Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

На этом уроке мы узнаем, что за фигуру называют углом. Рассмотрим элементы, которыми обладает угол. А также рассмотрим взаимное расположение угла и точек.

Для начала вспомним основные плоские геометрические фигуры, которые мы с вами научились уже строить в курсе математики 5-го класса.

Напомним, что плоские геометрические фигуры – это фигуры, которые располагаются в плоскости.

Например,

А теперь давайте перейдём непосредственно к чертежам. Отметим в плоскости, в любом понравившемся вам месте, некоторую точку О. И проведём от этой точки два луча ОА и ОВ. Обратите внимание, у нас получилась новая геометрическая фигура, угол.

Определение

Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки, или имеющими одно начало.

Угол визуально делят на «внешний» и «внутренний».

Мы же все чаще будем работать именно с внутренними углами.

Определение

У нас получился угол АОВ. Называют его заглавными латинскими буквами и обозначают угол вот таким знаком «», который вам следует не перепутать со знаком «меньше».

Лучи ОА и ОВ – называют сторонами угла, а точку О – его вершиной. При записи угла в середине пишут его вершину.

Обратите внимание угол, который мы построили имеет вершину точку О, и в записи угла буква О стоит в середине. Также угол можно записать одной буквой, обозначающей его вершину, т.е. в нашем случае можно записать угол О.

Рассмотрим взаимное расположение угла и точек на плоскости.

На экране изображён угол ВЕС и 6 точек A, D, F, K, N, T.

Углы, как и любые геометрические фигуры можно сравнивать. А сравнивают их при помощи наложения.

Запомните: два угла называют равными, если их можно наложить один на другой так, что их вершины и стороны совпадут.

Например

На экране изображены три угла АОВ, CED и MKN.

Давайте сравним угол АОВ с углами CED и MKN.

Изобразим следующий рисунок. Начертим угол MON и из его вершины точки О проведём луч ОК.

Обратите внимание луч ОК разделяет наш начальный угол MON на два угла МОК и КОN, каждый из этих углов меньше угла MON. Пишут так:

А вместе два этих угла образуют угол MON. Записать это можно так

Определение

Два дополнительных друг другу луча образуют развёрнутый угол.

Сторонами такого угла является прямая линия, на которой лежит вершина развёрнутого угла.

Посмотрите внимательно на экран.

Лучи ОА и ОВ являются дополнительными друг другу.

Они образуют развёрнутый угол АОВ.

Точка О – вершина развёрнутого угла лежит на прямой АВ.

Пример развёрнутого угла вы можете встретить каждый день.

Например

Мы помним, что прямые могут пересекаться. При пересечении двух прямых образуются 6 углов, 2 из которых – развёрнутые.

Например

Прямые АВ и СD пересекаются в точке О. Угол АОВ – развёрнутый и угол СОD – развёрнутый.

Начертим развёрнутый угол MON и проведём из его вершины луч ОК, так чтобы этот луч разделил угол MON на 2 равных угла.

У нас получились углы МОК и NОК. Эти углы равны между собой и равны половине развёрнутого угла. Записывают это так:

Такие углы называют прямыми.

Для построения прямого угла пользуются чертёжным треугольником.

Запомните алгоритм построения прямого угла.

Для того чтобы построить прямой угол, стороной которого является луч EF, надо:

1)    Расположить чертёжный треугольник так, чтобы его вершина совпала с точкой Е, а одна из его сторон пошла по лучу EF.

2)    Провести луч ЕС вдоль второй стороны чертёжного треугольника.

3)    Угол СEF, который образовался после выполнения 1–го и 2–го шага алгоритма и есть прямой.

Итоги

Итак, сегодня на уроке мы узнали, что за фигуру называют углом. Рассмотрели элементы, которыми обладает угол. Изучили взаимное расположение угла и точек в плоскости. Узнали, какие углы называют прямыми и развёрнутыми. А также научились пользоваться чертёжным треугольником.

Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник. 5-й класс

— Ребята, сегодня мы продолжаем  изучать раздел математики, связанный с предметом геометрии.
Мы, когда изучали темы «Отрезок. Прямая. Луч» говорили, что в геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур. И пусть девизом нашего сегодняшнего урока станет это четверостишье:

Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает –

Тот вечно хнычет и скучает.

— Итак, вы готовы быть внимательными и находчивыми?
— …
— Тогда,  начинаем.

Тема урока: ? ? ?
(Дети работают под диктовкой учителя)

— Отметьте в тетрадях две точки:  А и В.
-Соедините эти точки.
—  Назовите фигуру и дайте определение.
— Сделайте так, чтобы ваш отрезок превратился в луч.
— Что вы для  этого сделали? Что такое луч?
— Постройте 3 луча так, чтобы луч был направлен вверх, вниз, влево. Назовите эти лучи.

— Отметьте точку О.  Нарисуйте два луча ОВ, ОА выходящие из одной точки.
— Как вы думаете, какую геометрическую фигуру мы получили? Давайте попробуем дать определение этой фигуры.

УГЛОМ НАЗЫВАЮТ ФИГУРУ, ОБРАЗОВАННУЮ ДВУМЯ ЛУЧАМИ И ВЫХОДЯЩИМИ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ.

  — Обозначение угла:

 ПОМНИТЕ: при записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину.
.   
— Постройте  ∠АВС. Отметьте точки К, Р лежащие внутри угла, М, Т – лежащие вне угла, точку L на стороне ВА, точку Н на стороне ВС.

— Как сравнивать два угла?
— …
— Постройте  ∠МНК.
— Глядя на этот угол постройте угол больше (меньше) этого угла. Запишите ответ с помощью знака больше,  меньше.

— Постройте угол КОС. Проводите луч ОР так, чтоб он лежал ближе к стороне ОС. Сравните ∠ КОС и ∠РОС.

-Постройте луч ОВ, здесь же постройте луч ОА так, чтобы они лежали на одной прямой.  ∠АОВ называется развернутым.  

 — Попробуйте дать определение развернутого угла.

ДВА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ДРУГ –ДРУГУ ЛУЧА ОБРАЗУЮТ РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ.

— Перед вами лежит лист бумаги. Давайте этот лист согнем в два раза пополам и развернем. Сколько углов образуют линии сгиба?
Каждый из этих углов прямой. Какой же угол называется прямым?

ПРЯМЫМ УГЛОМ НАЗЫВАЮТ ПОЛОВИНУ РАЗВЕРНУТОГО УГЛА.

 — В ваших треугольниках есть прямой угол? Если я попрошу вас построить прямой угол, вы построите? А как?
— …
Для построения прямого угла пользуются чертежным треугольником (рис. 167).

ЧТОБЫ ПОСТРОИТЬ ПРЯМОЙ УГОЛ, НУЖНО:
1) построить луч ОА;
2) расположить чертежный треугольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;
3) провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.
В итоге получится прямой угол.

— Постройте прямй угол ВОС.  Как еще можно обозначить этот угол? (запишите все обозначения угла)

 Ребята, как же мы озаглавим тему нашего урока?
…
ТЕМА УРОКА: « Угол. Развернутый и прямой угол. Чертежный треугольник»

Что нового мы узнали на уроке?
….
ЦЕЛЬ УРОКА:  …(ввести понятие угла, его элементов, научить строить углы, давать им названия, сравнивать углы, прививать интерес к предмету.)

Закрепление.

— Откройте учебники стр.339. Отвечаем на вопросы. Ответы находим с учебника.
— Устная работа по рисункам.
1) Назовите углы, изображенные на доске и запишите их обозначение.

2) Укажите, какие точки на рисунке лежат внутри угла, вне угла, на стороне ОК, на стороне ОМ.

3)  Изобразите  с помощью чертежного треугольника  3 прямых и 2 развернутых углов  в разных положениях.

4)  Посмотрите на часы. Когда часовая и минутная стрелки часов образуют развернутый угол? (Прямой угол?)

Решить № 1588; 1587.

Домашнее задание: п. 41, №№ 1609, 1610.

Итог урока.

Развернутый угол. Прямой, тупой, острый и развернутый угол

В этой статье будет рассматриваться одна из основных геометрических фигур — угол. После общего введения в это понятие мы уделим основное внимание отдельному виду такой фигуры. Развернутый угол — важное понятие геометрии, которое и будет основной темой этой статьи.

Введение в понятие геометрического угла

В геометрии существует ряд объектов, которые составляют основу всей науки. Угол как раз относиться к ним и определяется с помощью понятия луча, поэтому начнем именно с него.

Также перед тем, как приступать к определению самого угла, нужно вспомнить о нескольких не менее важных объектах в геометрии — это точка, прямая на плоскости и собственно сама плоскость. Прямой называют самую простую геометрическую фигуру, у которой нет ни начала, ни конца. Плоскостью — поверхность, которая имеет два измерения. Ну и луч (или же полупрямая) в геометрии — это часть прямой, у которой есть начало, но нет конца.

Используя данные понятия, можем составить утверждение, что углом является геометрическая фигура, которая полностью лежит в некоторой плоскости и состоит из двух несовпадающих лучей с общим началом. Такие лучи называются сторонами угла, а общее начало сторон — это его вершина.

Виды углов и геометрии

Мы знаем о том, что углы могут быть совсем разными. А потому немного ниже будет приведена небольшая классификация, которая поможет лучше разобраться в видах углов и их главных особенностях. Итак, существует несколько видов углов в геометрии:

1. Прямой угол. Он характеризируется величиной в 90 градусов, а значит, его стороны всегда перпендикулярны между собой.
2. Острый угол. К таким углам относятся все их представители, имеющие размер меньше 90 градусов.
3. Тупой угол. Здесь же могут быть все углы с величиной от 90 до 180 градусов.
4. Развернутый угол. Имеет размер строго 180 градусов и внешне его стороны составляют одну прямую.

Понятие развернутого угла

Теперь давайте рассмотрим развернутый угол более подробно. Это тот случай, когда обе стороны лежат на одной прямой, что можно четко увидеть на рисунке немного ниже. Значит, мы можем с уверенностью сказать, что у развернутого угла одна из его сторон по сути есть продолжением другой.

Стоит запомнить тот факт, что такой угол всегда можно разделить с помощью луча, который выходит из его вершины. В результате мы получим два угла, которые в геометрии называются смежными.

Также развернутый угол имеет несколько особенностей. Для того, чтобы рассказать о первой из них, нужно вспомнить понятие «биссектриса угла». Напомним, что это луч, который делит любой угол строго пополам. Что касается развернутого угла, то его биссектриса разделяет его таким образом, что образуется два прямых угла по 90 градусов. Это очень легко просчитать математически: 180˚ (градус развернутого угла) : 2 = 90˚.

Если же разделять развернутый угол совсем произвольным лучом, то в результате мы всегда получаем два угла, один из которых будет острым, а другой — тупым.

Свойства развернутых углов

Будет удобно рассматривать этот угол, собрав воедино все его главные свойства, что мы и сделали в данном списке:

1. Стороны развернутого угла антипараллельны и составляют прямую.
2. Величина развернутого угла всегда составляет 180˚.
3. Два смежных угла вместе всегда составляют развернутый угол.
4. Полный угол, который составляет 360˚, состоит из двух развернутых и равен их суме.
5. Половина развернутого угла — это прямой угол.

Итак, зная все эти характеристики данного вида углов, мы можем использовать их для решения ряда геометрических задач.

Задачи с развернутыми углами

Для того, чтобы понять, усвоили ли вы понятие развернутого угла, попытайтесь ответить на несколько следующих вопросов.

1. Чему равен развернутый угол, если его стороны составляют вертикальную прямую?
2. Будут ли два угла смежными, если величина первого 72˚, а другого — 118˚?
3. Если полный угол состоит из двух развернутых, то сколько в нем прямых углов?
4. Развернутый угол разделили лучом на два таких угла, что их градусные меры относятся как 1:4. Вычислите полученные углы.

Решения и ответы:

1. Как бы ни был расположен развернутый угол, он всегда по определению равен 180˚.
2. Смежные углы имеют одну общую сторону. Поэтому, чтобы вычислить размер угла, который они составляю вместе, нужно просто прибавить значение их градусных мер. Значит, 72 +118 = 190. Но по определению развернутый угол составляет 180˚, а значит, два данных угла не могут быть смежными.
3. Развернутый угол вмещает два прямых угла. А так как в полном имеется два развернутых, значит, прямых в нем будет 4.
4. Если мы назовем искомые углы а и b, то пусть х — это коэффициент пропорциональности для них, а это значит, что а=х, и соответственно b=4х. Развернутый угол в градусах равен 180˚. И согласно своим свойствам, что градусная мера угла всегда равна сумме градусных мер тех углов, на которые он разбивается любым произвольным лучом, что проходит между его сторонами, можем сделать вывод, что х + 4х = 180˚, а значит, 5х = 180˚. Отсюда находим: х=а=36˚ и b = 4х = 144˚. Ответ: 36˚ и 144˚.

Если у вас получилось ответить на все эти вопросы без подсказок и не подглядывая в ответы, значит вы готовы переходить к следующему уроку по геометрии.

В этой статье мы всесторонне разберем одну из основных геометрических фигур – угол. Начнем со вспомогательных понятий и определений, которые нас приведут к определению угла. После этого приведем принятые способы обозначения углов. Далее подробно разберемся с процессом измерения углов. В заключении покажем как можно отметить углы на чертеже. Все теорию мы снабдили необходимыми чертежами и графическими иллюстрациями для лучшего запоминания материала.

