлено и уточнено. Треугольник ABC — это прямоугольный треугольник, потому что самая длинная сторона — это диаметр. Подробнее читайте в этом сообщении в блоге о GMAT. В прямоугольном треугольнике ABC AB = 4 — гипотенуза. Обратите внимание, это НЕ треугольник 3-4-5, потому что гипотенуза равна 4.
Мы могли бы извлечь квадратный корень, чтобы найти длину AC, но нам это не нужно.AC — это сторона квадрата, поэтому AC в квадрате — это площадь квадрата. Площадь 7.
Ответ = (C)
3) Это обманчивая диаграмма. Угол в L кажется прямым, но абсолютно ничто на диаграмме или в тексте не гарантирует, что это прямой угол. Треугольник может быть:
Слева треугольник «раздавлен» почти до плоскости, и его можно раздавить еще больше, почти до нуля.Конечно, площадь может быть меньше 11. Напротив, если JK и JL перпендикулярны, то площадь будет A = 0,5bh = (0,5) (4) (6) = 12, что больше 11. В зависимости от диаграмма, это может пойти в любом направлении.
Ответ = (D)
4) Мы знаем, что AB — это диаметр, и мы знаем, что угол ACB равен 90 °. Все это мы знаем. Мы не знаем положение точки C. На приведенной диаграмме точка C расположена так, что две области выглядят примерно одинаково. Перемещая точку C, мы могли радикально изменить ситуацию.Например, мы могли бы переместить C в сторону B, сделав область J намного больше.
Или мы могли бы переместить точку C на другую сторону, ближе к точке A, и в этом случае треугольник был бы намного больше, а Область J намного меньше.
Поскольку мы можем варьировать точку C для получения различных соотношений, мы не можем дать фиксированный ответ.
Ответ = (D)
5) Это сложная задача, но мы можем решить ее полностью, не касаясь калькулятора.
Первый шаг — провести высоту от каждой вершины равностороннего треугольника до середины противоположной стороны. Это разделит равносторонний треугольник на шесть равных треугольников 30-60-90. Подробнее об этих треугольниках читайте в этом блоге GMAT. Очень удобно помнить, что таким образом можно разделить любой равносторонний треугольник.
Обратите внимание, что OP, OM и ON — это радиусы окружности. Скажем для удобства, что r = 2, поэтому OPO = OM = ON = 2.Посмотрите на вершину треугольника 30-60-90. Гипотенуза OP = 2, поэтому сторона, противоположная углу 30 °, составляет половину этого, OT = 1. Длина оставшейся стороны, противоположной 60 °, должна быть:
Площадь треугольника TOP будет:
Шесть из этих треугольников составляют весь равносторонний треугольник, так что это
Это площадь всего равностороннего треугольника. Между тем, круг имеет радиус r = 2, поэтому
Теперь заштрихованная область — это площадь круга за вычетом площади равностороннего элемента, поэтому площадь заштрихованной области составляет:
Теперь у нас есть номера по областям обоих регионов:
Независимо от того, какой квадратный корень из 3 равен, он явно меньше 2, поэтому величина A меньше 2, а величина B немного больше 2.
Ответ = (Б)
6) Обратите внимание, что единственное, что не исправлено в задаче, — это положение точки O на отрезке ST. Это может быть верх или низ этого сегмента. Подумайте о последствиях.
Если мы переместим точку O к вершине круга, так что она будет очень близко к S, то мы получим относительно маленькие круги.
В пределе, в котором O находилась в точке S, круг был бы таким, диаметр которого равнялся бы стороне квадрата: такой круг мог бы полностью поместиться внутри квадрата, просто касаясь каждой стороны в его средней точке.Очевидно, такой круг будет иметь гораздо меньшую площадь, чем квадрат.
С другой стороны, мы могли бы переместить точку O вниз к точке T, центру квадрата. В результате получаются относительно большие круги.
В пределе, в котором O находилась в точке T, круг аккуратно содержал бы квадрат, проходящий через четыре угла. Такой круг явно имеет большую площадь, чем квадрат.
Поскольку мы можем выбрать позицию для точки O, которая допускает связь в любом случае, мы не можем определить окончательную связь между количествами.
Ответ = (D)
7) Сложный вопрос. Давайте подойдем к этому так. Иногда очень полезно ввести переменную в геометрическую задачу. Я собираюсь сказать, что AC = x и BC = 1. Обратите внимание, что AB = x + 1. Тогда
А что будет, если x = 3? Обратите внимание:
Ясно, что они не равны, как должно быть. Что будет, если мы увеличим x? Что ж, тогда AC / BC = x просто становится больше, но AB / BC становится меньше, поэтому они не будут приближаться к равенству.Фактически, они будут отдаляться друг от друга.
Что произойдет, если x станет меньше? Что ж, тогда AC / BC = x явно становится меньше, а дробь 1 / x становится больше, когда ее знаменатель становится меньше, поэтому AB / BC будет больше. В этом случае они будут двигаться навстречу друг другу: больший становится меньше, а меньший — больше. Это означает, что они могут стать равными, если мы переместим x в этом направлении, меньше 3. Другими словами, x должен быть меньше 3.
Здесь этого достаточно, чтобы определить, что ответ на вопрос контроля качества — (B) .
Дополнительная информация для любознательных:
Если вам интересно, обратите внимание, что если x = 2, то:
Они ближе, но не равны. Если x = 1, то
Вот, они прострелили друг друга. Теперь маленький слишком большой, а большой слишком маленький! Мы промахнулись. Это говорит нам, что правильное значение x находится в диапазоне от 1 до 2.
Фактически, некоторые студенты могут понять, что приведенная выше диаграмма и уравнение являются определением золотого сечения, и на самом деле это правильное значение x.
Если вы были знакомы с золотым сечением, это было бы сокращением для этой конкретной проблемы, но в целом вам не нужно ничего знать о золотом сечении для GRE. Золотое сечение играет большую роль в сакральной геометрии и во всех видах эзотерической мудрости (египетские храмы, Парфенон, картины Леонардо, готические соборы и т. Д.), Так что вы можете найти его интересным, но все это выходит далеко за рамки всего, имеющего отношение к успехов на GRE !! 🙂
Чтобы еще больше попрактиковаться в математике GRE, ознакомьтесь с нашими математическими вопросами GRE с ответами и пояснениями!
стр.S. Готовы улучшить свой GRE? Начни сегодня.
Самые популярные ресурсы
Доказательство алгоритма определения диаметра дерева.
Хотя в данном случае в этом нет особой необходимости, я думаю, что это станет более ясным, если вы вместо этого подумаете о центроидах. Вот как это работает:
Конечно, у дерева есть диаметр, то есть самый длинный путь. Предположим, что путь от x до y является самым длинным. Теперь рассмотрим среднюю точку C этого пути.(Это более или менее центр тяжести дерева.) Если D = d ( x , y ) четное, C — вершина; в противном случае это середина ребра. (Если хотите, представьте, что увеличиваете дерево, добавляя вершину в середине каждого ребра; это не меняет вашей проблемы, и теперь C определенно является вершиной.) В любом случае, d ( x ) , C ) = d ( y , C ) = D /2.
Утверждение 1: Для любой вершины z , d ( z , C ) ≤ D /2. Доказательство: Рассмотрим пути от x до z , а затем от z С по y . Объединяя их, мы получаем (возможно, вырожденный) путь от x до y . Поскольку пути в дереве по существу уникальны, эта конкатенация должна проходить через C , то есть один из путей проходит через C . Таким образом, предположим, что путь от x к z проходит через C .Теперь D ≥ d ( z , x ) = d ( z , C ) + d ( C , x ) = d ( z , C ) + D /2, который перестраивается на d ( z , C ) ≤ D / 2.
Утверждение 2: Для любой вершины s и вершины u дальше всего от s , d ( u , C ) = D /2.Проба: иметь d ( s , u ) ≥ макс ( d ( s , x ), d ( s , y )) ≥ d ( s , C ) + D /2, где второе неравенство происходит из предыдущего доказательства. По неравенству треугольника d ( s , C ) + d ( u , C ) ≥ d ( s , u ), поэтому d ( u , C ) ≥ D /2.По утверждению 1 все готово.