Навигация по странице.

Определение угла.

Угол является одной из важнейших фигур в геометрии. Определение угла дается через определение луча. В свою очередь представление о луче невозможно получить без знания таких геометрических фигур как точка, прямая и плоскость. Поэтому, перед знакомством с определением угла, рекомендуем освежить в памяти теорию из разделов и .

Итак, будем отталкиваться от понятий точки, прямой на плоскости и плоскости.

Дадим сначала определение луча.

Пусть нам дана некоторая прямая на плоскости. Обозначим ее буквой a . Пусть O – некоторая точка прямой a . Точка O разделяет прямую a на две части. Каждая из этих частей вместе с точкой О называется лучом , а точка О называется началом луча . Еще можно услышать, что луч называют полупрямой .

Для краткости и удобства ввели следующие обозначения для лучей: луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч p или луч k ), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых соответствует началу луча, а вторая обозначает некоторую точку этого луча (например, луч ОА или луч СD ). Покажем изображение и обозначение лучей на чертеже.

Теперь мы можем дать первое определение угла.

Определение.

Угол – это плоская геометрическая фигура (то есть целиком лежащая в некоторой плоскости), которую составляют два несовпадающих луча с общим началом. Каждый из лучей называют стороной угла , общее начало сторон угла называют вершиной угла .

Возможен случай, когда стороны угла составляют прямую линию. Такой угол имеет свое название.

Определение.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым .

Предлагаем Вашему вниманию графическую иллюстрацию развернутого угла.

Для обозначения угла используют значок угла «». Если стороны угла обозначены малыми латинскими буквами (например, одна сторона угла k , а другая h ), то для обозначения этого угла после значка угла записывают подряд буквы, соответствующие сторонам, причем порядок записи значения не имеет (то есть, или ). Если стороны угла обозначены двумя большими латинскими буквами (к примеру, одна сторона угла OA , а вторая сторона угла OB ), то угол обозначают следующим образом: после значка угла записывают три буквы, участвующие в обозначении сторон угла, причем буква, отвечающая вершине угла, располагается посередине (в нашем случае угол будет обозначен как или ). Если вершина угла не является вершиной еще какого-нибудь угла, то такой угол можно обозначать буквой, соответствующей вершине угла (например, ). Иногда можно видеть, что углы на чертежах отмечают цифрами (1 , 2 и т.д.), обозначают эти углы как и так далее. Для наглядности приведем рисунок, на котором изображены и обозначены углы.

Любой угол разделяет плоскость на две части. При этом если угол не развернутый, то одну часть плоскости называют внутренней областью угла , а другую – внешней областью угла . Следующее изображение разъясняет, какая часть плоскости отвечает внутренней области угла, а какая — внешней.

Любую из двух частей, на которые развернутый угол разделяет плоскость, можно считать внутренней областью развернутого угла.

Определение внутренней области угла приводит нас ко второму определению угла.

Определение.

Угол – это геометрическая фигура, которую составляют два несовпадающих луча с общим началом и соответствующая внутренняя область угла.

Следует отметить, что второе определение угла строже первого, так как содержит больше условий. Однако не следует отметать первое определение угла, также не следует рассматривать первое и второе определения угла по отдельности. Поясним этот момент. Когда речь идет об угле как о геометрической фигуре, то под углом понимается фигура, составленная двумя лучами с общим началом. Если же возникает необходимость провести какие-либо действия с этим углом (например, измерение угла), то под углом уже следует понимать два луча с общим началом и внутренней областью (иначе возникла бы двоякая ситуация из-за наличия как внутренней так и внешней области угла).

Дадим еще определения смежных и вертикальных углов.

Определение.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол.

Из определения следует, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла.

Определение.

Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке изображены вертикальные углы.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют четыре пары смежных углов и две пары вертикальных углов.

Сравнение углов.

В этом пункте статьи мы разберемся с определениями равных и неравных углов, а также в случае неравных углов разъясним, какой угол считается большим, а какой меньшим.

Напомним, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Пусть нам даны два угла. Приведем рассуждения, которые помогут нам получить ответ на вопрос: «Равны эти два угла или нет»?

Очевидно, что мы всегда можем совместить вершины двух углов, а также одну сторону первого угла с любой из сторон второго угла. Совместим сторону первого угла с той стороной второго угла, чтобы оставшиеся стороны углов оказались по одну сторону от прямой, на которой лежат совмещенные стороны углов. Тогда, если две другие стороны углов совместятся, то углы называются равными .

Если же две другие стороны углов не совместятся, то углы называются неравными , причем меньшим считается тот угол, который составляет часть другого (большим является тот угол, который полностью содержит другой угол).

Очевидно, что два развернутых угла равны. Также очевидно, что развернутый угол больше любого неразвернутого угла.

Измерение углов.

Измерение углов основывается на сравнении измеряемого угла с углом, взятым в качестве единицы измерения. Процесс измерения углов выглядит так: начиная от одной из сторон измеряемого угла, его внутреннюю область последовательно заполняют единичными углами, плотно укладывая их один к другому. При этом запоминают количество уложенных углов, которое и дает меру измеряемого угла.

Фактически, в качестве единицы измерения углов может быть принят любой угол. Однако существует множество общепринятых единиц измерения углов, относящихся к различным областям науки и техники, они получили специальные названия.

Одной из единиц измерения углов является градус .

Определение.

Один градус – это угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градус обозначают символом «», следовательно, один градус обозначается как .

Таким образом, в развернутом угле мы можем уложить 180 углов в один градус. Это будет выглядеть как половинка круглого пирога, разрезанная на 180 равных кусочков. Очень важно: «кусочки пирога» плотно укладываются один к другому (то есть, стороны углов совмещаются), причем сторона первого угла совмещается с одной стороной развернутого угла, а сторона последнего единичного угла совпадет с другой стороной развернутого угла.

При измерении углов выясняют, сколько раз градус (или другая единица измерения углов) укладывается в измеряемом угле до полного покрытия внутренней области измеряемого угла. Как мы уже убедились, в развернутом угле градус укладывается ровно 180 раз. Ниже приведены примеры углов, в которых угол в один градус укладывается ровно 30 раз (такой угол составляет шестую часть развернутого угла) и ровно 90 раз (половина развернутого угла).

Для измерения углов, меньших одного градуса (или другой единицы измерения углов) и в случаях, когда угол не удается измерить целым числом градусов (взятых единиц измерения), приходится использовать части градуса (части взятых единиц измерения). Определенные части градуса получили специальные названия. Наибольшее распространение получили, так называемые, минуты и секунды.

Определение.

Минута – это одна шестидесятая часть градуса.

Определение.

Секунда – это одна шестидесятая часть минуты.

Иными словами, в минуте содержится шестьдесят секунд, а в градусе – шестьдесят минут (3600 секунд). Для обозначения минут используют символ «», а для обозначения секунд – символ «» (не путайте со знаками производной и второй производной). Тогда при введенных определениях и обозначениях имеем , а угол, в котором укладываются 17 градусов 3 минуты и 59 секунд, можно обозначить как .

Определение.

Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Например, градусная мера развернутого угла равна ста восьмидесяти, а градусная мера угла равна .

Для измерения углов существуют специальные измерительные приборы, наиболее известным из них является транспортир.

Если известно и обозначение угла (к примеру, ) и его градусная мера (пусть 110 ), то используют краткую запись вида и говорят: «Угол АОВ равен ста десяти градусам».

Из определений угла и градусной меры угла следует, что в геометрии мера угла в градусах выражается действительным числом из интервала (0, 180] (в тригонометрии рассматривают углы с произвольной градусной мерой, их называют ). Угол в девяносто градусов имеет специальное название, его называют прямым углом . Угол меньший 90 градусов называется острым углом . Угол больший девяноста градусов называется тупым углом . Итак, мера острого угла в градусах выражается числом из интервала (0, 90) , мера тупого угла – числом из интервала (90, 180) , прямой угол равен девяноста градусам. Приведем иллюстрации острого угла, тупого угла и прямого угла.

Из принципа измерения углов следует, что градусные меры равных углов одинаковы, градусная мера большего угла больше градусной меры меньшего, а градусная мера угла, который составляют несколько углов, равна сумме градусных мер составляющих углов. На рисунке ниже показан угол АОВ , который составляют углы АОС , СОD и DОВ , при этом .

Таким образом, сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам , так как они составляют развернутый угол.

Из этого утверждения следует, что . Действительно, если углы АОВ и СОD – вертикальные, то углы АОВ и ВОС — смежные и углы СОD и ВОС также смежные, поэтому, справедливы равенства и , откуда следует равенство .

Наряду с градусом удобна единица измерения углов, называемая радианом . Радианная мера широко используется в тригонометрии. Дадим определение радиана.

Определение.

Угол в один радиан – это центральный угол , которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса соответствующей окружности.

Дадим графическую иллюстрацию угла в один радиан. На чертеже длина радиуса OA (как и радиуса OB ) равна длине дуги AB , поэтому, по определению угол AOB равен одному радиану.

Для обозначения радианов используют сокращение «рад». Например, запись 5 рад означает 5 радианов. Однако на письме обозначение «рад» часто опускают. К примеру, когда написано, что угол равен пи, то имеется в виду пи рад.

Стоит отдельно отметить, что величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса окружности. Это связано с тем, что фигуры, ограниченные данным углом и дугой окружности с центром в вершине данного угла, подобны между собой.

Измерение углов в радианах можно выполнять так же, как и измерение углов в градусах: выяснить, сколько раз угол в один радиан (и его части) укладываются в данном угле. А можно вычислить длину дуги соответствующего центрального угла, после чего разделить ее на длину радиуса.

Для нужд практики полезно знать, как соотносятся между собой градусная и радианная меры, так как довольно часть приходится осуществлять . В указанной статье установлена связь между градусной и радианной мерой угла, и приведены примеры перевода градусов в радианы и обратно.

Обозначение углов на чертеже.

На чертежах для удобства и наглядности углы можно отмечать дугами, которые принято проводить во внутренней области угла от одной стороны угла до другой. Равные углы отмечают одинаковым количеством дуг, неравные углы – различным количеством дуг. Прямые углы на чертеже обозначают символом вида «», который изображают во внутренней области прямого угла от одной стороны угла до другой.

Если на чертеже приходится отмечать много различных углов (обычно больше трех), то при обозначении углов кроме обычных дуг допустимо использование дуг какого-либо специального вида. К примеру, можно изобразить зубчатые дуги, или нечто подобное.

Следует отметить, что не стоит увлекаться с обозначением углов на чертежах и не загромождать рисунки. Рекомендуем обозначать только те углы, которые необходимы в процессе решения или доказательства.

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения .

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Определение 2

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O . Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч , а точка O – начало луча .

Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O .

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Определение 3

Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Определение 4

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым .

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O .

Угол в математике обозначается знаком « ∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h , то угол обозначается как ∠ k h или ∠ h k .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия O A и O B . В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной — ∠ A O B и ∠ B O A . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла , другая – внешняя область угла . Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Определение 5

Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Определение 6

Два угла называют смежными , если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

Определение 7

Два угла называют вертикальными , если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные .

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус .

Определение 8

Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Стандартное обозначение градуса идет при помощи « ° », тогда один градус – 1 ° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.

Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.

Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты.

Определение 9

Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.

Определение 10

Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают « » », а секунды « «» ». Имеет место обозначение:

1 ° = 60 » = 3600 «» , 1 » = (1 60) ° , 1 » = 60 «» , 1 «» = (1 60) » = (1 3600) ° ,

а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17 ° 3 » 59 «» .

Определение 11

Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17 ° 3 » 59 «» . Запись имеет еще один вид 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600 .

Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠ A O B и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠ A O B = 110 ° , которая читается «Угол А О В равен 110 градусам».

В геометрии используется мера угла из интервала (0 , 180 ] , а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.

Острый угол измеряется в интервале (0 , 90) , а тупой – (90 , 180) . Ниже наглядно изображены три вида углов.

Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 ° .

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.

Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны . Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол А О В и С О D – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов А О В и В О С, С О D и В О С считают смежными. В таком случает равенство ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° вместе с ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠ A O B = ∠ C O D . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом . Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Определение 12

Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой, с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы О А и О В. По определению данный треугольник A O B является равносторонним, значит длина дуги A B равна длинам радиусов О В и О А.

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Что такое угол?

Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки (рис. 160).
Лучи, образующие угол , называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла.
На рисунке 160 сторонами угла являются лучи ОА и ОБ, а его вершиной — точка О. Этот угол обозначают так: АОВ.

При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначить и одной буквой — названием его вершины.

Например, вместо «угол АОВ» пишут короче: «угол О».

Вместо слова «угол» пишут знак .

Например, AОВ, O.

На рисунке 161 точки С и D лежат внутри угла АОВ, точки X и У лежат вне этого угла, а точки М и Н — на сторонах угла.

Как и все геометрические фигуры, углы сравниваются с помощью наложения.

Если один угол можно наложить на другой так, что они совпадут, то эти углы равны.

Например, на рисунке 162 ABC = MNK.

Из вершины угла СОК (рис. 163) проведен луч ОР. Он разбивает угол СОК на два угла — СОР и РОК. Каждый из этих углов меньше угла СОК.

Пишут: COP

Прямой и развернутый угол

Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. Стороны этого угла вместе составляют прямую линию, на которой лежит вершина развернутого угла (рис. 164).

Часовая и минутная стрелки часов образуют в 6 ч развернутый угол (рис. 165).

Согнем два раза пополам лист бумаги, а потом развернем его (рис. 166).

Линии сгиба образуют 4 равных угла. Каждый из этих углов равен половине развернутого угла. Такие углы называют прямыми.

Прямым углом называют половину развернутого угла.

Чертежный треугольник

Для построения прямого угла пользуются чертежным треугольником (рис. 167). Чтобы построить прямой угол, одной из сторон которого является луч ОЛ, надо:

а) расположить чертежный треугольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;

б) провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.

В результате получим прямой угол АОВ.

Вопросы к теме

1.Что такое угол?
2.Какой угол называют развернутым?
3.Какие углы называют равными?
4.Какой угол называют прямым?
5.Как строят прямой угол с помощью чертежного треугольника?

Нам с вами уже известно, что любой угол делит плоскость на две части. Но, в случае, если у угла его обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым. То есть, у развернутого угла одна его сторона является продолжением его другой стороны угла.

Теперь давайте посмотрим на рисунок, на котором как раз и изображен развернутый угол О.

Если мы возьмем и проведем из вершины развернутого угла луч, то он разделит данный развернутый угол еще на два угла, которые будут иметь одну общую сторону, а другие два угла будут составлять прямую. То есть, с одного развернутого угла мы получили два смежных.

Если мы возьмем развернутый угол и проведем биссектрису, то эта биссектриса разделит развернутый угол на два прямых угла.

А, в том случае, если мы из вершины развернутого угла проведем произвольный луч, который не является биссектрисой, то такой луч разделит развернутый угол на два угла, один из которых будет острым, а другой тупым.

Свойства развернутого угла

Развернутый угол обладает такими свойствами:

Во-первых, стороны развёрнутого угла являются антипараллельными и образуют прямую;
во-вторых, развернутый угол равен 180°;
в-третьих, два смежных угла образуют развернутый угол;
в-четвертых, развернутый угол составляет половину полного угла;
в-пятых, полный угол будет равен сумме двух развёрнутых углов;
в-шестых, половина развернутого угла составляет прямой угол.

Измерение углов

Чтобы измерить любой угол, для этих целей чаще всего используют транспортир, у которого единица измерения равна одному градусу. При измерении углов следует помнить, что любой угол имеет свою определенную градусную меру и естественно эта мера больше нуля. А развернутый угол, как нам уже известно, равен 180 градусам.

То есть, если мы с вами возьмем любую плоскость круга и разделим ее радиусами на 360 равных частей, то 1/360 часть данного круга будет являться угловым градусом. Как вы уже знаете, что градус обозначается определенным значком, который имеет такой вид: « ° ».

Теперь мы также знаем, что один градус 1° = 1/360 части круга. Если угол равен плоскости круга и составляет 360 градусов, то такой угол является полным.

А теперь мы возьмем, и плоскость круга поделим с помощью двух радиусов, лежащих на одной прямой линии, на две равные части. То в этом случае, плоскость полукруга составит половину полного угла, то есть 360: 2 = 180°. Мы с вами получили угол, который равен полуплоскости круга и имеет 180°. Это и есть развернутый угол.

Практическое задание

1613. Назовите углы, изображенные на рисунке 168. Запишите их обозначения.

1614. Начертите четыре луча: ОА, ОВ, ОС и OD. Запишите названия шести углов, сторонами которых являются эти лучи. На сколько частей эти лучи делят плоскость ?

1615. Укажите, какие точки на рисунке 169 лежат внутри угла КОМ, Какие точки лежат вне этого угла? Какие точки лежат на стороне OK, a какие — на стороне ОМ?

1616. Начертите угол MOD и проведите внутри него луч ОТ. Назовите и обозначьте углы, на которые этот луч делит угол MOD.

1617. Минутная стрелка за 10 мин повернулась на угол АОВ, за следующие 10 мин — на угол ВОС, а еще за 15 мин — на угол COD. Сравните углы АОВ и ВОС, ВОС и COD, АОС и АОВ, АОС и COD (рис. 170).

1618. Изобразите с помощью чертежного треугольника 4 прямых угла в разных положениях.

1619. С помощью чертежного треугольника найдите на рисунке 171 прямые углы. Запишите их обозначения.

1620. Укажите прямые углы в классной комнате.

а) 0,09 200; б) 208 0,4; в) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Сколько процентов от 400 составляет число 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Найдите пропущенное число:

а) 2 5 3 б) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Начертите квадрат, сторона которого равна длине 10 клеток тетради. Пусть этот квадрат изображает поле. Рожь занимает 12% поля, овес — 8%, пшеница — 64%, а остальная часть поля занята гречихой. Покажите на рисунке часть поля, занятую каждой культурой. Сколько процентов поля занимает гречиха?

1632. За учебный год Петя израсходовал 40% купленных в начале года тетрадей, и у него осталось 30 тетрадей. Сколько тетрадей было куплено для Пети в начале учебного года?

1633. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

1634. Построенный в древности Александрийский маяк, который называли одним из семи чудес света, выше башен Московского Кремля в 1,7 раза, но ниже здания Московского университета на 119 м. Найдите высоту каждого из этих сооружений, если башни Московского Кремля на 49 м ниже Александрийского маяка.

1635. Найдите с помощью микрокалькулятора:

а) 4,5% от 168; в) 28,3% от 569,8;
б) 147,6% от 2500; г) 0,09% от 456 800.

1636. Решите задачу:

1) Площадь огорода 6,4 а. В первый день вскопали 30% огорода, а во второй день — 35% огорода. Сколько аров осталось еще вскопать?

2) У Сережи было 4,8 ч свободного времени. 35% этого времени он потратил на чтение книги, а 40% на просмотр передач по телевизору. Сколько времени у него еще осталось?

1637. Выполните действия:

1) ((23,79: 7,8 — 6,8: 17) 3,04 — 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 — 6,6) : ((4,8 — 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638. Начертите угол ВАС и отметьте по одной точке внутри угла, вне угла и на сторонах угла.

1639. Какие из отмеченных на рисунке 172 точек лежат внутри угла АМК.Какая точка лежит внутри угла АМВ> но вне угла АМК.Какие точки лежат на сторонах угла АМК?

1640. Найдите с помощью чертежного треугольника прямые углы на рисунке 173.

1641. Постройте квадрат со стороной 43 мм. Вычислите его периметр и площадь.

1642. Найдите значение выражения:

а) 14,791: а + 160,961: b, если а = 100, b = 10;
б) 361,62с + 1848: d, если с = 100, d =100.

1643. Рабочий должен был изготовить 450 деталей. В первый день он изготовил 60% деталей, а остальные — во второй. Сколько деталей изготовил рабочий во второй день?

1644. В библиотеке было 8000 книг. Через год число их увеличилось на 2000 книг. На сколько процентов увеличилось число книг в библиотеке?

1645. Грузовики в первый день проехали 24% намеченного пути, во второй день — 46% пути, а в третий — остальные 450 км. Сколько километров проехали эти грузовики?

1646. Найдите, сколько составляют:

а) 1% от тонны; в) 5% от 7 т;
б) 1% от литра; г) 6% от 80 км.

1647. Масса детеныша моржа в 9 раз меньше массы взрослого моржа. Какова масса взрослого моржа, если вместе с детенышем их масса равна 0,9 т?

1648. Во время маневров командир оставил 0,3 всех своих солдат охранять переправу, а остальных разделил на 2 отряда для обороны двух высот. В первом отряде было в 6 раз больше солдат, чем во втором. Сколько солдат было в первом отряде, если всего было 200 солдат?

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

Угловая мера

Угол в измеряют в градусной мере (градус, минута, секунда), в оборотах — отношение длины дуги s к длине окружности L , в радианах — отношение длины дуги s к радиусу r ; исторически применялась также градовая мера измерения углов, в настоящее время она почти нигде не используется.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

В морской терминологии углы обозначаются румбами .

Типы углов

Смежные углы — острый (a) и тупой (b). Развёрнутый угол (c)

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Развернутый угол» в других словарях:

Угол, равный двум прямым. *РАЗВЕРТКА поверхности фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными. Развертка кривой см. Эвольвента … Большой Энциклопедический словарь

угол — ▲ разность направление (в пространстве) угол протяженность поворота от одного направления к другому; разность направлений; часть полного оборота (# наклона. образовывать #). наклон. наклонный. отклонение. уклониться (дорога уклонилась вправо).… …

Угол — Углы: 1 общего вида; 2 смежные; 3 прилежащие; 4 вертикальные; 5 развернутый; 6 прямой, острый и тупой; 7 между кривыми; 8 между прямой и плоскостью; 9 между скрещивающимися прямыми (не лежащими в одной плоскостью) прямыми. УГОЛ, геометрическая… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Лучи наз. сторонами У., а их общее начало вершиной У. Пусть [ ВА),[ ВС) стороны угла, В его вершина, плоскость, определяемая сторонами У. Фигура делит плоскость… … Математическая энциклопедия

Угол, равный двум прямым. * * * РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ, угол, равный двум прямым … Энциклопедический словарь

Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

1) Замкнутая ломаная линия, именно: если различные точки, никакие последовательные три из к рых не лежат на одной прямой, то совокупность отрезков наз. многоугольником (см. рис. 1). М. могут быть пространственными или плоскими (ниже… … Математическая энциклопедия

поперек — ▲ под углом максимум, косой угол поперечный. поперек под прямым углом. . прямой угол угол максимального отклонения; угол, равный своему смежному; четверть оборота. перпендикуляр. перпендикулярный находящийся под прямым углом. перпендикулярно.… … Идеографический словарь русского языка

градус — а, м. 1) Единица измерения плоского угла, равная 1/90 прямого угла или соответственно 1/360 окружности. Угол в 90 градусов называется прямым углом. Развернутый угол составляет 180 градусов. 2) Единица измерения температурного интервала, имеющая… … Популярный словарь русского языка

Теорема Шварца Кристоффеля важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля. Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном… … Википедия

Угол. Обозначение углов / Геометрия / Справочник по математике 5-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Геометрия
5. Угол. Обозначение углов

Угол —  геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

На рис. 1 лучи АВ и АС — стороны угла, точка А — вершина угла.

При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Сам угол на рис. 1 обозначают так: ВАС или САВ (этот угол нельзя обозначить так: АВС или СВА  или ВСА или  АСВ, т.к. точки В и С не являются вершинами данного угла). Этот же угол можно обозначить и короче, по его вершине: А.

Если углы имеют общую вершину, то их нельзя обозначить одной буквой. Так на рис. 2 углы имеют общую вершину Е, поэтому мы можем использовать для данных углов только следующие обозначения: МЕК или КЕМ, МЕР или РЕМ, РЕК или КЕР. Говорят, что луч ЕР в данном случае делит угол МЕК (или КЕМ) на два угла: МЕР (или РЕМ) и РЕК (или КЕР).

Также иногда углы обозначают цифрами, например, на рис.3 мы имеем 1.

Углы, как и отрезки, можно сравнивать между собой. Чтобы сравнить два угла можно наложить один угол на другой. Если при наложении одного угла на другой они совпадут, то эти углы равны.

Биссектриса — луч, который делит угол на два равных угла. На рис. 4 углы НОМ и DОМ равны, значит, луч ОМ — биссектриса угла НОD.

Прямой угол — угол, который можно построить с помощью угольника (рис. 5).

Если начертить два прямых угла с общей вершиной и одной общей стороной, то две другие стороны этих углов составят прямую (рис. 6). Считают, что лучи, составляющие прямую, также образуют угол, который называют развернутым.

На рис. 6 АОВ и ВОС — прямые, АОС — развернутый.

Развернутый угол равен двум прямым углам, а прямой угол составляет половину развернутого.

Острый угол — угол, который меньше прямого угла. На рис. 7 МОN — острый.

Тупой угол — угол, который больше прямого угла, но меньше развернутого. На рис. 8 РЕК — тупой.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Отрезок

Ломаная

Четырехугольники

Единицы измерения площадей. Свойства площадей

Прямоугольник, его периметр и площадь. Ось симметрии фигуры

Квадрат. Периметр и площадь квадрата.

Многоугольники. Правильные многоугольники. Равенство фигур.

Плоскость

Прямая

Луч

Шкалы и координаты

Прямоугольный параллелепипед. Пирамида.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Куб. Площадь поверхности куба

Куб. Объем куба

Прямой и развернутый угол

Чертежный треугольник

Измерение углов. Транспортир. Виды углов

Треугольник и его виды

Окружность, круг, шар

Цилиндр, конус

Отрезок-xx

Геометрия

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 1641, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1661, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1686, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1775, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1812, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1842, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 282, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 314, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1192, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 495, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 714, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1226, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1234, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1236, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1237, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 173, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 738, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1545, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1571, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Задание 81, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

что это такое, как выглядит и обозначается, сколько радиан и градусов

Что такое развёрнутый угол — понятие и обозначение

Определение

Развернутым называют угол со сторонами, лежащей на одной прямой.

Стороны развернутого угла взаимно дополняют друг друга. В результате получается прямая линия. Таким образом, стороны данной геометрической фигуры представляют собой дополнительные лучи. К примеру, на рисунке изображен ∠CDK, который является развернутым. Точка D служит его вершиной, лучи, обозначенные, как DK и DC – сторонами ∠CDK.