Наконец, по нашему наблюдению выше, max ( d ( u , x ), d ( u , y )) ≥ d ( u , C ) + D /2 = D , и все готово.
Надеюсь, это расскажет вам больше о том, что происходит: для любой вершины s вершины, наиболее удаленные от s , — это именно те вершины, которые (а) имеют максимальное расстояние до центроида и (б) не лежат на на той же стороне центроида, что и s .В частности, максимальное расстояние от s составляет d ( s , C ) + D /2.
Стратегии доказательства в геометрии — манекены
- Образование
- Математика
- Стратегии доказательства в геометрии
Марк Райан
Шпаргалка по части геометрии для чайников
Знание того, как писать доказательства геометрии с двумя столбцами, обеспечивает прочную основу для работы с теоремами.Практика этих стратегий поможет вам легко написать доказательства геометрии в кратчайшие сроки:
Составьте план игры. Попытайтесь выяснить, как перейти от данности к выводу доказательства с помощью простого английского аргумента, основанного на здравом смысле, прежде чем беспокоиться о том, как написать формальное доказательство из двух столбцов.
Составьте числа для сегментов и углов. На этапе разработки плана игры иногда бывает полезно определить произвольную длину сегментов или меры углов.Выполнение математических расчетов с этими числами (сложение, вычитание, умножение или деление) может помочь вам понять, как работает доказательство.
Ищите совпадающие треугольники (и помните о CPCTC). На диаграммах попытайтесь найти всех пар конгруэнтных треугольников. Доказательство соответствия одной или нескольких из этих пар треугольников (с SSS, SAS, ASA, AAS или HLR), вероятно, будет важной частью доказательства. Тогда вы почти наверняка будете использовать CPCTC для линии сразу после того, как докажете, что треугольники совпадают.
Попробуйте найти равнобедренные треугольники. Взгляните на контрольную диаграмму и найдите все равнобедренные треугольники. Если вы что-то найдете, вы, скорее всего, воспользуетесь теоремой «если-углы-то-углы» или «если-углы-то-стороны» где-нибудь в доказательстве.
Ищите параллельные линии. Ищите параллельные линии на схеме доказательства или в данных. Если вы их найдете, вы, вероятно, воспользуетесь одной или несколькими теоремами о параллельности прямых.
Найдите радиусы и начертите больше радиусов. Обратите внимание на каждый радиус окружности и отметьте, что все радиусы совпадают. Нарисуйте новые радиусы к важным точкам на окружности, но не рисуйте радиус, идущий к точке на окружности, где больше ничего не происходит.
Используйте все данные. Авторы книги по геометрии не включают в доказательства несущественные данные, поэтому спросите себя, почему автор предоставил каждое из этих данных. Попробуйте записать каждое данное утверждение в столбец , утверждение и написать другое утверждение, которое следует из данного, даже если вы не знаете, как оно вам поможет.
Проверьте логику if-then .
По каждой причине проверьте, что
Все идеи в предложении if появляются в столбце утверждения где-то на над строкой, которую вы повторно проверяете ‘ .
Единственная идея в предложении , затем также появляется в столбце утверждения в той же строке.
Вы также можете использовать эту стратегию, чтобы выяснить, какую причину использовать в первую очередь.
Обратный ход. Если вы застряли, перейдите к концу доказательства и вернитесь к началу. Посмотрев на вывод доказательства , сделайте предположение о причине этого вывода. Затем используйте логику «если-то», чтобы вычислить предпоследний оператор (и так далее).
Думайте как компьютер. В доказательстве из двух столбцов должен быть выражен каждый шаг в логической цепочке, даже если это самая очевидная вещь в мире.Доказательство похоже на общение с компьютером: компьютер не поймет вас, если все мелочи не будут изложены точно.
Сделай что-нибудь. Прежде чем отказываться от доказательства, запишите все, что вы понимаете, на бумаге. Примечательно, как часто изложение чего-то на бумагу вызывает новую идею, потом еще и еще. Прежде чем вы это узнаете, вы закончите доказательство.