 

Решить задачу, в которой требуется начертить развернутый угол достаточно просто. Необходимо нарисовать прямую линию и поставить на ней отметку в виде точки, которая будет являться вершиной. Существует другой способ. В начале на плоскости отмечают произвольную точку. Данная отметка будет принята за вершину угла. Если через нее прочертить прямую линию, то получится развернутый угол. Схематично оба способа представлены на рисунке.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

 

Определить, является ли угол развернутым, тупым или острым можно с помощью ряда признаков.

Основные свойства развернутого угла:

1. Стороны геометрической фигуры являются антипараллельными и складываются в прямую линию.
2. Развернутый угол в любом случае, независимо от способа начертания, будет составлять 180 градусов.
3. Если соединить вместе пару смежных углов, то полученная фигура будет выглядеть, как развернутый угол.
4. В случае, когда соединяют пару развернутых углов, в результате получают полный угол в 360 градусов, который равен сумме этих углов.
5. Прямой угол является половиной развернутого угла.

Геометрические фигуры с развернутыми углами

В геометрии производя некоторые манипуляции с развернутыми углами, можно получить новые фигуры. К примеру, если такую геометрическую фигуру разделить лучом на два угла, то полученные углы называют смежными. Такие элементы изображены на рисунке.

 

∠ABD  в данном случае является развернутым углом, а ВС представляет собой луч. Таким образом, углы ∠ABС и ∠CBD — смежные углы.

С помощью биссектрисы можно разделить представленную фигуру на два прямых угла. Наглядно данный метод получения геометрических фигур продемонстрирован на рисунке.

 

Так, согласно изображению, KF является биссектрисой развернутого ∠MKP. Полученные углы, ∠MKF и ∠FKP представляют собой прямые углы.

Какова градусная мера развернутого угла (сколько радиан)

Как и любой другой, развернутый угол можно измерить.{0}\)

Виды углов. Измерение углов. Математика 5 класс

1. Урок : Виды углов. Измерение углов. Математика 5 класс

2. Вы уже познакомились с геометрической фигурой,которая называется «угол». Сегодня мы научимся измерять и различать углы.

3. Развёрнутый угол

Лучи ВА и ВС образуют
прямую, причём их начала
совпадают, значит они
образуют угол.
Развернутый угол- это угол, стороны которого
лежат на одной прямой.
!!! Чтобы начертить развернутый угол,
достаточно провести прямую и отметить на ней
точку — вершину угла.

4. Единица измерения углов.

• Развёрнутый угол разделили на 180 равных
углов.
• За еденицу измерения углов приняли угол,
образованный соседними лучами и назвали
градусом. Записывают 1°.
***
Итак,
Единица измерения
углов-1°.

5. Измерение углов

Измеряя угол, мы подсчитываем
сколько единичных углов он
содержит.
На рисунке изображен
транспортир- специальный
прибор для измерения углов.
Его шкала содержит 180 делений.
!!!Градусная мера развёрнутого угла равна 180°.

6. Алгоритм измерения углов

1)Совместить вершину угла с центром транспортира.
2) Сторона угла должна проходить по линейке через
начало отсчета на шкале транспортира.
3) Найти штрих на шкале, через который проходит
вторая сторона угла.Он укажет градусную меру угла.
ВНИМАНИЕ!! Так как шкалы две, штрих мы находим на
той шкале, у которой «0» совпал со стороной угла.

7. Назовите углы.

Назовите вершины углов.
Назовите стороны углов.

8. Сумма углов

Если между сторонами угла АОВ
провести луч ОЕ, то градусная
мера угла АОВ равна сумме
градусных мер углов АОЕ и ВОЕ.
∠ АОВ=∠ АОЕ+∠ ВОЕ
На заметку:
**Равные углы имеют равные градусные меры.
**Из двух неравных углов больший тот, градусная
мера которого больше.

9. Виды углов

• Угол, градусная мера которого равна 90 °,
называют прямым.
• Угол, градусная мера которого, меньше 90 °,
называют острым.
• Угол, градусная мера которого больше 90 °,
но меньше 180 °, называют тупым.
• Развернутый угол- угол, градусная мера
которого равна 180 °.
Работа по учебнику:
С. 81-82, №296, №299
(письменно)

Угол, виды углов и их измерение

Определение. Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки, называемой вершиной угла.

Если плоскость круга разделить на 360 равных частей радиусами, то часть круга — это угловой градус, который обозначается знаком « ° » (читается — «градус»).

Следовательно, 1° = часть круга.

Круг составит * 360 = 1° * 360 = 360°.

Угол, равный плоскости круга, составляет 360° и называется полным углом.

Если плоскость круга разделить диаметром (двумя радиусами, расположенными на одной прямой линии) на две равные части, то плоскость полукруга составит угол в 360′: 2 = 180°.

Угол, равный полуплоскости круга, составляет 180° и называется развернутым углом.

Если плоскость круга разделить двумя диаметрами (горизонтальной и вертикальной линиями) на четыре равные части, то плоскость одной части составит угол в 360° : 4 = 90°.

Угол, равный четвертой части круга, составляет 90° и называется прямым углом.

Отвлекаясь от плоскости, в которой расположен круг, изобразим углы таким образом:

Углы равны, если равны их градусные меры или у них при наложении одного угла на другой совпадают вершины и соответствующие стороны углов.

Например, прямой угол (рис. 1) мы трижды развернули вокруг вершины угла, при этом на двух рисунках (рис. 2 и 4) мы передвинули вершину угла по плоскости листа.

Инструментом для измерения углов служит транспортир.

Для измерения угла следует совместить вершину угла и штрих с цифрой 0 на шкале транспортира. Одна сторона угла должна совпадать с прямой линией транспортира, на которой стоит 0, а вторая сторона угла пересекать шкалу транспортира (полуокружность с разметкой в угловых градусах).

На пересечении стороны угла и шкалы транспортира считывается градусная мера данного угла.

Мы рассмотрели полный, развернутый и прямой углы. Существует еще два типа углов: острые и тупые. Все острые углы имеют градусную меру в пределах: больше 0° и меньше 90°.

Например. острые углы:

Углы, градусная мера которых больше 90°, но меньше 180°*, называются тупыми углами.

Тупые углы (штриховой линией обозначен прямой угол в составе тупого угла) приведены на рис. 5, 6,7.

Чтобы построить заданный в градусной мере угол, необходимо иметь транспортир, линейку и карандаш.

Двухточечная перспектива — Как использовать линейную перспективу

Что такое двухточечная перспектива?

Рисунок в двухточечной перспективе — это тип линейной перспективы. Линейная перспектива — это метод использования линий для создания иллюзии пространства на 2D-поверхности. Есть три типа линейной перспективы. В одноточечной перспективе используется одна точка схода на линии горизонта. В двухточечной перспективе используются две точки, расположенные на линии горизонта. Трехточечная перспектива использует три точки схода.

Линейная перспектива — это один из шести способов создать иллюзию пространства на двумерной поверхности. Все формы линейной перспективы включают линию горизонта, точку (точки) схождения и линии перспективы, которые удаляются или продвигаются к точке (точкам) схождения. Каждая форма линейной перспективы названа по количеству точек схода, используемых на чертеже. Следовательно, двухточечная перспектива использует две точки схода.

Как работает двухточечная перспектива в двух словах

Двухточечная перспектива начинается с определения линии горизонта.Эта линия теоретически представляет собой линию, отделяющую небо от земли. Однако во многих перспективных рисунках эта линия подразумевается и вместо этого представляет линию глаз или «линию взгляда» зрителя.

После того, как линия горизонта установлена, расставляются точки схода. Точка схода определяется как точка, помещенная на линию горизонта, где объекты начинают исчезать из-за расстояния. Хороший способ подумать о точке схода — представить себя стоящим на пляже.Если смотреть в обе стороны, можно бесконечно смотреть на пляж. В какой-то момент люди на пляже, уходящие от вас, будут становиться все меньше, пока полностью не исчезнут на линии горизонта.

В двухточечной перспективе две точки схода помещаются на линию горизонта. Эти две точки должны быть разнесены друг от друга, чтобы предотвратить искажение. Обе точки схода не обязательно должны находиться в пределах плоскости изображения, пока они находятся на линии горизонта, которая продолжается за пределами плоскости изображения в обоих направлениях.

Следующий шаг — нарисовать угол объекта. Чаще всего для рисования зданий или интерьеров используется двухточечная перспектива, поэтому эта линия может быть углом здания. Эта линия проводится между двумя точками схода и может пересекать линию горизонта.

Затем от каждого конца угла до каждой точки схода проводят отходящие линии. Эти линии называются ортогональными линиями. Любой набор параллельных линий, удаляющихся от зрителя, будет следовать по этим линиям к одной из точек схода.

Параллельные вертикальные линии нарисованы, чтобы указать, где заканчивается здание или форма. Чем ближе эти линии расположены в пространстве к точкам схода с обеих сторон, тем длиннее выглядит форма.

Когда форма размещается так, что она перекрывает горизонт, дополнительные линии не требуются для определения общей формы объекта. Однако важно отметить, что существуют дополнительные строки. Эти линии видны, когда объект находится над линией горизонта или под ней.

Ортогонали отходят от каждого конца формы и совпадают с противоположной точкой схода. Место пересечения определяет задний угол куба, нарисованный вертикальной линией.

Ниже линии горизонта

Для форм, расположенных ниже линии горизонта, шаги остаются прежними. Однако верх формы будет виден. Это означает, что верхняя часть формы будет определяться ортогональными линиями, проходящими от каждого конца до противоположной точки схода.

Здесь снова некоторые линии не видны на готовом чертеже (красные линии). Важно отметить, что места пересечения этих линий определяют задний угол куба.

Над линией горизонта

Для форм, размещенных над линией горизонта, выполняются те же шаги. В этом случае нижняя часть формы теперь видна зрителю. Нижняя часть определяется продолжением линий от каждого конца куба до противоположной точки схода.

Как и в других примерах, дополнительные линии (красные линии) существуют, но не видны на готовом чертеже. По завершении все линии, которые больше не нужны, можно стереть, открывая иллюзию трехмерных форм в пространстве.

Добавление дополнительных деталей

К сцене можно добавить дополнительные детали, чтобы создать безграничные возможности. Вертикальные линии рисуются для обозначения кромок и углов, а ортогональные линии — для параллельных кромок, уходящих в пространство.

См. Также: Как нарисовать трехмерный лабиринт в двухточечной перспективе

Какой тип перспективы следует использовать?

Тип линейной перспективы, используемой художником, во многом зависит от точки зрения зрителя. Если вид большинства геометрических фигур в сцене «плоский», то перспектива с одной точкой может быть лучшим выбором. Если углы предметов преобладают, то двухточечная перспектива может быть лучшим решением. Если вид экстремальный, сверху или снизу, лучшим выбором может быть трехточечная перспектива.

Простая разбивка формы, расположенной на линии горизонта

Шаг первый: Определите линию горизонта и точки схода.

Шаг второй: нарисуйте угол объекта между точками схода.

Шаг третий: проведите линии от каждого конца угла до каждой точки схода.

Шаг четвертый: нарисуйте параллельные вертикальные линии, чтобы указать, где заканчивается объект.

Шаг пятый: Сотрите линии, которые вам больше не нужны, чтобы раскрыть вашу трехмерную форму.

Поднимите крышу за 15 шагов в перспективе Чертеж

Дом проводника, Алгонкин Артура Лисмера, 1914, картина маслом.

15 шагов для подъема крыши с перспективным чертежом

Представьте себе небольшой коттедж на холме. В нем есть пара окон, через которые проникает свет, дымовая труба, из которой вырывается клуб дыма, привлекательная дверь, выкрашенная в яркий цвет, и симпатичная нависающая крыша. А теперь представьте, что вам нужно нарисовать все эти детали в правильной перспективе.Это означает углы, геометрию, масштаб, больше углов, уравнения (?), Т-квадрат … Я начинаю паниковать. Вы начинаете паниковать? Давайте не будем, потому что Фил Мецгер здесь, чтобы научить нас основам рисования в перспективе без разочарования и паники из его книги « « Перспектива без боли » !

Позвольте Филу показать вам основы рисования в двухточечной перспективе, построив простой дом, о котором мы только мечтали. Мы смотрим на него откуда-то с холма; то есть наш уровень глаз находится ниже дома.Конструкция повернута так, что она видна в двухточечной перспективе — мы можем видеть две ее стороны. В этом доме все симметрично, за исключением дымохода, расположенного на одном конце, а не в центре.

За 15 шагов вы нарисуете этот дом и можете начать добавлять все детали, которые сделают его вашим собственным. Он начинается с хорошего перспективного рисунка, которому научит вас Фил, а затем вы берете его оттуда. Наслаждаться!

Не забудьте взять свою копию Perspective Without Pain , одного из наших лучших ресурсов по искусству, который вы будете держать под рукой в ​​студии, чтобы предотвратить обиду, невежество и кипящий гнев (все эмоции I чувствовал себя до того, как узнал учение Фила!) касательно перспективного рисования — гарантировано!

Кортни

Давайте поднимем эту крышу!

Изучите основы рисования с двухточечной перспективой: уровень глаз, точки схода и центры перспективы.

Что такое двухточечная перспектива?

Двухточечная перспектива — это тип линейной перспективы, в которой один набор удаляющихся линий встречается в одной точке схода, а другой набор встречается во второй точке схода, причем оба на уровне глаз.

Получение правильных углов

Открою вам секрет: вам никогда не придется беспокоиться о точках схода, если вы с самого начала получаете правильные углы.Если линия отступает к горизонту и вы рисуете ее точно, она автоматически пересекает горизонт прямо в точке схода. Итак, хотя мы обычно обсуждаем точки схода как удобный способ визуализировать происходящее в линейной перспективе, на самом деле нам нужны именно эти уклоны или углы. Художественные магазины предлагают ряд устройств, которые помогут получить правильный угол, но вы также можете использовать два простых метода измерения, которые ничего не стоят.

• Карандаш: Держите карандаш (или любую линейку) на расстоянии вытянутой руки, зафиксируйте локоть и держите карандаш параллельно плоскости изображения.Поверните запястье, чтобы совместить карандаш с краем объекта, который вы хотите нарисовать. Держа карандаш под тем же углом, переместите его на поверхность для рисования и другим карандашом скопируйте угол на бумагу.

• Перспективные челюсти: Это мой любимый способ получения правильных углов. Для этого требуется набор «челюстей»: две полоски картона, плотно закрепленные на одном конце, так что вы можете раздвигать полоски под любым углом. Держите челюсти на расстоянии вытянутой руки, зафиксируйте локти и совместите одну челюсть с любым краем объекта.Затем поверните другую челюсть, чтобы совместить ее с другим краем; теперь у вас есть угол между двумя краями. Опустите губки на бумагу и скопируйте угол. Это практически надежно!

1. Проведите линию на уровне глаз, затем ближайшую вертикальную кромку

Сначала нарисуйте горизонтальную линию, обозначающую уровень глаз. Затем установите ближайший вертикальный край дома (A). Вы можете начать дом где угодно, но ближайший вертикальный край — удобное место для начала.Поскольку дом находится на холме, пусть нижняя часть вертикального края заканчивается немного выше уровня глаз.

2. Нарисуйте один откос

С линейкой пробуйте различные уклоны для верхнего края коробки (дом без фронтонов), пока не убедитесь, что уклон выглядит правильным. В этом упражнении не беспокойтесь, что выбранный вами уклон может быть не совсем реалистичным; если бы вы рисовали из реального дома, вы бы измерили реальный уклон на глаз или с помощью набора перспективных челюстей.

3. Нарисуйте другой наклон и отметьте точки схода

Теперь нарисуйте наклонную линию, представляющую уклон на другой стороне коробки (опять же, дом без фронтонов). Отметьте точку схода там, где каждая из наклонных линий пересекает линию на уровне глаз. Мы назовем их VPL (точка схода слева) и VPR (точка схода справа). Эти две точки схода будут направлять весь остальной рисунок.

4.Нарисуйте нижние края дома

Соедините нижний конец вертикального края A с каждой из точек схода. Стены дома лежат между парами наклонных строительных линий.

5. Определите длину каждой стороны дома

Решите, какой ширины должна быть каждая сторона дома; затем нарисуйте вертикальные линии, представляющие внешние углы. Если бы вы рисовали с реального предмета, вы бы измерили визуально две стороны с помощью метода большого пальца и карандаша и сравнили ширину сторон друг с другом и с каким-либо другим размером, например высотой (A). .

6. Найдите перспективу в центре передней стенки

Теперь у нас есть две стены (я их раскрасила для наглядности). Затем вы добавите фронтон. Для этого сначала найдите перспективный центр прямоугольной стены, к которой будет добавлен фронтон. Для этого найдите, где пересекаются диагонали стены.

7. Рисование фронтона

Измерить предметом визирования и решить, какой высоты должен быть кончик фронтона.Фронтон кажется чуть больше половины высоты стены. Отметьте соответствующую высоту вдоль вертикальной средней линии и соедините эту точку с двумя углами стены, чтобы сформировать фронтон в перспективе.

8. Добавить дверь

Добавьте дверь в перспективном центре передней стены. Начните с того, что отметьте, какой высоты вы хотите, чтобы дверь была (на этих иллюстрациях я сделал дверь и окна большими, чтобы изображение было более четким).Дверь должна быть «центрирована» по средней линии стены, но не забывайте, что сама дверь находится в перспективе. Так же, как слева от средней линии стены чуть меньше, чем справа, так и слева двери немного меньше, чем справа. Есть сложные конструкции, чтобы сделать это точно, но ради здравого смысла просто взгляните на свой рисунок и убедитесь, что справа от центральной линии виднеется немного больше дверей, чем слева.

9.Добавить Windows

Верх окон в боковой части этого дома находится на той же высоте, что и дверь, поэтому проведите линию от линии высоты двери в углу здания до VPR. Проведите линию днища окон до ВПР. Окна помещаются между этими двумя линиями. Из-за нашей перспективы левое окно кажется немного шире правого, а пространство W кажется шире, чем пространство X. Нарисуйте маленькое окно над дверью так же, как вы нарисовали дверь.

10.Вытяжка свеса крыши на ближней стороне

Пока у дома только фундамент под крышу; ему нужна крышка на крышу. Крышка нависает над домом спереди, сзади и с обеих сторон. Такие детали важны; без них рисунок домика может выглядеть как игрушечный.

Во-первых, удлините переднюю и заднюю кромки крыши. Затем нарисуйте линию, изображающую выступ сбоку от дома. Нарисуйте линии свесов спереди и сзади дома. Для наших целей все эти линии могут быть проведены параллельно соответствующим соседним основным краям крыши.Задний свес должен быть немного короче переднего, так как он находится на расстоянии.

11. Вытяжка свеса крыши на дальней стороне

Чтобы получить другую сторону переднего свеса, проведите линию H через кончик крышки крыши параллельно краю фронтона. Вопрос в том, как далеко простирается этот выступ? Взгляните на вставку. Представьте себе линию, соединяющую A и B на вставке, а затем нарисуйте эту линию (в перспективе) на своем чертеже, снова соединяя точки A и B.Теперь вы знаете, насколько далеко простирается свес.

12. Отделка свеса крыши

Все, что осталось, — это закончить свес, проведя (короткую) линию от точки А в сторону VPR. Эта маленькая линия часто проводится неправильно; многие люди направляют его не в ту точку схода, когда только начинают рисовать перспективу.

13. Нарисуйте боковую поверхность дымохода

Нарисуйте вспомогательную линию по высоте дымохода и направьте ее в сторону VPR.Нарисуйте еще одну линию для основания дымохода и направьте ее также в сторону VPR. Нарисуйте две вертикали, чтобы определить толщину дымохода. На этом сторона дымохода, обращенная к нам, завершена. Обратите внимание, что верхние края дымохода — это самые высокие края над уровнем глаз, поэтому они имеют самый крутой уклон среди всех отступающих горизонтальных линий.

14. Нарисуйте переднюю поверхность дымохода

Проведите вспомогательную линию A по направлению к VPL — это верхний край передней грани дымохода.Проведите линию B параллельно краю крыши — это место, где дымоход пересекает крышу. Там, где B пересекает линию хребта, нарисуйте вертикальную (пунктирную) линию C. На данный момент у вас есть часть дымохода на ближней стороне крыши.

15. Обработка дымохода и добавление кромок

Завершите дымоход, нарисовав его дальний вертикальный край. Как и все в перспективе, дальняя часть дымохода должна быть немного уже, чем ближайшая часть (как мы видели в двери и окнах).Добавьте несколько краев, чтобы придать окнам, двери и крыше немного толщины.

---

Фил Мецгер рисует и продает свои работы более 34 лет. Его работы находятся в тысячах частных и государственных коллекций и были отмечены наградами на национальных и региональных выставках. Он преподает акварель и перспективный рисунок и написал много популярных книг.

Эта статья является выдержкой из его книги T Искусство перспективы: полное руководство для художников любого формата © 2007 Фил Мецгер, используется с разрешения North Light Books, отпечатка F + W Media Inc.Сохранить

Как сделать идеальные нижние углы коробки на сумке

С легкостью упакуйте нижние углы каждой сумки с помощью этого бесплатного пошагового руководства по шитью.

Lazies, Легко и аккуратно укладывайте нижние углы вашей следующей сумки с помощью моего пошагового руководства по шитью. Дно коробки означает, что у сумки плоское дно, что облегчает удержание широких вещей или удобство отдыха, когда вы ее кладете. Эту технику легко использовать для множества дизайнов.Я также использую эту технику в некоторых своих выкройках для шитья Lazy Girl Designs. Не забудьте получить БЕСПЛАТНОЕ (стоимостью 9,95 долларов США) печатное руководство ниже .

Lazy Girl Designs ‘With Love Tote’ с закрытым дном глубиной 4 дюйма.

Коробка Любая большая сумка или выкройка кошелька Проект

В этом уроке используется наш бесплатный образец сумки With Love Tote. Вот две сумки с прямоугольными углами на верхней и плоской нижней. Вы можете получить БЕСПЛАТНУЮ выкройку сумки-тоут здесь.

На изображении выше показан закрытый угол крупным планом. Боковой шов (слева) и нижний шов (справа) пересекаются, и через эти швы прошивается шов, чтобы придать размер сумки.

Как боксирование нижних углов влияет на размер сумки

Уплотнение нижних углов для придания сумке плоского дна, на котором она может стоять, «стягивает» ширину и высоту, изменяя размер готовой сумки. В результате получится сумка, которая будет уже по ширине сумки по нижнему шву и короче по высоте по боковому шву сверху вниз.

• Размер мешка до углов для бокса: 19 ″ Ш x 16 ″ В (плоский мешок имеет нулевую глубину)
• Размер мешка после бокса по углам: 15 ″ Ш x 14 ″ В x 4 ″ Г
• Ширина — это длина оставшегося шва по дну сумки: 19 ″ — 4 ″ = 15 ″
• Высота — длина оставшегося бокового шва: 16 ″ — 2 ″ = 14 ″
• Глубина пакета равна длине углового шва в коробке: 4 ″

1. Определите желаемый размер угла в штучной упаковке

Небольшие изменения в размере угловых прорезей имеют большое значение для окончательного размера проекта.Если вы не знаете, какого размера вырезать квадрат, чтобы упаковать нижние углы, чтобы придать сумке глубину, начните с меньшего разреза, сшейте и посмотрите, что вы думаете. Вы всегда можете отрезать больше и снова сшить.

• В нашем руководстве показан квадратный угол глубиной 4 дюйма.
• Разделите желаемую глубину 4 дюйма на 2 = 2 дюйма
• 2 ″ — это размер квадрата, который будет обрезан с обоих нижних углов.

2. Отметьте и вырежьте квадраты из углов мешка

• Выровняйте проект и совместите его с сеткой на коврике для резки.
• Отметьте квадрат 2 дюйма на обоих нижних углах.
• Вырежьте отмеченный квадрат в каждом нижнем углу.

Для получения дополнительных бесплатных руководств по шитью следите за моей доской Pinterest. Бесплатные учебные пособия, советы и полезные советы

3. Откройте и выровняйте швы сумки по срезанным углам

• Зайдите в угол и откройте.
• Соедините боковые и нижние швы вместе, совместив швы.

4. Закрепите строчку, чтобы закрыть нижние углы

• Прострочите все слои вдоль обрезанного края, чтобы закрыть угол.
• Прострочите в начале там, где стыкуются швы, и в конце.
• При желании закрепите шитьем еще раз для большей прочности.

5. Детали отделки

Вот полный вид швов на дне сумки после упаковки углов. Не забудьте также закрыть нижние углы подкладки. Выверните свой проект на лицевую сторону и нажмите. Совершенствуйте свои навыки прессинга с помощью моих советов по прессованию для достижения профессиональных результатов.

Сделайте вашу сумку еще более надежной с помощью моей уловки Easy Sew-In Bag Support.

Нужна гладильная доска получше? Посетите IKEA Hack Pressing Station of My Dreams.

Размеры угловых вырезов в штучной упаковке и размеры готовых сумок для этого проекта большой сумки

Вот как угловые квадраты разного размера влияют на конечный размер нашего образца проекта.

• Угол 1 ″ = глубина 2 ″. 17 ″ Ш x 15 ″ В x 2 ″ Г (широкий / высокий / тонкий, подходит для большого учебника)
• Угол 3 ″ = глубина 6 ″. 13 ″ Ш x 13 ″ В x 6 ″ (квадрат / глубина, подходит для коробки из-под обуви)
• Угол 4 ″ = глубина 8 ″.11 ″ Ш x 12 ″ В x 8 ″ Г (короткий / глубокий, подходит для обуви без коробки)

Покажи мне свои творения из сумок в штучной упаковке !
Делитесь фотографиями ваших проектов сумок в моей Facebook Lazy Girl Group

Это Pinterest-ing!
Подпишитесь на меня в Pinterest и прикрепите этот пост к своим доскам Pinterest.

Не забудьте получить БЕСПЛАТНОЕ руководство для печати ниже .

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма для моего блога и информационные бюллетени о новых моделях и идеях проектов.

Наслаждайтесь!
Joan
Joan’s Sewing Group | Pinterest

Загрузите эту халяву

Введите свой адрес электронной почты ниже, чтобы мгновенно загрузить эту бесплатную услугу!

Поставьте лайк и поделитесь этим постом со своими крутыми друзьями.

Сохранить

Сохранить

Сохранить

Сохранить

Сохранить

Сохранить

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДВУХТОЧНОЙ ПЕРСПЕКТИВЫ ДЛЯ ЧЕРТЕЖА ИНТЕРЬЕРА — SketchBook Blog

Примечание. Это сообщение в блоге изначально было создано Эшли Бачар из Autodesk.

Вы когда-нибудь пытались спроектировать внутреннее пространство, но хотели знать, как оно будет выглядеть в реальной жизни? Вот руководство, как рисовать выразительные интерьеры в двухточечной перспективе. Как бы интересно ни было жить в плоском мире, мы видим и понимаем мир в физических объемах и трех измерениях. Рисование в перспективе — это удобный дизайнерский прием, который помогает визуализировать пространство за пределами двухмерного плана этажа. Я научился этому, когда рисовал для RedInk Homes.Если вы не дизайнер интерьеров, рисование интерьеров может быть даже полезно при создании фонов для иллюстраций персонажей или даже концептуальных эскизов для мира видеоигр.

«Если вы можете нарисовать коробку, вы можете нарисовать практически все что угодно в перспективе».

Рисование в двухточечной перспективе может быть довольно сложным навыком, чтобы понять, если вы не пробовали это раньше, но это навык, который может изменить правила игры в вашей игре с рисованием.Если вы новичок в двухточечной перспективе, то можете также ознакомиться с нашим недавним постом, посвященным одноточечной перспективе, «Руководства по перспективам : как рисовать архитектурные уличные сцены ». Итак, приступим к делу!

Типы внутренних пространств

Существует бесконечное множество типов внутренних пространств, которые вы можете нарисовать, и все они совершенно уникальны. Вы можете создать практически любое пространство, которое только можете вообразить; кафе, рестораны, спальни, ванные комнаты, библиотеки — список бесконечен.

Вы можете выбрать стиль интерьера classic (вверху) или modern (внизу), чтобы выразить различные настройки или эпохи. Если вы хотите классический старинный вид, вы можете проиллюстрировать классический интерьер, добавив формальные элементы, такие как сводчатые потолки, орнаментированные люстры и рамы, классическая лепнина. Если вам нужен элегантный современный интерьер, подумайте о жестких каркасах, современной мебели и больших стеклянных плоскостях.

Правильный выбор элементов поможет передать историю вашего иллюстрированного пространства.В интерьере домашней кухни будут элементы, отличные от интерьера кухни кафе. Хотя они имеют одинаковые функции, они полностью уникальны, и вы хотите иметь возможность отличать их друг от друга, потому что они выражают совершенно разные повествования.

Вы можете изменить это с помощью цвета, но гораздо удобнее заранее создать цветовую палитру.

В доме (вверху) может быть небольшая теплая кухня с островом, шкафами, стойками и меньшим количеством сидячих мест по сравнению с кафе (внизу), в котором будет огромная прилавок, немного еды на витрине, групповые рассадки и кофейное меню.

Цвета моего дома теплее. Мои деловые цвета стали ярче.

В зависимости от того, какой интерьер вы хотите нарисовать, эти элементы будут играть важную роль в определении характера, индивидуальности и стиля. Это все зависит от вас! Если вы не уверены, какие элементы добавить в пространство, существует множество популярных ресурсов, демонстрирующих интерьеры, от которых стоит слюни. Вдохновляйтесь такими веб-сайтами, как Dezeen или Houzz, на которых представлены некоторые из лучших тенденций и пространств в дизайне интерьеров.

Как нарисовать простую мебель

Я помню первый год в школе дизайна, где мы часами рисовали идеальный куб, а наши профессионалы повторяли итерацию: «Если вы можете нарисовать коробку, вы можете нарисовать практически все в перспективе». Вот трюк, который очень помогал мне рисовать каждый раз, когда я застревал на том, как нарисовать то, чего никогда раньше не рисовал. Я просто набросал некоторые коробки, чтобы использовать их в качестве строительных блоков для создания окончательной формы, которую я хотел.

Используйте те же направляющие перспективы в SketchBook Pro для мебели, которую вы используете для стен, но, конечно же, рисуйте их на отдельных слоях.

Чертеж мебели — ключевой компонент при рисовании интерьеров. Без мебели у нас было бы обычное и скучное пустое пространство. Набросать мебель так же просто, как нарисовать серию коробок, а затем войти и вырезать детали после того, как вы пригвоздите основную перспективу рисунка. Этот метод полезен, когда вы планируете, где вы хотите разместить свою мебель в своем интерьере, потому что искаженный стул может испортить или испортить всю вашу двухточечную перспективу.

Обустройство фундамента в двухточечной перспективе

Самый простой способ заложить основную основу вашего двухточечного перспективного пространства — это сами стены по периметру. После того, как вы разбили свое пространство, вам станет намного легче понять свою точку зрения и разложить забавные детали, такие как окна, мебель, декор и все такое хорошее.

Начните с создания нового слоя в SketchBook Pro с линией горизонта в центре холста.Здесь расположены две ваши точки зрения. Мне нравится немного откорректировать точки обзора на странице, чтобы линии не становились полностью драматичными под крайними углами. Затем я добавляю линию глаз немного выше линии горизонта, чтобы получить представление о том, как человек вписался бы в пространство, которое я создаю. Расположение обеих этих линий поможет вам почувствовать масштаб, когда вы начнете рисовать свое пространство, особенно когда вы добавляете двери и мебель.

Мне нравится начинать набросок с рисования вертикально направленной вниз линии, представляющей угол комнаты.Я считаю, что так легче найти, где именно вы собираетесь разместить линии пола и потолка. Затем вы можете добавить потолок, идущий от верхней точки вертикальной линии, и линии пола, идущие от нижней точки вертикальной линии. Этот первый шаг может помочь вашему мозгу начать переводить двухмерный рисунок в трехмерное пространство.

Продолжайте вырезать костяк вашего пространства, добавляя контуры различных объемов, которые будут определять стены, окна, двери и потолочные светильники.Я хотел создать стеклянный вход в атриум для своей библиотеки с подвесным потолком, поэтому я собрал несколько простых коробок, чтобы показать, где эти элементы будут. Я также добавил очертания дверей и окон.

Здесь я начинаю добавлять некоторые мелкие детали, такие как импосты на стеклянных стенах и рамы для дверей. Помните, что это очень грубый набросок элементов, которые вы хотите включить в свое пространство, что является хорошей практикой для получения точной точки зрения, не задумываясь обо всех тонких деталях.

Когда у вас есть все элементы, которые вы хотите, можете начинать обрисовывать окончательные детали. Не забудьте добавить глубину ваших объектов, таких как оконные и дверные рамы, иначе ваш рисунок будет выглядеть плоским. Рисование в двухточечной перспективе — это полностью активное упражнение по рисованию. Вам нужно постоянно думать о том, в каком направлении будут идти линии и с какой точки обзора они будут сходиться, чтобы ваш рисунок имел смысл.

На новом слое примерно расставьте мебель, снова рисуя прямоугольниками, чтобы добавить некоторый контекст.Это хороший способ правильно сформулировать свою точку зрения, не занимаясь полностью утомительной линейной работой. Если вам не нравится, как это выглядит, сотрите и попробуйте снова на другом слое.

Следующий шаг — уменьшить непрозрачность фона и начать добавлять детали, обращая внимание на то, как объекты перекрываются. Я добавил стойку администратора, компьютер, столы, стулья, диваны, книжную полку и современные светильники. Размещение правильных элементов в вашем пространстве может мгновенно изменить атмосферу и контекст вашего рисунка.Это моя любимая часть, потому что я вижу, как все плоды труда объединяются и становятся единым целостным эскизом. Пришло время добавить всю вашу любимую мебель без всякой тяжелой работы. Рисование в эстетике — всегда самое интересное, если вы такой же человек, как я, который мгновенно влюбляется и проливает слезу над красиво оформленными объектами и интерьерами. Вы можете проявить творческий подход и изобрести свою собственную мебель и приспособления или даже почерпнуть вдохновение из любимых журналов.

У людей от природы нет рентгеновского зрения, поэтому нам нужно избавиться от всех этих пересекающихся линий! Я выбрал контур фона и стер все линии, которые не хотел видеть сквозь мебель.Как только это будет сделано, у вас будет готовый план интерьера с двухточечной перспективой, который будет выглядеть великолепно и профессионально!

Просто добавьте немного цвета и людей, и вы получите прекрасный окончательный эскиз интерьера.

Как нарисовать сцену в двухточечной перспективе

Джо Катапано

Введение в двухточечную перспективу

Рисование с перспективой может оказаться непростой задачей для человека, который давно не вникал в это искусство.С учетом сказанного, проблемы, возникающие при рисовании перспективы, легко понять и преодолеть с правильной помощью.

Итак, я буду вашим проводником, и вы начнете изучать концепции, руководства и практические применения, как я думаю, наиболее важной настройки перспективы: двухточечной перспективы. Однако, если вы хотите заняться немного более простой настройкой, обратитесь к руководству One Point Perspective.

«Две точки» в сетке двухточечной перспективы относятся к двум различным «точкам схода».Каждая точка схода — это якорь, который мы используем для создания 3D-объекта на 2D-плоскости. А расположение и взаимосвязь между этими двумя точками будут определять положение объекта в трехмерном пространстве. Прежде чем мы начнем с перспективного рисунка, давайте рассмотрим концепции перспективы, которые позволяют художнику создать иллюзию объема на странице.

Концепции перспективы

1. Перекрытие — фигуры, которые покрывают другие фигуры, кажутся ближе к зрителю.

2. Конвергенция — по мере того, как они удаляются от зрителя, кажется, что объекты становятся ближе друг к другу (к одной точке).

3. Уменьшение — По мере удаления от зрителя объекты кажутся меньше.

4. Ракурс — Объекты кажутся короче при просмотре под определенным углом.

5. Атмосферная перспектива — объекты, находящиеся очень далеко от зрителя, кажутся мутными из-за частиц в атмосфере.

6. Value / Color — Объекты, расположенные ближе к зрителю, обычно имеют более высокий контраст и насыщенность, чем объекты, расположенные дальше.

Отлично! Кроме того, не беспокойтесь о запоминании этих понятий. Вы, естественно, познакомитесь с этими концептуальными инструментами, когда начнете использовать перспективу в своих собственных рисунках. Теперь давайте настроим несколько разных типов сеток с двухточечной перспективой.

Базовая сетка с двухточечной перспективой

Вместо того, чтобы сначала что-либо объяснять, давайте просто рассмотрим процесс создания простой двухточечной сетки.

Итак, вот что вы делаете:

Шаг 1. Нарисуйте линию горизонта

В этом случае проведите эту линию полностью плоской. Линия горизонта и высота вашего зрителя или камеры — это одно и то же.

Шаг 2: Нарисуйте точки схода (ПО)

Разместите две точки или отметки, равномерно отмеренные от вашей картинной плоскости. Убедитесь, что эти точки расположены на линии вашего горизонта. Расстояние между этими двумя точками будет определять фокусное расстояние вашего рисунка.Я объясню фокусное расстояние в следующем разделе.

Шаг 3. Нарисуйте направляющие для левого вице-президента

От левой точки схода, идущей наружу, проведите несколько прямых линий к краю картинной плоскости. Сотрите линии, выходящие за пределы картинной плоскости.

Шаг 4. Нарисуйте рекомендации для правого вице-президента

Проделайте то же самое с правильной точкой схода. Не забудьте очистить внешний вид вашей картинной плоскости. Оставьте только горизонт и вице-президентов на будущее.

Отлично! А теперь давайте поговорим о фокусном расстоянии.

Фокусное расстояние

Фокусное расстояние — очень сложная концепция, но насколько художники должны понимать это, фокусное расстояние — это просто термин, который помогает нам классифицировать, как будут выглядеть наши перспективные сетки и какие искажения мы можем получить в нашем рисунке. О фокусном расстоянии обычно говорят при обсуждении фотоаппаратов, и поскольку как художник вы выполняете ту же работу, что и фотоаппарат, мы также применяем эти классификации.

Чтобы сделать это как можно проще, я установил 3 больших примера с разными фокусными расстояниями.

Wide Angle — При широкоугольном фокусном расстоянии точки схода будут расположены близко друг к другу на линии горизонта. Расположение VP так близко друг к другу создает решетку с очень острыми углами. Эта установка отлично подходит для отображения как можно большего количества информации и для того, чтобы что-то казалось очень важным и динамичным. Несмотря на то, что человеческий глаз видит на широкоугольном фокусном расстоянии, эту настройку следует использовать с осторожностью.

Нормальный — это стандартная установка камеры. Вы знаете, что у вас есть такая настройка, когда между вашими вице-президентами большое расстояние. Эта сетка будет иметь минимальные искажения на большей части плоскости изображения. Это отличный выбор для любой ситуации. При рисовании комикса это фокусное расстояние следует использовать для большинства ваших сцен, таким образом, когда вы используете один из других типов фокусных расстояний, оно будет иметь наибольшее влияние.

Telephoto — эта установка используется, когда VP находятся очень далеко друг от друга.Большинство линий сетки будут почти параллельны горизонту. Этот эффект происходит от телеобъектива с увеличением камеры. Поэтому применяйте эту сетку, если вы хотите, чтобы аудитория смотрела издалека, или если вы хотите, чтобы сцена выглядела более графически. Этот вид кажется более графическим, потому что объекты будут расплющиваться, как куб на изображении в качестве примера.

Теперь, когда мы знаем больше о двухточечной перспективе, давайте создадим сцену с сеткой перспективы с обычной линзой.

Шаг 1. Сделайте сетку прозрачной

Либо с помощью ластика, для всех, кто рисует на бумаге, либо с помощью ползунка непрозрачности слоя для тех, кто работает в цифровом формате, сделайте непрозрачность сетки светлее по контрасту.Теперь сетка будет достаточно тусклой, чтобы мы могли создать сцену поверх направляющих.

Шаг 2: начните рисовать склад

Чтобы начать рисование, заблокируйте основные формы склада. Это будет включать два куба, представляющих складские площади, серию плоскостей для задней стены и два продолговатых куба для основных опорных балок.

Шаг 3. Разделите блок на части

Здесь я начинаю с синей линии. Синий — это все линии измерения, которые помогают мне определить, как пространство отступает к двум разным VP.Здесь я хочу воспроизвести такое же расстояние для полок складской зоны, а также для дверей на задней стене.

Метод X. Сначала я помещаю «x» в первый прямоугольник, который хочу повторить до точки схода. Чтобы продублировать этот прямоугольник в пространстве, я провожу линию от верхнего или нижнего угла через среднюю линию, которую «x» естественным образом находит для нас. Это помогает определить, как долго будет длиться следующий раздел. Место пересечения этой линии и линий перспективы, которые используются для этого исходного прямоугольника, — это место, где закончится следующий дублированный прямоугольник.

После этого я нарисую балки, составляющие склад слева и гараж, как двери для задней стены, используя эти синие линии для справки.

Шаг 4. Используйте определенные VP для определенных объектов

На этом этапе я рисую два разных объекта, которые нужно повернуть в пространстве. Для этого я создаю новый ВП для каждого объекта, а затем рисую новые направляющие (показаны синей линией).

Теперь остается лишь нарисовать объекты с использованием новых рекомендаций по перспективам.Я поискал ссылки как на поддоны, так и на буксирный подъемник, чтобы нарисовать их как можно точнее. Вы можете легко разместить там другие опоры, если эти объекты слишком сложны.

Шаг 5: Добавьте деления для высоты

Чтобы определить, какой высоты должны быть полки и другие предметы, я рисую имитацию фигуры (показано фиолетовым цветом). Я использую технику определения масштаба по всему изображению.

Для этого сначала нарисуйте простую фигурку, которая выглядит так, как будто она сочетается с остальной частью сцены.Теперь, чтобы узнать, насколько высок был бы этот человек в других местах, мы посмотрим на соотношение между фигуркой и линией горизонта. В этом случае голова фигуры совпадает с линией горизонта.

Зная это, мы можем точно разместить фигуру в любом месте сцены. Видите ли, голова фигуры всегда будет выровнена по линии горизонта точно так же, независимо от того, насколько близко или далеко фигура кажется в сцене.

Отслеживая высоту фигуры до области, заблокированной на складе, я использую это измерение и метод «x», чтобы сделать деления по кубам.Затем проделайте то же самое с другим кубом складской площади.

Шаг 6: Добавьте элемент переднего плана

В этот момент я понял, что сцена кажется несбалансированной. Чтобы сбалансировать композицию, добавьте несколько складских реквизитов в нижнем левом углу. Композиционно это работает, потому что реквизит перенаправляет взгляд зрителя обратно в центр изображения. Обратите внимание, что я использую более толстые линии с этими объектами, чтобы представить более темный контраст, который должен быть в элементах переднего плана.

Шаг 7: Добавьте много деталей

Именно здесь многим художникам надоело рисовать фоны; пришло время добавить много деталей на полки. Большинство этих объектов представляют собой просто кубы и цилиндры, которые я немного модифицирую, чтобы они выглядели более естественно, но это все равно немного утомительно. Наберитесь терпения и добавьте столько, сколько потребуется. Чем больше вы добавите, тем более правдоподобным будет казаться склад.

Шаг 8: Добавьте детали к фону

Отлично! Когда все эти полки заполнены, склад начинает обретать форму.Теперь давайте сделаем задние квадраты похожими на гаражные ворота. Нарисуйте одинаковые приподнятые двери и защитные столбы для каждого входа.

Шаг 9: Добавьте тележки и полки

Поскольку именно в этой задней части происходит вся доставка и получение, неплохо иметь в виду, что за дверями стоят грузовики. Добавьте только заднюю часть пары грузовиков и положите остатки запаса внутрь одного из них. Теперь добавьте детали для рабочих зон двери. Сюда входят столы, вытянутые руки и множество маленьких ящиков.

Наконец, я добавляю еще один набор полок, чтобы разместить больше складских опор с правой стороны фона. Имейте в виду, что все эти реквизиты более или менее относятся к основным точкам схода.

Шаг 10: Отделка задней стены

Чтобы закончить фон, нам нужно добавить стену из электрических коробок и закрыть оставшиеся транспортные двери. Электрические коробки — это просто случайный набор кубиков, соединенных цилиндрами. Точно так же транспортные двери на самом деле представляют собой сетку прямоугольников с рамкой.Постарайтесь, чтобы сетка была как можно более ровной, так как она отступает к левому ВП, и это будет отлично смотреться.

Шаг 11: Добавьте потолок склада

Эта деталь потребует большого терпения. Чтобы сделать потолок, вам нужно разметить линии, идущие от правого VP, и сделать так, чтобы они становились все туже и туже по мере удаления от зрителя. Потолок также имеет несколько стоек на основе треугольников для опор. Пытаясь найти правильные формы и углы для треугольников в трехмерном пространстве, не забудьте использовать метод «x».Сама «x» образует треугольники, по которым вы можете судить о расстоянии для каждого набора на этих стойках.

Шаг 12: Добавьте падающие тени

Вау! Эта сцена выглядит великолепно. Чтобы действительно связать все это вместе, давайте добавим тени для некоторых объектов на среднем и переднем планах. В некоторых случаях все, что я делал, это добавлял сильную линию, чтобы создать тень.

Кроме того, для стандартных полок на среднем плане я применил заштрихованные линии вместо сплошных черных, чтобы показать, что полки находятся дальше.Помните, что по мере удаления предметов в пространстве будут более светлые тени.

Невероятно! Были сделаны! Это отличный пример того, как использовать двухточечную перспективу и нарисовать правдоподобный фон. Двухточечная сетка перспективы — отличная и простая установка, чтобы быстро начать сцену для любого сценария комиксов. Как видите, результатов будет более чем достаточно, чтобы вы могли разместить своих главных героев в своем сеттинге.

Плавник

Хорошо! Вы прошли через это! Я надеюсь, что ваша сцена оказалась отличным опытом для обучения работе с двухточечной перспективой.Вы также можете использовать сетку с двухточечной перспективой для многих других типов чертежей. Они отлично подходят для изометрических макетов для планирования сайта, концепт-арта и всех типов боевых сцен.

Продолжайте практиковаться в использовании перспективных сеток для всех ваших рисунков. Даже символы должны быть помещены в перспективную сетку, чтобы помочь вам правильно разместить анатомию.

В качестве примечания при рисовании фона:

Если когда вы рисуете утомительные детали, вам становится скучно, это означает, что вам нужно больше вкладываться в то, что вы рисуете.Если вы рисуете картонную коробку, не просто рисуйте шестигранный куб. Представьте, что внутри него. Задайте себе такие вопросы: коробка старая или новая? Что в нем и для чего он используется? Откуда это? Подобные вопросы пробуждают воображение и пробуждают творческие способности художника. Внезапно вы будете заботиться о влиянии, которое коробка может оказать на сцену в целом.

Надеюсь, вам понравился этот урок, и обязательно вернитесь и ознакомьтесь с другими уроками по более перспективным сеткам.

Джо Катапано

Зарегистрируйтесь бесплатно и получите:

• Пошаговая электронная книга, которая расскажет вам о создании «Cleineclypto»

• Основы рисования фигур: пропорции героической фигуры Электронная книга

• Доступ к эксклюзивным специальным предложениям, акциям и розыгрышам для подписчиков

Геометрические конструкции и касательные — инженерный чертеж

1 Опишите дугу с центром A и радиусом больше половины AB.

2 Повторите с тем же радиусом из точки B, дуги пересекаются в точках C и D.

3 Соедините C с D, чтобы разделить дугу AB пополам.

Найти центр заданной дуги AB (рис. 9.4)

1 Нарисуйте два аккорда, AC и BD.

2 Bisect AC и BD, как показано; биссектрисы пересекутся в точке E.

3 Центр дуги — точка E.

Радиус окружности

Чтобы вписать круг в данный треугольник ABC (рис. 9.5)

1 Разделите пополам любые два угла, как показано, так, чтобы биссектрисы пересекались в точке D.

2 Центр вписанной окружности — точка D.

Описать окружность вокруг треугольника ABC (рис. 9.6)

1 Разделите пополам любые две стороны треугольника, как показано, так, чтобы биссектрисы пересекались в точке D.

2 Центром описанной окружности является точка D.

Чтобы нарисовать шестиугольник с учетом расстояния по углам

1 Нарисуйте вертикальные и горизонтальные центральные линии и круг с диаметром, равным заданному расстоянию.

2 Сойдите с радиуса по кругу, чтобы получить шесть равноотстоящих точек, и соедините точки, чтобы получить требуемый шестиугольник.

Радиус круга

1 Нарисуйте вертикальные и горизонтальные центральные линии и окружность с диаметром, равным заданному расстоянию.

2 С помощью угольника 60 ° нарисуйте точки на окружности на расстоянии 60 ° друг от друга.

3 Соедините эти шесть точек прямыми линиями, чтобы получить требуемый шестиугольник.

.- Угол 60 °

	\ 60 °		Тройник
			V 1

Чтобы нарисовать шестиугольник, учитывая расстояние по квартирам (рис.9,8)

1 Нарисуйте вертикальные и горизонтальные центральные линии и круг с диаметром, равным заданному расстоянию.

2 Используйте угольник 60 ° и тройник, как показано, чтобы получить шесть сторон.

Угловой угол 60 °

Угловой профиль 60 °

Тройник

Для рисования правильного восьмиугольника с учетом расстояния по углам (рис. 9.9)

Повторите инструкции на рис. 9.7 (b), но используйте квадрат 45 °, затем соедините восемь точек, чтобы получить требуемый восьмиугольник.

Чтобы нарисовать правильный восьмиугольник с учетом расстояния между квартирами (рис. 9.10)

Повторите инструкции на рис. 9.8, но используйте квадрат под углом 45 °, чтобы получить требуемый восьмиугольник.

Угловой угол 45 °

Угловой квадрат 45 °

Для рисования правильного многоугольника с учетом длины сторон (рис. 9.11)

Обратите внимание, что правильный многоугольник определяется как плоская фигура, ограниченная прямыми линиями одинаковой длины и содержащая углы одинакового размера. Предположим, что в этом примере количество сторон равно семи.

1 Начертите заданную длину одной стороны AB и радиусом AB опишите полукруг.

2 Разделите полукруг на семь равных углов с помощью транспортира и через второе деление от левой соединительной линии A2.

3 Проведите радиальные линии от точки A до точек 3, 4, 5 и 6.

4 С радиусом AB и центром в точке 2 опишите дугу, которая соответствует продолжению линии A3, показанной здесь как точка F.

Повторите то же самое с радиусом AB и центром F до продолжения линии A4 в точке E.Соедините точки, как показано, чтобы создать требуемый многоугольник.

Руководство по рисованию в перспективе для начинающих

Неделя 3: одна точка, две точки, три точки (точка зрения птицы и точка зрения червя), четыре точки, пять точек (рыбий глаз), эллиптическая перспектива и ракурс

На этой неделе мы исследуем различные точки зрения.

Линейная перспектива (или геометрическая) может придать вашему рисунку более реалистичный вид, создав иллюзию того, что вы действительно смотрите на объект.Особенно в живописных рисунках ваши рисунки будут казаться более глубокими и менее плоскими при использовании линейных перспектив.

Перспективы могут быть трудными для понимания при первом запуске и могут потребовать большой практики. В Интернете есть множество книг и руководств, посвященных ТОЛЬКО перспективному рисованию, так что это ни в коем случае не отдельное руководство. В этом руководстве я покажу вам, где находятся лучшие руководства для начинающих.

Прежде чем мы перейдем к какой-либо из этих точек зрения, вам необходимо знать несколько терминов!

Линия горизонта: На фотографии пирса ниже линия горизонта находится в разрыве между океаном и небом.Представляя эту линию в разных сценах, вы сможете определить свою перспективу. В сцене, где кто-то едет по пустой дороге вокруг пустой земли, линия горизонта будет разрывом между землей и небом.

Точка исчезновения: Это точка на линии горизонта, в которой объекты обычно сходятся или исчезают. Объекты становятся меньше по мере удаления, и точка схода — это, в общем, точка, в которой эти предметы исчезают. На фото ниже точка схода изображена голубым цветом.

Линии перспективы: Это линии, которые можно провести от внешней стороны изображения до точки схода. Все линии должны сходиться в точке схода и используются для создания ориентиров для рисования других деталей изображения. Перила пирса — хорошие примеры линий перспективы. Вы можете использовать эти линии, чтобы ориентироваться при детальном рисовании рисунка.

Название типа перспективы будет относиться к количеству точек схода, используемых при создании чертежа.Например, рисунок с одноточечной перспективой имеет одну точку схода.

Следующие несколько недель будут разбиты каждый день по типу перспективы. Однако, если вам нравятся быстрые и грязные вещи, как я… это видео с Rubber Onion объясняет перспективу на 1, 2 и 3 точки менее чем за 1 минуту. Более того, в этой статье Майка Термеса сравниваются все 6 точек зрения на его веб-сайте. Это хороший финальный обзор этих перспектив.

НЕКОТОРЫЕ СОВЕТЫ ПЕРЕД НАЧАЛОМ РАБОТЫ
Чрезвычайно важно научиться рисовать линейную перспективу, понимая точки схода и горизонтальные линии.Однако есть еще несколько компонентов, которые жизненно важны для перспективного рисования, чтобы создать более реалистичную сцену (если это ваша цель). Несколько советов, которые действительно помогут вашему перспективному рисованию сиять, — это использовать описанные ниже техники. Ознакомьтесь с некоторыми отличными примерами Билла Мартина по этой теме.

---

ДЕНЬ 1: ЧЕРТОВАНИЕ ОДНОЙ ТОЧКИ

При одноточечной перспективе одна точка схода находится на горизонте. Точка схода не обязательно должна находиться в центре.

У

Student Art Guide есть очень подробное руководство по этой перспективе, которое, я думаю, стоит потратить на День 1 недели 3. В нем рассматриваются истинные формы, точки схода и линии горизонта, а также представлены несколько видеороликов YouTube и примеры студентов, которые помогут вам распознать эти компоненты одноточечные перспективные рисунки. Он также предоставляет отличный рабочий лист для практики и НЕСКОЛЬКО упражнений только для одной точки зрения. У виртуального инструктора также есть красивое, более короткое руководство.

Если вам больше нравится видео, вот одно от EasyThingsToDraw101, чтобы следить за ним, пока вы рисуете.

Упражнение
Используя одноточечную перспективу, потренируйтесь рисовать пустую дорогу с точкой схода в центре. Нарисуйте линию горизонта и выберите точку схода.

Давайте используем 3 совета по рисованию в перспективе. Первый — перекрытие. Нарисуйте несколько деревьев, но перекрывайте их, чтобы создать ощущение глубины. Не волнуйтесь, если вы еще не умеете рисовать деревья! Просто нарисуйте простые.

Совет №2 касается размеров и пробелов. Деревья, расположенные ближе всего к зрителю, должны быть самыми большими, а самые дальние от зрителя будут пропорционально меньше.Нарисуйте линии перспективы, если вам нужно помочь вам с пропорциями.

Наконец, совет №3 — подробности! Детали будут более заметными, когда они будут ближе к зрителю. На ближайших деревьях нарисуйте более выраженные листья. На самых дальних деревьях листья должны быть менее детализированными. Используйте более светлые оттенки и более мягкие штрихи, чтобы создать ощущение глубины в вашем рисунке.

---

---

ДЕНЬ 2: ЧЕРТЕЖ ДВУХТОЧНОЙ ПЕРСПЕКТИВЫ

Двухточечная перспектива включает две точки схода.Представьте себя на углу улицы в центре города на перекрестке. Вы смотрите через перекресток на здание. Если вы посмотрите вниз налево, длинная дорога уйдет до самого горизонта. Если вы посмотрите направо, еще одна длинная дорога уйдет до горизонта. Есть две точки схода. И то, и другое не нужно рисовать на бумаге, чтобы создать иллюзию двухточечной перспективы, можно предположить, что эти точки схода не на бумаге.

У Virtual Instructor есть еще одно отличное пошаговое руководство по этому поводу.Мне также очень нравится видео EasyThingsToDraw101 о двухточечной перспективе.

Упражнение
Используя двухточечную перспективу, упражняйтесь в рисовании здания с угла улицы, мимо которой вы проезжаете. У меня есть ресторан быстрого питания «Джек в коробке». Вам не нужно правильно указывать детали здания. Просто нарисуйте куб или прямоугольную призму, поскольку здание достаточно хорошо для этого упражнения.

---

ДЕНЬ 3: Рисование ТРЕХТОЧЕЧНОЙ ПЕРСПЕКТИВЫ

Как вы могли догадаться, трехточечная перспектива имеет 3 разных точки схода.Возможно, вы уже слышали о «Взгляд с высоты птичьего полета» или «Взгляд червя». Это также трехточечные перспективы с третьей точкой схода выше или ниже линии горизонта.

Глаз червя: если точка схода 3 ^-й находится над линией горизонта, вы смотрите на вверх на на что-то.

Вид с высоты птичьего полета: если точка схода 3 ^rd находится ниже линии горизонта, вы смотрите на что-то вниз на .

Мне нравится это пошаговое руководство от Envato, но видео Спенсера Ньюджента о рисовании здания в трехточечной перспективе также полезно, если вам нравится смотреть, чтобы учиться.

Упражнение
Используя вид «глаза червя», нарисуйте то же здание, которое вы рисовали в день 2. Я возвращаю того Джека в коробке, но на этот раз я собираюсь определить три точки схода. Я проведу линию горизонта ближе к нижней части листа и расставлю две точки схода вдоль этой линии. Моя точка схода 3 ^rd будет где угодно выше линии схода. Когда я нарисую свое здание, оно будет похоже на упавший пакет соуса тако на парковке. После того, как вы закончите с этим, сделайте то же самое с высоты птичьего полета.

---

ДЕНЬ 4: ЧЕРТЕЖИ ПЕРСПЕКТИВЫ ЧЕТЫРЕХ И ПЯТИ ТОЧЕК

Четыре и пять очков ?! Да побольше точек схода! Когда у вас будут другие точки зрения, вы сможете взяться за этих плохих парней. В этих ракурсах ваши перспективные линии больше не прямые, а изогнутые.

Четырехточечная перспектива: также известна как перспектива бесконечности. Предполагается, что это наиболее точное изображение перспективы человеческим глазом. Это криволинейный эквивалент двухточечной перспективы.Представьте, что точки схода расположены по сторонам света (север вверху, запад слева, юг внизу и восток справа).

У

Дика Термеса есть хорошее 7-минутное видео, которое поможет вам понять концепцию этой перспективы. Я не большой поклонник качества этого видео с Jazz It Up, но это очень быстрый и простой способ понять 4-точечную перспективу. Многие другие видео, которые я нашел, были просто таймлапсами на замысловатом, детальном рисунке в этой конкретной перспективе.Совсем не очень полезно для новичков.

Пятиточечная перспектива: эта перспектива известна как «рыбий глаз» или криволинейная перспектива. Вы также можете думать об этом так, как если бы вы смотрели в дверной глазок. Ваши точки схода снова будут следовать за метками N, W, S, E, но пятая точка схода будет расположена в центре вашего рисунка.

Сайт Скотта МакДэниела может помочь вам лучше представить себе эту перспективу. Если вам нужно видео, в Jazz It Up есть еще одно с 5-точечной перспективой.Опять же, я не большой поклонник качества, но оно действительно передает концепцию.

БОНУС! Шестиконечная перспектива: Да, я не шучу. Шестигранная перспектива используется, когда вы хотите рисовать на сфере, как искусство, созданное Диком Термесом.

Упражнение
Следуйте видеороликам Jazz It Up, чтобы наметить как 4-точечную, так и 5-точечную перспективы. Не нужно добавлять к этому никаких реальных деталей. Просто потренируйтесь рисовать прямоугольные призмы (как на видео), которые вписываются в ваши перспективные линии.Когда вы закончите с обоими, сравните их и обратите внимание на разницу в том, как изображены ваши формы.

---

ДЕНЬ 5: Чертеж ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЕРСПЕКТИВА

Эллиптическая перспектива — это не то, что я вижу в большинстве руководств по рисованию для начинающих. Я наткнулся на это, когда изучал «Руководство по рисованию» Билла Мартина. Этот раздел из 6 частей действительно может помочь вам в рисовании в перспективе, потому что эллипсы могут быть тем, как мы определяем контуры поверхности. В моих глазах это определенно необходимо прочитать и попрактиковаться.

Если раздел из 6 частей слишком сложен для вас, его 3-минутное видео на эту тему также будет полезно. Справедливое предупреждение, это похоже на взрыв из прошлого конца 80-х.

Craftsy также предоставляет пошаговое руководство по эллиптической перспективе с использованием цилиндров, нарисованных из прямоугольных призм.

Упражнение
Давайте вернемся к рисунку первого дня с одноточечной перспективой и добавим несколько эллипсов. На этом рисунке наши эллипсы будут в виде мусорных баков.Я знаю, что это не самая красивая вещь для рисования, но я не мог придумать более подходящего элемента для вашего рисунка дороги и деревьев.

Вы можете начать либо с метода прямоугольной призмы от Craftsy, либо с помощью подсказок Билла Мартина. Просто помните, что при рисовании в перспективе нижняя кривизна вашего цилиндрического предмета будет намного более округлой, чем верхняя, чтобы ее можно было изобразить правильно.

---

---

ДЕНЬ 6: ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ УБОРКА

Ракурс важен для понимания, потому что он может быть необходим при попытке передать глубину рисунка.Ракурс создает оптическую иллюзию, рисуя сжатую версию этого объекта. Это может исказить взгляд зрителя на рисунок и заставить их почувствовать, что объект действительно выходит из бумаги, или заставить их почувствовать, что объект находится глубже в бумаге. Мы кратко коснулись этой техники, изучая некоторые советы в одноточечной перспективе, а также в эллиптической перспективе.

Когда мы впервые рисовали наши предметы (деревья, мусорные баки и т. Д.) На наших перспективных рисунках, мы рисовали их пропорционально меньше или больше друг другу.В ракурсе вы отказываетесь от пропорций.

Объекты ракурса исказят их, укорачивая. Это может быть сложно, потому что это не совсем похоже на то, как ваш мозг запоминает, как должен выглядеть объект. Это будет выглядеть странно. Не волнуйся.
Концепция ракурса более наглядна на рисунке. Так как мы углубимся в это на следующей неделе, мы не будем практиковаться в рисовании рук или чего-то подобного. Я просто хочу, чтобы вы поняли концепцию.

На сайте

Learn-to-Draw.com есть небольшая хорошая статья, которая может помочь вам лучше понять эту концепцию.У Альфонсо Данна также есть 23-минутное видео в ракурсе, которое может быть немного сложно для прослушивания (с точки зрения качества звука), но очень информативное.

---

ДЕНЬ 7: ПРАКТИКА!

Перспективы могут быть трудными для понимания. Чтобы все выглядело правильно, может потребоваться немного практики. Сегодня мы просто попрактикуемся. Вы также можете использовать этот день, чтобы изучить любую перспективу, с которой, по вашему мнению, у вас все еще возникают проблемы.

Упражнение
Это упражнение позволит вам лучше понять не только перспективы, но и концепции, которые мы рассмотрели с первого дня.

1) Найдите 4-5 квадратных / прямоугольных объектов вокруг вас. Ящик для салфеток, сотовый телефон, игральные кости, что угодно.

2) Разложите эти предметы на плоской поверхности перед собой. Разместите их на разном расстоянии друг от друга. Может быть, два объекта рядом. Еще один объект немного дальше от остальных. Сложите одну на другую. Не ставьте их в одну и ту же ориентацию.

3) Просматривайте объекты сверху вниз. Нарисуйте объекты в виде плоских двухмерных прямоугольников / квадратов и отметьте расстояние между ними.Сложенный объект будет нарисован внутри прямоугольника, представляющего нижний объект.

3) Сядьте перед своими предметами. Теперь мы будем рисовать трехмерное представление этих объектов, сначала попрактиковавшись в перспективе с первого взгляда.

4) На бумаге нарисуйте линию горизонта и поместите точку схода в центре. При необходимости нарисуйте линии перспективы. Возможно, вам придется опуститься до уровня глаз на плоской поверхности, чтобы визуализировать свои объекты в этой перспективе.

5) Нарисуйте объекты такими, какими вы их видите в перспективе с первой точки. Помните советы, которые вы усвоили на этой неделе — сосредоточьтесь на формах и наложении. Вы можете отказаться от рисования деталей в этом упражнении. Просто нарисуйте прямоугольные призмы для представления ваших объектов.

6) Определите источник света для ваших объектов. Куда попадает свет? Где создаются тени? Примените различные значения к вашим коробкам, чтобы изобразить свет и тени, которые вы видите.

7) Повторите шаги с 4 по 6 с другой точки зрения.
— Для двухточечной перспективы начните с угла объекта в качестве центра вашего рисунка.
— Для трехточечной перспективы используйте точку обзора с высоты птичьего полета, рассматривая объекты с более высокой точки
, чем то, где вы сидите.
— Для четырех- или пятиточечной перспективы. : нарисуйте сетку перспективы, чтобы облегчить начало.

8) Перемещайтесь по объектам и попробуйте нарисовать их с нескольких разных точек обзора.

Отлично, вы подошли к концу 3 недели! ГОТОВЫ К 4 НЕДЕЛЕ?

---

ДРУГИЕ РУКОВОДСТВА:
Полное руководство по рисованию для новичков
Краткое руководство по материалам для рисования для новичков
Неделя 1: Руководство для начинающих по основам рисования: Часть 1
Неделя 2: Руководство для начинающих по основам рисования: Часть 2
Неделя 4: Руководство для начинающих по рисованию рисунков

.